Drukuj ten rozdziałDrukuj ten rozdział

Podręcznik

1. Wykres Smith’a

1.2. Odwzorowanie homograficzne

Zrozumienie natury wykresu Smith’a będzie łatwiejsze po zapoznaniu się z własnościami odwzorowania homograficznego.
Funkcja homograficzna wiążąca ze sobą dwie zmienne zespolone w i z zapisuje się następująco:

  

\mathrm{w=\frac{az+b}{cz+d}};\, \, \mathrm{z\neq -\frac{d}{c}};

 (1-6)  

przy czym a, b, c i d są stałymi zespolonymi.
Odwzorowaniem homograficznym nazywamy przyporządkowanie punktom na płaszczyźnie zespolonej z punktów na płaszczyźnie zespolonej w, opisane funkcją homograficzną.
Podstawowe własności odwzorowania homograficznego:

  • odwzorowanie homograficzne w(z) jest wzajemnie jednoznaczne,
  • okrąg na płaszczyźnie z transformuje się na okrąg na płaszczyźnie w (prosta jest szczególnym przypadkiem okręgu),
  • zachowana zostaje ortogonalność okręgów.

Zależności: 

  

\mathrm{z=\frac{1+\Gamma }{1-\Gamma }};

\mathrm{\Gamma _L=\frac{z_L-1 }{z_L+1 }=\frac{1-y_L }{1+y_L }};

 (1-7)  

 to typowe funkcje homograficzne