Podręcznik

W tej sekcji sformułujemy równania stanu dla nieliniowego i zlinearyzowanego układu regulacji w postaci ogólnej. Rozważmy obiekt opisany równaniami stanu i wyjść

\( \begin{eqnarray} \dfrac{dx(t)}{dt} &=& f(x(t),u(t)) \qquad(2.70)\\ y(t) &=& g(x(t)) \qquad(2.71) \end{eqnarray} \)

i punkt pracy określony za pomocą równań punktu równowagi

\( \begin{eqnarray} 0 &=& f(x_0,u_0) \qquad(2.72) \\ y_0 &=& g(x_0) \qquad(2.73) \end{eqnarray} \)

Załóżmy najpierw, że równanie regulatora ma postać

\( \begin{equation} u(t) = r(y(t)-y_0) + u_0 \qquad(2.74) \end{equation} \)

gdzie \( r(y(t)-y_0) \) jest pewną nieliniową funkcją odchyłki regulacji. Ten przypadek obejmuje np.: algorytm regulatora P, albo algorytm regulatora nieliniowego (2.40). Równanie regulatora można także zapisać za pomocą przyrostów

\( \begin{equation} \Delta u(t) = r(\Delta y(t)) \qquad(2.75) \end{equation} \)

Aby regulacja była możliwa, funkcja regulatora musi dawać zerową korektę sterowania dla zerowej odchyłki regulacji 

\( \begin{equation} r(0) = 0 \qquad(2.76) \end{equation} \)

Jeżeli wstawimy równania (2.71) oraz (2.74) do równań stanu obiektu to otrzymujemy równania stanu dla nieliniowego układu regulacji

\( \begin{equation} \dfrac{dx(t)}{dt} = f(x(t),r(g(x(t))-y_0) + u_0) = f_r(x(t)) \qquad(2.77) \end{equation} \)

gdzie \( f_r(x(t)) \) jest nieliniową funkcją stanu dla układu regulacji. Zauważmy, że punkt pracy jest także punktem równowagi nieliniowego układu regulacji, mamy bowiem 

\( \begin{eqnarray} f_r(x_0) &=& f(x_0,r(g(x_0)-y_0) + u_0) = f(x_0,r(y_0-y_0) + u_0) \qquad(2.78)\\ &=& f(x_0,r(0) + u_0) = f(x_0, u_0) = 0  \end{eqnarray} \)

Nieliniowy układ regulacji można opisać w taki sam sposób (za pomocą równań stanu) jak każdy obiekt nieliniowy. Zauważmy, że w równaniach stanu układu regulacji formalnie nie występuje sygnał sterujący. Sterowanie generowane przez regulator zależy bowiem jedynie od wyjścia układu \( y(t) \) i od wartości \( y_{0} \) oraz \( u_{0} \), które są stałymi. Obiekty, w których nie występuje sterowanie,  nazywamy obiektami autonomicznymi.

Na opis zlinearyzowanego układu regulacji składają się zlinearyzowane równania obiektu

\( \begin{eqnarray} \dfrac{d\tilde{x}(t)}{dt} &=& \dfrac{\partial f(x_0,u_0)}{\partial x}\tilde{x}(t) + \dfrac{\partial f(x_0,u_0)}{\partial u}\tilde{u}(t) \qquad(2.79) \\ \tilde{y}(t) &=& \dfrac{\partial g(x_0,u_0)}{\partial x}\tilde{x}(t) \qquad(2.80) \end{eqnarray} \)

oraz zlinearyzowane równanie regulatora. Rozwinięcie w szereg Taylora równania regulatora ma postać

\( \begin{equation} \Delta u(t) = r(\Delta y(t)) \simeq r(\Delta y_0) + \dfrac{\partial r(\Delta y_0)}{\partial \Delta y} \Delta y(t) \qquad(2.81) \end{equation} \)

Odchyłka regulacji w punkcie pracy wynosi 0, tzn. \( \Delta y_0 = 0 \). Mamy zatem

\( \begin{equation} \Delta u(t) \simeq \dfrac{\partial r(0)}{\partial \Delta y} \Delta y(t) \qquad(2.82) \end{equation} \)

Zlinearyzowane równanie regulatora ma postać 

\( \begin{equation} \tilde{u}(t) = \dfrac{\partial r(0)}{\partial \Delta y} \tilde{y}(t) \qquad(2.83) \end{equation} \)

Jeżeli wstawimy równania (2.80) oraz (2.83) do równań stanu obiektu zlinearyzowanego otrzymamy równania stanu zlinearyzowanego układu regulacji 

\( \begin{eqnarray} \dfrac{d\tilde{x}(t)}{dt} &=& \dfrac{\partial f(x_0,u_0)}{\partial x}\tilde{x}(t) + \dfrac{\partial f(x_0,u_0)}{\partial u} \cdot \dfrac{\partial r(0)}{\partial \Delta y} \cdot \dfrac{\partial g(x_0,u_0)}{\partial x} \tilde{x}(t) \qquad(2.84) \\ &=& \left( \dfrac{\partial f(x_0,u_0)}{\partial x} + \dfrac{\partial f(x_0,u_0)}{\partial u} \cdot \dfrac{\partial r(0)}{\partial \Delta y} \cdot \dfrac{\partial g(x_0,u_0)}{\partial x} \right) \tilde{x}(t)\nonumber \\ &=& \dfrac{\partial f_r(x_0)}{\partial x} \tilde{x}(t) \nonumber \end{eqnarray} \)

 Postulujemy, że jeżeli zachodzą następujące warunki 

•  warunek początkowy dla zlinearyzowanego wektora stanu  \(\tilde{x}(t) \) jest równy przyrostowi wektora stanu \(x(t)\) w chwili początkowej

\( \begin{equation} \tilde{x}(t_0) = \Delta x(t_0) \end{equation}\qquad(2.85) \)

• w pewnym ustalonym przedziale czasu \( t\in [ t_0, t_1 ] \) rozwiązanie \( x(t) \) równań stanu nieliniowego układu regulacji (2.77) pozostaje w otoczeniu punktu pracy \( x_0 \)

\( \begin{equation} \| x(t)-x_0 \| = \| \Delta x(t) \| \leq C \qquad(2.86) \\ \end{equation} \)

to rozwiązanie \(\tilde{x}(t)\) równań stanu zlinearyzowanego układu regulacji (2.84) dobrze przybliża przyrost wektora zmiennych stanu układu nieliniowego dla \( t\in [ t_0, t_1 ] \) tzn. w tym przedziale czasu zachodzą przybliżone warunki

\( \begin{eqnarray} \tilde{x}(t) \simeq \Delta x(t) \end{eqnarray}\qquad(2.87) \)

Przybliżenie to jest tym lepsze im bliżej wybranego punktu pracy \( x_0 \) pozostaje wektor stanu \( x(t) \) tzn. im mniejsza jest stała \(  C \) w (2.86). 

Sytuacja jest nieco bardziej skomplikowana jeżeli rozważamy regulator PID. Aby można było zapisać algorytm regulatora PID w formalizmie równań stanu, należy odpowiednio zapisać operacje całkowania i różniczkowania w równaniu regulatora. Odpowiednie rozważania nie są skomplikowane, jednak nie będziemy ich prezentować w niniejszym opracowaniu.