Podręcznik

2. Model małosygnałowy tranzystora bipolarnego

2.4. Częstotliwości graniczne tranzystora bipolarnego

Ze wzrostem częstotliwości sygnału zmieniają się parametry tranzystora. W szczególności następuje degradacja zwarciowego współczynnika prądowego przedstawiona na wykresie dyspersyjnym modułu h_21e(w) – rys. 2.8. Charakterystyczne punkty tego wykresu wyznaczają częstotliwości (pulsacje) graniczne opisujące właściwości częstotliwościowe tranzystora.

Uzupelnij opis obrazka

Rys. 2.8 Zależność modułu h_21e(w) od pulsacji

Do obliczenia h_21e(w) można wykorzystać model hybryd p (rys. 2.5). Pomijając g_b'c można amplitudy składowych zmiennych prądu bazy i kolektora zapisać dla U_ce = 0 następująco:

$I_{b}=U_{b"e}[g_{b"e}+j\omega (C_{e}+C_{c})],$

$I_{c}=U_{b"e}(g_{m}-j\omega C_{c}).$

(2.33)

Zakładając g_m >> wC_c otrzymuje się:

$h_{21e}(\omega )=\frac{I_{c}}{I_{b}}\mid _{U_{ce}=0}=\frac{g_{m}}{g_{b"e}+j\omega (C_{e}+C_{c})},$

(2.34)

a po uwzględnieniu (2.21):

$h_{21e0}(\omega)= \frac{h_{21e0}}{1+j\omega \frac{C_{e}+C_{c}}{g_{b"e}}}=\frac{h_{21e0}}{1+j\frac{\omega }{\omega_{\beta }}}=\frac{h_{21e0}}{1+j\frac{f }{f_{\beta }}},$

(2.35)

gdzie:

$\omega _{\beta }=\frac{g_{b"e}}{C_{e}+C_{c}}=\frac{1} h_{21e0}\frac{g_{m}}{C_{e}+C_{c}}.$

(2.36)

W tranzystorze o względnie długim czasie przelotu nośników przez bazę i niewielkiej pojemności kolektorowej $\omega _{\beta }\approx (h_{21e0}t_{B})^{-1}$

Moduł współczynnika wzmocnienia prądowego wynosi:

$\left | h_{21e} (\omega )\right |=\frac{h_{21e0}}{\sqrt{1+(\omega /\omega _{\beta })^{2}}}$

(2.37)

łatwo więc zauważyć, że w_b jest to pulsacja, przy której następuje 3-decybelowy spadek wartości |h_21e(w)| (tj. $\sqrt{2}$ razy, czyli do 0.707 h_21e0). Jest to 3-decybelowa pulsacja graniczna w_b dla konfiguracji WE, rozgraniczająca zakres niskich i wysokich częstotliwości (Rys. 2.9). Odpowiada stałej czasowej przeładowania pojemności tranzystora przez konduktancję wejściową.

Analogiczną 3-decybelową pulsację graniczną w_a definiuje się dla konfiguracji WB. Jeżeli w schemacie hybryd p dla tego przypadku zaniedbać wpływ r_bb' oraz g_ec, a także przyjąć że C_eb’ @ C_e, otrzymuje się:

$\omega _{\alpha }\approx \frac{g_{b"e}}{C_{e}}\approx h_{21e0}\omega _{\beta },$

(2.38)

gdzie uwzględniono związek:

$i_{e} =(h_{21e0}+1)i _{b }\Rightarrow g_{eb"}=(h_{21e0}+1)g _{b"e}.$

(2.39)

Dla wysokich częstotliwości uzasadnione jest przybliżenie wzoru (2.37):

$\left | h_{21e0} (\omega )\right |\approx h_{21e0}\frac{\omega _{\beta }}{\omega }\: \: dla\: \: \omega >>\omega _{\beta }.$

(2.40)

Zakres częstotliwości, w którym tranzystor bipolarny ma jeszcze użyteczne wzmocnienie prądowe, określa pulsacja graniczna w_T, przy której |h_21e(w)| maleje do jedności. Korzystając z (2.40) otrzymuje się:

$\left | h_{21e0}(\omega _{T}) \right |=1\rightarrow \omega _{T}\approx h_{21e0}\omega _{\beta }=\frac{g_{m}}{C_{e}+C_{c}}.$

(2.41)

Dla pewnego tranzystora przy częstotliwości 100 MHz moduł współczynnika wzmocnienia prądowego wynosi: |h_21e'| = 4 dla I_C' = 1 mA oraz | h_21e''| = 4.5 dla I_C''= 4 mA. Zakładając, że C_jc = 0.3 pF, C_je nie zależy od I_C, wyznaczyć C_je oraz czas przelotu nośników przez bazę. Przyjąć uproszczony model hybryd p dla w.cz.

Rozwiązanie
Z warunków zadania otrzymuje się:

$\omega C_{jc}\cong 2\cdot 10^{-4}S,\: \: g_{m}=\frac{I_{C}}{V_{T}}\geq 4\cdot 10^{-4}S,$

a zatem można przyjąć, że g_m >> wC_c . Zgodnie z zależnościami dla dużych częstotliwości, moduł współczynnika wzmocnienia prądowego przyjmuje postać:

$\left | h_{21e} \right |\approx \frac{g_{_{m}}}{\omega (C_{e}+C_{c})}\approx \frac{g_{_{m}}}{\omega (C_{je}+C_{jc}+g_{m}t_{B})},$

a po przekształceniu otrzymuje się:

$\frac{1}{\omega \left | h_{21} \right |}\approx \frac{V_{T}}{I_{C}}(C_{je}+C_{jc})+t_{B}.$

Rozwiązanie układu równań dla dwóch wartości prądu kolektora pozwala obliczyć:

$C_{je}=\frac{1}{\omega V_{T}}(\frac{1}{\left | h"_{21e} \right |}-\frac{1}{\left | h""_{21e} \right |})\frac{I"_{C}I""_{C}}{I"_{C}-I""_{C}}-C_{jc}\cong 1.96\, \, pF,$

$t_{B}\approx =\frac{1}{\omega \left | h"_{21e} \right |}-\frac{V_{T}}{I"_{C}}(C_{je}+C_{jc})\cong 3.4\, \, ns.$

Pulsacji granicznej w_T odpowiada zatem stała czasowa przeładowania pojemności tranzystora przez transkonduktancję g_m. Inaczej mówiąc można ją interpretować fizycznie jako pulsację, przy której okres sygnału staje się porównywalny z całkowitym czasem opóźnienia sygnału między wejściem a wyjściem tranzystora, który równy jest sumie stałych czasowych ładowania pojemności warstw zaporowych złącz emiter-baza i kolektor-baza oraz czasu przelotu nośników przez tranzystor:

$\frac{1}{2 \pi f_{T}}=\frac{1}{\omega _{T}}=\frac{C_{e}+C_{c}}{g_{m}}\approx \frac{C_{je}+C_{jc}}{g_{m}}+t_{B}+t_{BC}.$

(2.42)

Pulsacja w_T nosi także nazwę pole wzmocnienia, ponieważ, jak wynika z porównania wzorów (2.40) i (2.41):

$\omega _{T}\approx \omega \left | h_{21e(\omega )} \right |\, \, dla\, \, \omega _{\beta}$

(2.43)

odpowiada zatem powierzchni każdego prostokąta zbudowanego w powyższym zakresie pulsacji na wykresie dyspersyjnym - rys. 2.9. Pulsację w_T wyznacza się pośrednio, korzystając z (2.43). Rzeczywista charakterystyka dyspersyjna odbiega dla wysokich pulsacji od aproksymacji (zwykle ma nachylenie mniejsze niż 20 dB na dekadę). Pomiar rzeczywistej wartości pulsacji dla której |h_21e(w)| =1, jeżeli jest w ogóle możliwy do zrealizowania, może więc dostarczyć wartość oznaczaną w₁ większą od w_T.

Obliczyć częstotliwość f_T, jeżeli wiadomo, że czas życia elektronów w bazie jest 500 razy większy od czasu ich przelotu przez bazę i taki sam jest stosunek liczby Gummela dla bazy do liczby Gummela dla emitera. Przyjąć, że w_E « L_nE , f_b = 40 MHz.

Rozwiązanie

Współczynnik wzmocnienia prądowego w konfiguracji WE można wyliczyć:

$\beta _{F}=\frac{\alpha _{F}}{1-\alpha _{F}}=\frac{\alpha _{T}}{\frac{1}{\gamma _{E}}-\alpha _{T}}=\frac{1-\frac{t_{B}}{\tau _{nB}}}{1+\frac{G_{B}}{G_{E}}-1+\frac{t_{B}}{\tau _{nB}}}.$

Po uwzględnieniu warunków zadania otrzymuje się:

$\frac{G_{E}}{G_{B}}=\frac{\tau _{nB}}{t_{B}}=500\Rightarrow \beta _{F}=\frac{1}{2}(\frac{\tau _{nB}}{t_{B}}-1)\cong 250.$

Poszukiwana częstotliwość wynosi:

$f_{T}\approx f_{\beta }\cdot h_{21e0}=40\: MHz\cdot 250=10\: GHz.$

Pole wzmocnienia w_T jest parametrem tranzystora zależnym od punktu pracy jak na rys. 2.10. We współczesnych tranzystorach grubości bazy są bardzo małe, więc dla mniejszych wartości prądu kolektora dominuje czas przeładowania pojemności złączowych tranzystora w wyrażeniu (2.42). Ze wzrostem prądu transkonduktancja rośnie, czas ten maleje i tym samym w_T rośnie. Dla dużych wartości dominującym składnikiem w (2.42) staje się czas przelotu nośników. Przy dalszym wzroście I_C efekt bazy indukowanej powoduje, że w_T maleje:

Uzupelnij opis obrazka

Rys. 2.9 Zależność pola wzmocnienia od prądu kolektora

Oprócz powyższych, definiowana jest też pulsacja graniczna w_max czyli maksymalna pulsacja generacji jako pulsacja przy której wzmocnienie mocy tranzystora maleje do jedności. Jest to zatem parametr określający zakres częstotliwości, w którym tranzystor może pracować jako generator.

Dla wysokich częstotliwości (rzędu w_T) część rzeczywista impedancji wejściowej sprowadza się do rezystancji rozproszonej bazy, ponieważ zaciski B’-E w schemacie hybryd p (rys.2.5) są praktycznie zwarte. Zatem moc na wejściu w warunkach dopasowania można oszacować jako:

$P_{we}\approx I_{b}^{2}r_{bb"}.$

(2.44)

W tych warunkach można przyjąć, że część rzeczywista i urojona admitancji wyjściowej są sobie równe i wynoszą w_TC_jc. W stanie dopasowania na wyjściu połowa prądu ze źródła płynie przez konduktancję wyjściową, a połowa przez obciążenie, a zatem moc na wyjściu:

$P_{wy}\approx \frac{\left |h_{21e}(\omega ) \right |^{2}I_{b}^{2}}{4\omega _{T}C_{jc}}.$

(2.45)

Uwzględniając dodatkowo związek Wpolewzm, wzmocnienie mocy wynosi:

$k_{p}(\omega )=\frac{P_{wy}}{P_{we}}\approx \frac{\omega _{T}}{4\omega ^{2}r_{bb"}C_{jc}}=\left (\frac{\omega _{max}}{\omega} \right )^{2},$

(2.46)

gdzie maksymalna pulsacja generacji przy której k_p = 1 określona jest nastepująco:

$\omega _{max}=\sqrt{\frac{\omega _{T}}{4r_{bb"}C_{jc}}}.$

(2.47)

Ogólnie można przyjąć następującą relację pulsacji granicznych:

$\omega _{max}>\omega _{\alpha max}\geq \omega _{1}\geq \omega _{T}>>\omega _{\beta max}.$

(2.48)