Podręcznik

  Przypomnijmy równania stanu dla układu trzech zbiorników

\( \begin{eqnarray} \frac{d H_1(t)}{dt} &=& \frac{1}{A}Q_{we}(t) - \frac{\alpha}{A} \sqrt{H_1(t)-H_2(t)} \qquad(1.171) \\ \frac{d H_2(t)}{dt} &=& \frac{\alpha}{A} \sqrt{H_1(t)-H_2(t)} - \frac{\alpha}{A} \sqrt{H_2(t)-H_3(t)} \qquad(1.172)\\ \frac{d H_3(t)}{dt} &=& \frac{\alpha}{2A} \sqrt{H_2(t)-H_3(t)} - \frac{\alpha}{2A} \sqrt{H_3(t)} \qquad(1.173) \end{eqnarray} \)

Linearyzacja polega na rozwinięciu nieliniowych funkcji prawych stron równań stanu w szereg Taylora w punkcie równowagi z pominięciem wyrazów rzędu wyższego niż liniowy. Funkcja prawych stron z pierwszego równania stanu ma postać

\( \begin{equation} f_1(H_1,H_2,H_3,Q_{we}) = \frac{1}{A}Q_{we} - \frac{\alpha}{A} \sqrt{H_1-H_2} \end{equation}\qquad(1.174) \)

Dla skrócenia zapisu pomijamy w zapisie argument czasu \( (t) \). Pamiętamy jednak, że zmienne stanu i sterowania są funkcjami czasu.

Rozwinięcie funkcji \( f_1 \) w szereg Taylora wokół punktu równowagi \( (H_{10},H_{20},H_{30},Q_{we0}) \) ma postać

\( \begin{eqnarray} f_1(H_1,H_2,H_3,Q_{we}) &\simeq& f_1(H_{10},H_{20},H_{30},Q_{we0}) \\ &&+ \frac{\partial f_1(H_{10},H_{20},H_{30},Q_{we0})}{\partial H_1} (H_1-H_{10}) \nonumber \\ &&+ \frac{\partial f_1(H_{10},H_{20},H_{30},Q_{we0})}{\partial H_2} (H_2-H_{20}) \nonumber \\ &&+ \frac{\partial f_1(H_{10},H_{20},H_{30},Q_{we0})}{\partial H_3} (H_3-H_{30}) \nonumber \\ &&+ \frac{\partial f_1(H_{10},H_{20},H_{30},Q_{we0})}{\partial Q_{we}} (Q_{we}-Q_{we0}) \nonumber \end{eqnarray}\qquad(1.175) \)

gdzie np.: \( \frac{\partial f_1(H_{10},H_{20},H_{30},Q_{we0})}{\partial H_1} \) oznacza wartość pochodnej cząstkowej funkcji \( f_1 \) względem \( H_1 \) obliczoną w punkcie równowagi \( (H_{10},H_{20},H_{30},Q_{we0}) \).

Obliczmy wartości pochodnych cząstkowych funkcji \( f_1 \) względem zmiennych stanu i sterowań w punkcie równowagi. Dla przypomnienia pochodna funkcji pierwiastek kwadratowy wynosi

\( \begin{equation} \left(\sqrt{x}\right)' = \frac{1}{2\sqrt{x}} \end{equation}\qquad(1.176) \)

Korzystając w razie potrzeby ze standardowych własności pochodnej dostajemy

\( \begin{eqnarray} \frac{\partial f_1(H_{10},H_{20},H_{30},Q_{we0})}{\partial H_1} &=& -\frac{\alpha}{A} \cdot \frac{1}{2\sqrt{H_{10}-H_{20}}} \qquad(1.177) \\ &=& \frac{-\alpha}{2A\sqrt{H_{10}-H_{20}}} \nonumber \\ \frac{\partial f_1(H_{10},H_{20},H_{30},Q_{we0})}{\partial H_2} &=& -\frac{\alpha}{A} \cdot \frac{1}{2\sqrt{H_{10}-H_{20}}} \cdot (-1) \qquad(1.178) \\ &=& \frac{\alpha}{2A\sqrt{H_{10}-H_{20}}} \nonumber \\ \frac{\partial f_1(H_{10},H_{20},H_{30},Q_{we0})}{\partial H_3} &=& 0 \qquad(1.179) \\ \frac{\partial f_1(H_{10},H_{20},H_{30},Q_{we0})}{\partial Q_{we}} &=& \frac{1}{A} \qquad(1.180) \end{eqnarray} \)

Rozwinięcie funkcji \( f_1 \) w szereg Taylora wynosi zatem

\( \begin{eqnarray} f_1(H_1,H_2,H_3,Q_{we}) &=& \frac{1}{A}Q_{we} - \frac{\alpha}{A} \sqrt{H_1-H_2} \\ &\simeq& \frac{1}{A}Q_{we0} - \frac{\alpha}{A} \sqrt{H_{10}-H_{20}} \nonumber \\ &&+ \frac{-\alpha}{2A\sqrt{H_{10}-H_{20}}} (H_1-H_{10}) \nonumber \\ &&+ \frac{\alpha}{2A\sqrt{H_{10}-H_{20}}} (H_2-H_{20}) \nonumber \\ &&+ 0\cdot (H_3-H_{30}) \nonumber \\ &&+ \frac{1}{A} (Q_{we}-Q_{we0})\nonumber \end{eqnarray}\qquad(1.181) \)

Funkcja prawych stron z drugiego równania stanu ma postać

\( \begin{equation} f_2(H_1,H_2,H_3,Q_{we}) = \frac{\alpha}{A} \sqrt{H_1-H_2} - \frac{\alpha}{A} \sqrt{H_2-H_3} \end{equation}\qquad(1.182) \)

Rozwinięcie funkcji \( f_2 \) w szereg Taylora wokół punktu równowagi \( (H_{10},H_{20},H_{30},Q_{we0}) \) ma postać

\( \begin{eqnarray} f_2(H_1,H_2,H_3,Q_{we}) &\simeq& f_1(H_{10},H_{20},H_{30},Q_{we0}) \\ &&+ \frac{\partial f_2(H_{10},H_{20},H_{30},Q_{we0})}{\partial H_1} (H_1-H_{10})\nonumber \\ &&+ \frac{\partial f_2(H_{10},H_{20},H_{30},Q_{we0})}{\partial H_2} (H_2-H_{20})\nonumber \\ &&+ \frac{\partial f_2(H_{10},H_{20},H_{30},Q_{we0})}{\partial H_3} (H_3-H_{30})\nonumber \\ &&+ \frac{\partial f_2(H_{10},H_{20},H_{30},Q_{we0})}{\partial Q_{we}} (Q_{we}-Q_{we0}) \nonumber \end{eqnarray}\qquad(1.183) \)

Obliczmy wartości pochodnych cząstkowych funkcji \( f_2 \) względem zmiennych stanu i sterowań w punkcie równowagi

\( \begin{eqnarray} \frac{\partial f_2(H_{10},H_{20},H_{30},Q_{we0})}{\partial H_1} &=& \frac{\alpha}{A} \cdot \frac{1}{2\sqrt{H_{10}-H_{20}}} \qquad(1.184)\\ &=& \frac{\alpha}{2A\sqrt{H_{10}-H_{20}}} \nonumber \\ \frac{\partial f_2(H_{10},H_{20},H_{30},Q_{we0})}{\partial H_2} &=& \frac{\alpha}{A} \cdot \frac{1}{2\sqrt{H_{10}-H_{20}}} \cdot (-1) - \frac{\alpha}{A} \cdot \frac{1}{2\sqrt{H_{20}-H_{30}}} \qquad(1.185) \\ &=& \frac{-\alpha}{2A\sqrt{H_{10}-H_{20}}} + \frac{-\alpha}{2A\sqrt{H_{20}-H_{30}}} \\ \frac{\partial f_2(H_{10},H_{20},H_{30},Q_{we0})}{\partial H_3} &=& - \frac{\alpha}{A} \cdot \frac{1}{2\sqrt{H_{20}-H_{30}}} \cdot (-1) \qquad(1.186)\\ &=& \frac{\alpha}{2A\sqrt{H_{20}-H_{30}}} \nonumber \\ \frac{\partial f_2(H_{10},H_{20},H_{30},Q_{we0})}{\partial Q_{we}} &=& 0 \qquad(1.187) \end{eqnarray} \)

Rozwinięcie funkcji \( f_2 \) w szereg Taylora wynosi zatem

\( \begin{eqnarray} f_2(H_1,H_2,H_3,Q_{we}) &=& \frac{\alpha}{A} \sqrt{H_1-H_2} - \frac{\alpha}{A} \sqrt{H_2-H_3} \\ &\simeq& \frac{\alpha}{A} \sqrt{H_{10}-H_{20}} - \frac{\alpha}{A} \sqrt{H_{20}-H_{30}} \nonumber\\ &&+ \frac{\alpha}{2A\sqrt{H_{10}-H_{20}}} (H_1-H_{10}) \nonumber\\ &&+ \left( \frac{-\alpha}{2A\sqrt{H_{10}-H_{20}}} + \frac{-\alpha}{2A\sqrt{H_{20}-H_{30}}} \right) (H_2-H_{20}) \nonumber \\ &&+ \frac{\alpha}{2A\sqrt{H_{20}-H_{30}}} (H_3-H_{30})\nonumber \\ &&+ 0 \cdot (Q_{we}-Q_{we0}) \nonumber \end{eqnarray}\qquad(1.188) \)

Funkcja prawych stron z trzeciego równania stanu ma postać

\( \begin{equation} f_3(H_1,H_2,H_3,Q_{we}) = \frac{\alpha}{2A} \sqrt{H_2-H_3} - \frac{\alpha}{2A} \sqrt{H_3} \end{equation}\qquad(1.189) \)

Rozwinięcie funkcji \( f_3 \) w szereg Taylora wokół punktu równowagi \( (H_{10},H_{20},H_{30},Q_{we0}) \) ma postać

\( \begin{eqnarray} f_3(H_1,H_2,H_3,Q_{we}) &\simeq& f_3(H_{10},H_{20},H_{30},Q_{we0}) \\ &&+ \frac{\partial f_3(H_{10},H_{20},H_{30},Q_{we0})}{\partial H_1} (H_1-H_{10})\nonumber \\ &&+ \frac{\partial f_3(H_{10},H_{20},H_{30},Q_{we0})}{\partial H_2} (H_2-H_{20})\nonumber \\ &&+ \frac{\partial f_3(H_{10},H_{20},H_{30},Q_{we0})}{\partial H_3} (H_3-H_{30})\nonumber \\ &&+ \frac{\partial f_3(H_{10},H_{20},H_{30},Q_{we0})}{\partial Q_{we}} (Q_{we}-Q_{we0})\nonumber \end{eqnarray}\qquad(190) \)

Obliczmy wartości pochodnych cząstkowych funkcji \( f_3 \) względem zmiennych stanu i sterowań w punkcie równowagi

\( \begin{eqnarray} \frac{\partial f_3(H_{10},H_{20},H_{30},Q_{we0})}{\partial H_1} &=& 0 \qquad(1.191)\\ \frac{\partial f_3(H_{10},H_{20},H_{30},Q_{we0})}{\partial H_2} &=& \frac{\alpha}{2A} \cdot \frac{1}{2\sqrt{H_{20}-H_{30}}}\qquad(1.192) \\ &=& \frac{\alpha}{4A\sqrt{H_{20}-H_{30}}} \nonumber \\ \frac{\partial f_3(H_{10},H_{20},H_{30},Q_{we0})}{\partial H_3} &=& \frac{\alpha}{2A} \cdot \frac{1}{2\sqrt{H_{20}-H_{30}}} \cdot (-1) - \frac{\alpha}{2A} \cdot \frac{1}{2\sqrt{H_{30}}} \nonumber \\ &=& \frac{-\alpha}{4A\sqrt{H_{20}-H_{30}}} + \frac{-\alpha}{4A\sqrt{H_{30}}} \qquad(1.193) \\ \frac{\partial f_3(H_{10},H_{20},H_{30},Q_{we0})}{\partial Q_{we}} &=& 0 \qquad(1.194) \end{eqnarray} \)

Rozwinięcie funkcji \( f_3 \) w szereg Taylora wynosi zatem

\( \begin{eqnarray} f_3(H_1,H_2,H_3,Q_{we}) &=& \frac{\alpha}{2A} \sqrt{H_2-H_3} - \frac{\alpha}{2A} \sqrt{H_3} \\ &\simeq& \frac{\alpha}{2A} \sqrt{H_{20}-H_{30}} - \frac{\alpha}{2A} \sqrt{H_{30}} \nonumber\\ &&+ 0 \cdot (H_1-H_{10}) \nonumber\\ &&+\frac{\alpha}{4A\sqrt{H_{20}-H_{30}}} (H_2-H_{20}) \nonumber \\ &&+ \left( \frac{-\alpha}{4A\sqrt{H_{20}-H_{30}}} + \frac{-\alpha}{4A\sqrt{H_{30}}} \right) (H_3-H_{30}) \nonumber \\ &&+ 0 \cdot (Q_{we}-Q_{we0}) \nonumber \end{eqnarray} \qquad(1.195) \)

Obliczyliśmy rozwinięcia w szereg Taylora wszystkich funkcji prawych stron. Przepiszmy zatem jeszcze raz równania stanu, ale zamiast funkcji użyjmy przybliżeń wynikających z szeregu Taylora

\( \begin{eqnarray} \frac{dH_1}{dt} &\simeq& \frac{1}{A}Q_{we0} - \frac{\alpha}{A} \sqrt{H_{10}-H_{20}} + \frac{-\alpha}{2A\sqrt{H_{10}-H_{20}}} (H_1-H_{10}) \qquad(1.196) \\ &&+ \frac{\alpha}{2A\sqrt{H_{10}-H_{20}}} (H_2-H_{20}) + 0\cdot (H_3-H_{30}) + \frac{1}{A} (Q_{we}-Q_{we0})\nonumber \\ \frac{dH_2}{dt} &\simeq& \frac{\alpha}{A} \sqrt{H_{10}-H_{20}} - \frac{\alpha}{A} \sqrt{H_{20}-H_{30}} + \frac{\alpha}{2A\sqrt{H_{10}-H_{20}}} (H_1-H_{10})\qquad(1.197) \\ &&+ \left( \frac{-\alpha}{2A\sqrt{H_{10}-H_{20}}} + \frac{-\alpha}{2A\sqrt{H_{20}-H_{30}}} \right) (H_2-H_{20}) \nonumber \\ &&+ \frac{\alpha}{2A\sqrt{H_{20}-H_{30}}} (H_3-H_{30})+ 0 \cdot (Q_{we}-Q_{we0}) \nonumber \\ \frac{dH_3}{dt} &\simeq& \frac{\alpha}{2A} \sqrt{H_{20}-H_{30}} - \frac{\alpha}{2A} \sqrt{H_{30}} + 0 \cdot (H_1-H_{10}) \\ &&+\frac{\alpha}{4A\sqrt{H_{20}-H_{30}}} (H_2-H_{20}) + \left( \frac{-\alpha}{4A\sqrt{H_{20}-H_{30}}} + \frac{-\alpha}{4A\sqrt{H_{30}}} \right) (H_3-H_{30}) \qquad(1.198)\\ &&+ 0 \cdot (Q_{we}-Q_{we0}) \nonumber \end{eqnarray} \)

Zauważmy, że na podstawie warunków na punkt równowagi następujące wyrażenia zerują się

\( \begin{eqnarray} 0 &=& f_1(H_{10},H_{20},H_{30},Q_{we0}) = \frac{1}{A}Q_{we0} - \frac{\alpha}{A} \sqrt{H_{10}-H_{20}} \qquad(1.199)\\ 0 &=& f_2(H_{10},H_{20},H_{30},Q_{we0}) = \frac{\alpha}{A} \sqrt{H_{10}-H_{20}} - \frac{\alpha}{A} \sqrt{H_{20}-H_{30}}\qquad(1.200)\\ 0 &=& f_3(H_{10},H_{20},H_{30},Q_{we0}) = \frac{\alpha}{2A} \sqrt{H_{20}-H_{30}} - \frac{\alpha}{2A} \sqrt{H_{30}}\qquad(1.201) \end{eqnarray} \)

Wynika z tego, że możemy pominąć wyrazy stałe w rozwinięciu w szereg Taylora

\( \begin{eqnarray} \frac{dH_1}{dt} &\simeq& \frac{-\alpha}{2A\sqrt{H_{10}-H_{20}}} (H_1-H_{10}) + \frac{\alpha}{2A\sqrt{H_{10}-H_{20}}} (H_2-H_{20}) \\ &&+ 0\cdot (H_3-H_{30}) + \frac{1}{A} (Q_{we}-Q_{we0})\qquad(1.202) \\ \frac{dH_2}{dt} &\simeq& \frac{\alpha}{2A\sqrt{H_{10}-H_{20}}} (H_1-H_{10}) \\ &&+ \left( \frac{-\alpha}{2A\sqrt{H_{10}-H_{20}}} + \frac{-\alpha}{2A\sqrt{H_{20}-H_{30}}} \right) (H_2-H_{20}) \qquad(1.203)\\ &&+ \frac{\alpha}{2A\sqrt{H_{20}-H_{30}}} (H_3-H_{30})+ 0 \cdot (Q_{we}-Q_{we0}) \nonumber \\ \frac{dH_3}{dt} &\simeq& 0 \cdot (H_1-H_{10}) +\frac{\alpha}{4A\sqrt{H_{20}-H_{30}}} (H_2-H_{20}) \\ &&+ \left( \frac{-\alpha}{4A\sqrt{H_{20}-H_{30}}} + \frac{-\alpha}{4A\sqrt{H_{30}}} \right) (H_3-H_{30}) + 0 \cdot (Q_{we}-Q_{we0}) \qquad(1.204) \end{eqnarray} \)

Wprowadźmy następujące oznaczenia

\( \begin{eqnarray} \Delta H_1 &=& H_1-H_{10} \qquad(1.205)\\ \Delta H_2 &=& H_2-H_{20} \qquad(1.206)\\ \Delta H_3 &=& H_3-H_{20} \qquad(1.207)\\ \Delta Q_{we} &=& Q_{we}-Q_{we0} \qquad(1.208) \end{eqnarray} \)

Zmienne \( \Delta H_1 \), \( \Delta H_2 \), \( \Delta H_3 \) oraz \( \Delta Q_{we}  \) określają przyrosty wartości  \(  H_1 \), \(  H_2 \), \(  H_3 \) oraz \(  Q_{we}  \) w stosunku do ich wartości w punkcie pracy \( H_{10} \), \( H_{20} \), \( H_{30} \) oraz \( Q_{we0} \).  

Możemy teraz zapisać przybliżenia w równaniach stanu

\( \begin{eqnarray} \frac{dH_1}{dt} &\simeq& \frac{-\alpha}{2A\sqrt{H_{10}-H_{20}}} \Delta H_1 + \frac{\alpha}{2A\sqrt{H_{10}-H_{20}}} \Delta H_2 + 0\cdot \Delta H_3 + \frac{1}{A} \Delta Q_{we} \qquad(1.209)\\ \frac{dH_2}{dt} &\simeq& \frac{\alpha}{2A\sqrt{H_{10}-H_{20}}} \Delta H_1 + \left( \frac{-\alpha}{2A\sqrt{H_{10}-H_{20}}} + \frac{-\alpha}{2A\sqrt{H_{20}-H_{30}}} \right) \Delta H_2 \\ &&+ \frac{\alpha}{2A\sqrt{H_{20}-H_{30}}} \Delta H_3 + 0 \cdot \Delta Q_{we} \qquad(1.210) \\ \frac{dH_3}{dt} &\simeq& 0 \cdot \Delta H_1 + \frac{\alpha}{4A\sqrt{H_{20}-H_{30}}} \Delta H_2 \\ &&+ \left( \frac{-\alpha}{4A\sqrt{H_{20}-H_{30}}} + \frac{-\alpha}{4A\sqrt{H_{30}}} \right) \Delta H_3 + 0 \cdot \Delta Q_{we} \qquad(1.211) \end{eqnarray} \)

Obliczmy ile wynoszą pochodne zmiennych \( \Delta H_1 \), \( \Delta H_2 \) oraz \( \Delta H_3 \).

\( \begin{eqnarray} \frac{d\Delta H_1}{dt} &=& \frac{d (H_1-H_{10})}{dt} = \frac{d H_1}{dt} - \frac{d H_{10}}{dt} = \frac{d H_1}{dt} \qquad(1.212)\\ \frac{d\Delta H_2}{dt} &=& \frac{d (H_2-H_{20})}{dt} = \frac{d H_2}{dt} - \frac{d H_{20}}{dt} = \frac{d H_2}{dt} \qquad(1.213)\\ \frac{d\Delta H_3}{dt} &=& \frac{d (H_3-H_{30})}{dt} = \frac{d H_3}{dt} - \frac{d H_{30}}{dt} = \frac{d H_3}{dt} \qquad(1.214) \end{eqnarray} \)

ponieważ \( \frac{d H_{10}}{dt} = 0 \), \( \frac{d H_{20}}{dt}=0 \) oraz \( \frac{d H_{30}}{dt}=0 \) jako pochodne funkcji stałych. Wprowadźmy zatem do przybliżeń wielkości \( \frac{d\Delta H_1}{dt} \), \( \frac{d\Delta H_2}{dt} \) oraz \( \frac{d\Delta H_3}{dt} \) zamiast \( \frac{d H_1}{dt} \), \( \frac{d H_2}{dt} \) oraz \( \frac{d H_3}{dt} \).

\( \begin{eqnarray} \frac{d\Delta H_1}{dt} &\simeq& \frac{-\alpha}{2A\sqrt{H_{10}-H_{20}}} \Delta H_1 + \frac{\alpha}{2A\sqrt{H_{10}-H_{20}}} \Delta H_2 + 0\cdot \Delta H_3 + \frac{1}{A} \Delta Q_{we} \qquad(1.215)\\ \frac{d\Delta H_2}{dt} &\simeq& \frac{\alpha}{2A\sqrt{H_{10}-H_{20}}} \Delta H_1 + \left( \frac{-\alpha}{2A\sqrt{H_{10}-H_{20}}} + \frac{-\alpha}{2A\sqrt{H_{20}-H_{30}}} \right) \Delta H_2 \\ &&+ \frac{\alpha}{2A\sqrt{H_{20}-H_{30}}} \Delta H_3 + 0 \cdot \Delta Q_{we} \qquad(1.216) \\ \frac{d\Delta H_3}{dt} &\simeq& 0 \cdot \Delta H_1 + \frac{\alpha}{4A\sqrt{H_{20}-H_{30}}} \Delta H_2 \\ &&+ \left( \frac{-\alpha}{4A\sqrt{H_{20}-H_{30}}} + \frac{-\alpha}{4A\sqrt{H_{30}}} \right) \Delta H_3 + 0 \cdot \Delta Q_{we} \qquad(1.217) \end{eqnarray} \)

Zauważmy, że współczynniki stojące przy \( \Delta H_1 \), \( \Delta H_2 \), \( \Delta H_3 \), oraz \( \Delta Q_{we} \) pomimo swojej skomplikowanej postaci są stałymi, ponieważ są obliczane w punkcie równowagi. 

Powyższe zależności są spełnione w przybliżeniu. Aby utworzyć równania zlinearyzowane wprowadzamy nowe wielkości \( \tilde{H}_1 \), \( \tilde{H}_2 \), \( \tilde{H}_3 \) oraz \( \tilde{Q}_{we} \) oraz definiujemy równania  zlinearyzowane w następujący sposób

\( \begin{eqnarray} \frac{d\tilde{H}_1}{dt} &=& \frac{-\alpha}{2A\sqrt{H_{10}-H_{20}}} \tilde{H}_1 + \frac{\alpha}{2A\sqrt{H_{10}-H_{20}}} \tilde{H}_2 \qquad(1.218) \\ &&+ 0\cdot \tilde{H}_3 + \frac{1}{A} \tilde{Q}_{we} \nonumber \\ \frac{d\tilde{H}_2}{dt} &=& \frac{\alpha}{2A\sqrt{H_{10}-H_{20}}} \tilde{H}_1 + \left( \frac{-\alpha}{2A\sqrt{H_{10}-H_{20}}} + \frac{-\alpha}{2A\sqrt{H_{20}-H_{30}}} \right) \tilde{H}_2 \qquad(1.219) \\ &&+ \frac{\alpha}{2A\sqrt{H_{20}-H_{30}}} \tilde{H}_3 + 0 \cdot \tilde{Q}_{we} \\ \frac{d\tilde{H}_3}{dt} &=& 0 \cdot \tilde{H}_1 + \frac{\alpha}{4A\sqrt{H_{20}-H_{30}}} \tilde{H}_2 \\ &&+ \left( \frac{-\alpha}{4A\sqrt{H_{20}-H_{30}}} + \frac{-\alpha}{4A\sqrt{H_{30}}} \right) \tilde{H}_3 + 0 \cdot \tilde{Q}_{we} \qquad(1.220) \end{eqnarray} \)

Są to równania w ścisłym sensie, gdyż zamiast znaku przybliżenia \( \simeq \) pojawia się znak równości. Przydatność linearyzacji opiera się na następującym postulacie.

 Postulujemy, że jeżeli zachodzą następujące warunki 

•  w pewnym ustalonym przedziale czasu \( t\in [ t_0, t_1 ] \) funkcja sterowań \( \tilde{Q}_{we}(t) \) jest dokładnie równa przyrostowi zmiennej \( Q_{we}(t) \)

• warunki początkowe dla zmiennych \( \tilde{H}_1 \), \( \tilde{H}_2 \), \( \tilde{H}_3 \( są dokładnie równe przyrostom zmiennych \( H_1 \), \( H_2 \) oraz \( H_3 \) w chwili początkowej

\( \begin{eqnarray} \tilde{H}_1(t_0) &=& \Delta H_1(t_0) = H_1(t_0)-H_{10} \qquad(1.222) \\ \tilde{H}_2(t_0) &=& \Delta H_2(t_0) = H_2(t_0)-H_{20} \qquad(1.223)\\ \tilde{H}_3(t_0) &=& \Delta H_3(t_0) = H_3(t_0)-H_{30} \qquad(1.224) \end{eqnarray} \)

• w pewnym ustalonym przedziale czasu \( t\in [ t_0, t_1 ] \) rozwiązania nieliniowych równań stanu  \( H_1(t) \), \( H_2(t) \) oraz \( H_3(t) \) pozostają w otoczeniu punktu równowagi \( (H_{10},  H_{20}, H_{30}) \) (\( C_{H_1}, C_{H_2}, C_{H_3} \) -- stałe dodatnie)

\( \begin{eqnarray} | H_1(t)-H_{10} | &=& | \Delta H_1(t) | \leq C_{H_1} \qquad(1.225) \\ | H_2(t)-H_{20} | &=& | \Delta H_2(t) | \leq C_{H_2} \qquad(1.226) \\ | H_3(t)-H_{30} | &=& | \Delta H_3(t) | \leq C_{H_3} \qquad(1.227) \end{eqnarray} \)

to rozwiązania \( \tilde{H}_1(t) \), \( \tilde{H}_2(t) \) oraz \( \tilde{H}_3(t) \) liniowych równań stanu (1.218)-(1.220) dobrze przybliżają przyrosty zmiennych stanu dla \( t\in [ t_0, t_1 ] \) tzn. w tym przedziale czasu zachodzi przybliżony warunek

\( \begin{eqnarray} \tilde{H}_1(t) &\simeq& \Delta H_1(t) \qquad(1.228)\\ \tilde{H}_2(t) &\simeq& \Delta H_2(t) \qquad(1.229)\\ \tilde{H}_3(t) &\simeq& \Delta H_3(t) \qquad(1.230) \end{eqnarray} \)

Przybliżenie to jest tym lepsze im bliżej wybranego punktu równowagi pozostają rozwiązania nieliniowych równań stanu tzn. im mniejsze są stałe \( C_{H_1}, C_{H_2}, C_{H_3} \) w równaniach (1.225})-(1.226).   

Ścisły dowód tego postulatu wymaga zaawansowanego aparatu matematycznego, dlatego nie będzie zaprezentowany w tym opracowaniu. Intuicyjnie postulat ten jest jednak zrozumiały. Oczekujemy, że rozwiązania zlinearyzowanych równań stanu będą dobrze przybliżały przyrosty zmiennych stanu obiektu nieliniowego w stosunku do ich wartości w wybranym punkcie równowagi, przynajmniej w pewnym otoczeniu tego punktu. Bardzo istotna jest obserwacja, że rozwiązania zlinearyzowanych równań stanu przybliżają przyrosty zmiennych stanu obiektu nieliniowego, a nie same zmienne stanu. 

Funkcja wyjść dla układu trzech zbiorników ma postać

\( \begin{equation} y_1 = g_1(H_1,H_2,H_3) = H_3 \end{equation}\qquad(1.231) \)

Linearyzacja funkcji wyjść ma postać

\( \begin{eqnarray} g_1(H_1,H_2,H_3) &\simeq& g_1(H_{10},H_{20},H_{30},Q_{we0}) \\ &&+ \frac{\partial g_1(H_{10},H_{20},H_{30},Q_{we0})}{\partial H_1} (H_1-H_{10}) \nonumber \\ &&+ \frac{\partial g_1(H_{10},H_{20},H_{30},Q_{we0})}{\partial H_2} (H_2-H_{20}) \nonumber \\ &&+ \frac{\partial g_1(H_{10},H_{20},H_{30},Q_{we0})}{\partial H_3} (H_3-H_{30}) \nonumber \end{eqnarray}\qquad(1.232) \)

Wartości pochodnych cząstkowych funkcji \( g_1 \) względem zmiennych stanu i sterowań w punkcie równowagi wynoszą

\( \begin{eqnarray} \frac{\partial g_1(H_{10},H_{20},H_{30},Q_{we0})}{\partial H_1} &=& 0 \qquad(1.233)\\ \frac{\partial g_1(H_{10},H_{20},H_{30},Q_{we0})}{\partial H_2} &=& 0 \qquad(1.234)\\ \frac{\partial g_1(H_{10},H_{20},H_{30},Q_{we0})}{\partial H_3} &=& 1 \qquad(1.235) \end{eqnarray} \)

Rozwinięcie funkcji wyjść w szereg Taylora wynosi zatem

\( \begin{equation} y_1 \simeq y_{10} + 0 \cdot (H_1-H_{10}) + 0 \cdot (H_2-H_{20}) + 1 \cdot (H_3-H_{30}) \end{equation}\qquad(1.236) \)

gdzie \( y_{10} = g_1(H_{10},H_{20},H_{30}) \)

Jeżeli przeniesiemy \( y_{10} \) na drugą stronę przybliżenia dostajemy

\( \begin{equation} y_1- y_{10} \simeq 0 \cdot (H_1-H_{10}) + 0 \cdot (H_2-H_{20}) + 1 \cdot (H_3-H_{30}) \end{equation}\qquad(1.237) \)

Jeżeli teraz wprowadzimy do przybliżenia zmienne przyrostowe, to otrzymujemy

\( \begin{equation} \Delta y_1 \simeq 0 \cdot \Delta H_1 + 0 \cdot \Delta H_2 + 1 \cdot \Delta H_3 \end{equation}\qquad(1.238) \)

gdzie 

\( \begin{equation} \Delta y_1 = y_1-y_{10} \end{equation}\qquad(1.239) \)

Aby zdefiniować zlinearyzowane równanie wyjść wprowadzamy zmienną \( \tilde{y}_1 \). Zlinearyzowane równanie wyjść ma postać

\( \begin{equation} \tilde{y}_1 = 0 \cdot \tilde{H}_1 + 0 \cdot \tilde{H}_2 + 1 \cdot \tilde{H}_3 \end{equation}\qquad(1.240) \)

Postulując takie same warunki jak w przypadku równań stanu oczekujemy, że rozwiązanie równania wyjść \( \tilde{y}_1 \) będzie dobrze przybliżać przyrost zmiennej wyjściowej \( y_1 \)

\( \begin{equation} \tilde{y}_1 \simeq \Delta y_1 = y_1-y_{10} \end{equation}\qquad(1.241) \)

Zlinearyzowane równania stanu i wyjść mogą zostać przedstawione w postaci wektorowej

\( \begin{eqnarray} \left( \begin{array}{c} \frac{d\tilde{H}_1}{dt}\\ \frac{d\tilde{H}_2}{dt} \\ \frac{d\tilde{H}_3}{dt} \end{array} \right) &=& \left( \begin{array}{ccc} \frac{-\alpha}{2A\sqrt{H_{10}-H_{20}}} & \frac{\alpha}{2A\sqrt{H_{10}-H_{20}}} & 0 \\ \frac{\alpha}{2A\sqrt{H_{10}-H_{20}}} & \frac{-\alpha}{2A\sqrt{H_{10}-H_{20}}} + \frac{-\alpha}{2A\sqrt{H_{20}-H_{30}}} & \frac{\alpha}{2A\sqrt{H_{20}-H_{30}}} \\ 0 & \frac{\alpha}{4A\sqrt{H_{20}-H_{30}}} & \frac{-\alpha}{4A\sqrt{H_{20}-H_{30}}} + \frac{-\alpha}{4A\sqrt{H_{30}}} \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} \tilde{H}_1\\ \tilde{H}_2 \\ \tilde{H}_3 \end{array} \right) \nonumber \\ &&+ \left( \begin{array}{c} \frac{1}{A} \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) \left( \tilde{Q}_{we} \right) \end{eqnarray}\qquad(1.242) \)

\( \begin{eqnarray} \left( y_1 \right) &=& \left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} \tilde{H}_1\\ \tilde{H}_2 \\ \tilde{H}_3 \end{array} \right) \end{eqnarray} \qquad(1.243) \)