Podręcznik

4. Propagacja fal w linii długiej

4.2. Rozwiązanie równań Linii Długiej

Fale: postępująca i odbita
Równania telegrafistów są równaniami różniczkowymi. Ta postać równań różniczkowych ma znaną i prostą postać rozwiązań:

\(\mathrm{U}(z)=\mathrm{U}_{+}+\mathrm{U}_{-}= \mathrm{U}_{1}e^{-\gamma z}+\mathrm{U}_{2}e^{\gamma z}\)

(10-6a)

\(\mathrm{I}(z)=\mathrm{I}_{+}+\mathrm{I}_{-}= \mathrm{I}_{1}e^{-\gamma z}+\mathrm{I}_{2}e^{\gamma z}\)

(10-6b)

Rozwiązanie jest dwuczłonowe, składniki z indeksem „1” reprezentują falę rozchodzącą się wzdłuż osi z, składniki z indeksem „2” reprezentują falę rozchodzącą się w przeciwną stronę, niż kierunek osi z.
Pamiętamy prostą i oczywistą interpretację rozwiązań:

U₁, I₁ - stałe całkowania – zespolone amplitudy napięcia i prądu fali rozchodzącej się w kierunku z, jest to fala postępująca.
U₂, I₂ - stałe całkowania - zespolone amplitudy napięcia i prądu fali rozchodzącej się w kierunku przeciwnym do z, nazywamy ją falą odbitą, albo wtórną.

Pamiętamy: Dla każdego typu prowadnicy falowej, w której propagowany jest jeden mod fali, można przyjąć obwód zastępczy w postaci linii dwuprzewodowej. W każdym takim przypadku rozwiązanie równania linii długiej mają postać (10-6) i (10-7) i ich interpretacja jest identyczna.
Stała propagacji
Gdy mówimy o propagacji fali, to powinniśmy wyznaczyć tłumienie fali, długość fali i prędkości rozchodzenia. Wprowadzona zależnością (10-3) i występująca w rozwiązaniach (10-6) i (10-7) stała propagacji \(\gamma\) jest bardzo ważnym parametrem zjawiska propagacji fali. Stała propagacji jest wielkością zespoloną i można zapisać ją w następującej postaci:

\(\gamma = \alpha +j\beta ;\)

(10-7)

Zależność (10-6a) może być zapisana następująco:

\(\mathrm{U}(z)=\mathrm{U}_{1}e^{-\alpha z}e^{-j\beta z}+\mathrm{U}_{2}e^{\alpha z}e^{j\beta z};\)

(10-8)

Interpretacja fizyczna obu składników \(\alpha +j\beta\) jest oczywista:

Część rzeczywista \(\alpha\) stałej propagacji \(\gamma\) nazywana jest stałą tłumienia. Stała tłumienia \(\alpha\)(Np/m) decyduje o szybkości strat mocy fali biegnącej wzdłuż linii.
Część urojona \(\beta\) stałej propagacji \(\gamma\) nazywana jest stałą fazowa. Stała fazowa \(\beta\)(rad/m) decyduje o szybkości zmian fazy fali biegnącej wzdłuż linii, a tym samym o długości fali \(\lambda\).

Powróćmy do zależności (10-3), aby znaleźć, jak \(\alpha\) i \(\beta\) zależą od parametrów R,G,L i C obwodu zastępczego z rys.10.2. Wracamy do podstawowych zależności opisujących stałą propagacji \(\gamma\) w zależności od impedancji Z i admitancji Y.

\(\gamma =\sqrt{YZ}=\sqrt{(R+j\omega L)(G+j\omega C)};\)

(10-9)

Zwykle spełnione są następujące warunki: \(R/\omega L << 1 \, \, \mathrm{oraz}\, \, \, G/\omega C << 1\), gdyż w praktycznych rozwiązaniach konstrukcji linii dwuprzewodowych przewody wykonane są z dobrze przewodzącego metalu i otoczone małostratnym dielektrykiem. Wtedy:

\(\alpha \cong \frac{G}{2}\sqrt{\frac{L}{C}}+\frac{R}{2}\sqrt{\frac{C}{L}};\)

(10-10)

\(\beta \cong \omega \sqrt{LC};\)

(10-11)

W zależności (10-10) drugi ze składników zwykle dominuje nad pierwszym.
Prędkości fazowa i grupowa
Gdy mówimy o prędkości propagacji fali musimy wyróżnić prędkość fazową i prędkość grupową.
Prędkość fazowa v_f propagowanej fali jest prędkością z jaką przesuwa się płaszczyzna stałej fazy. Prędkość v_f związana jest z wartością stałej fazowej \(\beta\):

\(v_{f}=\frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{d} t}=\frac{\omega }{\beta };\, \, \beta =\frac{\omega }{v_{f}}=\frac{2\pi }{\lambda _{f}};\)

(10-12)

Prędkość grupowa vg propagowanej fali jest prędkością przepływu energii.

\(v_{g}=\frac{\mathrm{d} \omega }{\mathrm{d} \beta }\)

(10-13)

Przypomnienie:
W prowadnicach falowych typu TEM prędkości fazowa i grupowa są sobie równe. W falowodach prostokątnych i cylindrycznych, w których propagowane są mody TE albo TM, prędkości fazowa i grupowa różnią się.
Impedancja charakterystyczna
Zespolone amplitudy napięcia U(z) i prądu I(z) opisane są zależnościami (10-6) i (10-7). Określimy teraz związki między nimi. Stosunki zespolonych amplitud napięcia i prądu dla obu propagowanych fal są sobie równe z dokładnością do znaku i nazwane impedancją charakterystyczną Z₀.

\({\mathrm{Z_{0}} }=\frac{\mathrm{U_{1}}}{\mathrm{I_1}}=-\frac{\mathrm{U_{2}}}{\mathrm{I_2}};\)

(10-14)

Wartość impedancji charakterystycznej jest bardzo ważnym parametrem prowadnicy falowej. Impedancja charakterystyczna Z₀ jest funkcją rozmiarów prowadnicy i parametrów ośrodka.

\({\mathrm{Z_{0}} }=\sqrt{\frac{R+j\omega L}{G+j\omega C}}\cong \sqrt{\frac{L}{C}};\)

(10-15)

Dla prowadnicy bezstratnej Z₀ jest rzeczywiste. Dla prowadnicy z małymi stratami przyjmuje się także, że z dobrym przybliżeniem Z₀ jest rzeczywiste.