Podręcznik
1. Wykres Smith’a
1.2. Odwzorowanie homograficzne
Zrozumienie natury wykresu Smith’a będzie łatwiejsze po zapoznaniu się z własnościami odwzorowania homograficznego.
Funkcja homograficzna wiążąca ze sobą dwie zmienne zespolone w i z zapisuje się następująco:
|
\(\mathrm{w=\frac{az+b}{cz+d}};\, \, \mathrm{z\neq -\frac{d}{c}};\) |
(1-6) |
przy czym a, b, c i d są stałymi zespolonymi.
Odwzorowaniem homograficznym nazywamy przyporządkowanie punktom na płaszczyźnie zespolonej z punktów na płaszczyźnie zespolonej w, opisane funkcją homograficzną.
Podstawowe własności odwzorowania homograficznego:
- odwzorowanie homograficzne w(z) jest wzajemnie jednoznaczne,
- okrąg na płaszczyźnie z transformuje się na okrąg na płaszczyźnie w (prosta jest szczególnym przypadkiem okręgu),
- zachowana zostaje ortogonalność okręgów.
Zależności:
|
\(\mathrm{z=\frac{1+\Gamma }{1-\Gamma }};\) \(\mathrm{\Gamma _L=\frac{z_L-1 }{z_L+1 }=\frac{1-y_L }{1+y_L }};\) |
(1-7) |
to typowe funkcje homograficzne