Podręcznik

4. Propagacja fal w linii długiej

4.6. Transformacja impedancji

Postawienie problemu
Odpowiemy teraz na pytanie, jak zmieni się impedancja ZL przez dodanie odcinka prowadnicy falowej o odpowiedniej długości l i przez dobór jej impedancji charakterystycznej Z₀ – rys.10.12. Rozwiązanie tego problemu oznacza, że impedancję Z_L i odcinek prowadnicy l,Z₀ zastąpimy teraz impedancją Z(l) o takiej wartości, że rozkłady prądów i napięć na lewo od płaszczyzny l nie ulegną zmianie.

Rys.10.12. Odcinek prowadnicy falowej zakończony impedancją ZL

Aby rozwiązać postawiony problem należy wyznaczyć wartości napięcia U(l) i prądu i I(l) w płaszczyźnie odległej o l od końca. Jeśli to się uda zrobić, to odcinek prowadnicy o długości l i impedancji charakterystycznej Z₀ oraz impedancję Z_L można zastąpić impedancją Z(l), równą:

$\mathrm{Z}(l)\equiv \mathrm{Z}(l, \mathrm{Z_0}, \mathrm{Z_L})=\frac{\mathrm{U}(l)}{\mathrm{I}(l)};$

(10-63)

Równanie transformacji impedancji – linia bezstratna
Aby rozwiązać postawiony problem wykorzystamy znane związki (10-29) między współczynnikiem odbicia Γ(l) a napięciem i prądem, otrzymamy wtedy:

$\mathrm{Z}(l))=\mathrm{Z_0}\frac{1+\Gamma (l)}{1-\Gamma (l)};$

(10-64)

Przyjmiemy dalej, że znamy wartość współczynnika odbicia na końcu linii Γ_L(Z_L), a linia jest bezstratna, to znaczy stała propagacji zapisze się jako $\gamma =j\beta$ . Wtedy:

$\mathrm{Z}(l)=\mathrm{Z_0}\frac{1+\Gamma_L e^{-j2\beta l}}{1-\Gamma_Le^{-j2\beta l}};$

(10-65)

Teraz należy wykorzystać znaną z teorii liczb zespolonych tożsamość e^jx=cosx+jsinx. Po przekształceniach otrzymujemy równanie transformacji impedancji z tangensami:

$\mathrm{Z}(l)=\mathrm{Z_0}\frac{\mathrm{Z_L}+j\mathrm{Z_0} \mathrm{tg}\beta l}{\mathrm{Z_0}+j\mathrm{Z_L} \mathrm{tg}\beta l};$

(10-66)

Odwrotność wyrażenia (10-66) daje admitancję Y(l) i po niewielkich przekształceniach otrzymuje się podobne wyrażenie na transformację admitancji Y(l) wzdłuż bezstratnej prowadnicy falowej o impedancji charakterystycznej Z₀ i długości l.

$\mathrm{Y}(l)=\mathrm{Y_0}\frac{\mathrm{Y_L}+j\mathrm{Y_0} \mathrm{tg}\beta l}{\mathrm{Y_0}+j\mathrm{Y_L} \mathrm{tg}\beta l};$

(10-67)

Analizując wyrażenie (10-66) prowadzi do kilku wniosków:

Impedancja Z(l) jest funkcją aż 3 zmiennych: Z_L, Z₀, $\beta$ I.
Impedancja Z(I) jest okresową funkcją odległości, Z(I) = Z(I+ $\lambda$ /2), a okresem jest pół fali $\lambda$ /2.

Rys.10.13. Ilustracja transformacji impedancji. A) Transformacja na płaszczyźnie współczynnika odbicia. B) Transformacja i na płaszczyźnie impedancji.

Na rys.10.13 pokazano ilustrację graficzną procesu transformacji impedancji przy odsuwaniu się obciążenia w stronę generatora (patrz rys.10.9). Na rys.10.13A widzimy klasyczną transformację współczynnika odbicia Γ(l). Jak przy tej transformacji zmienia się impedancja z(l) pokazuje ry.10.13B. Okrąg transformacji umieszczono na płaszczyźnie impedancji. Zaznaczono charakterystyczne punkty tego okręgu: r_MAX i r_MIN.
Zależność (10-66) wskazuje na bardzo interesujące właściwości linii długiej, umożliwiające komponowanie żądanych parametrów obwodów. Zapoznamy się z nimi w kolejnych punktach.