Podręcznik
3. Nieliniowe i zlinearyzowane układy regulacji - przypadek ogólny
W tej sekcji sformułujemy równania stanu dla nieliniowego i zlinearyzowanego układu regulacji w postaci ogólnej. Rozważmy obiekt opisany równaniami stanu i wyjść
i punkt pracy określony za pomocą równań punktu równowagi
Załóżmy najpierw, że równanie regulatora ma postać
gdzie jest pewną
nieliniową funkcją odchyłki regulacji. Ten przypadek obejmuje np.: algorytm
regulatora P, albo algorytm regulatora nieliniowego (2.40). Równanie regulatora
można także zapisać za pomocą przyrostów
Aby regulacja była możliwa, funkcja regulatora musi dawać zerową korektę sterowania dla zerowej odchyłki regulacji
Jeżeli wstawimy równania (2.71) oraz (2.74) do równań stanu obiektu to otrzymujemy równania stanu dla nieliniowego układu regulacji
gdzie jest
nieliniową funkcją stanu dla układu regulacji. Zauważmy, że punkt pracy jest
także punktem równowagi nieliniowego układu regulacji, mamy bowiem
Nieliniowy układ regulacji można
opisać w taki sam sposób (za pomocą równań stanu) jak każdy obiekt nieliniowy.
Zauważmy, że w równaniach stanu układu regulacji formalnie nie występuje sygnał
sterujący. Sterowanie generowane przez regulator zależy bowiem jedynie od
wyjścia układu i od wartości
oraz
, które są
stałymi. Obiekty, w których nie występuje sterowanie, nazywamy obiektami
autonomicznymi.
Na opis zlinearyzowanego układu regulacji składają się zlinearyzowane równania obiektu
oraz zlinearyzowane równanie regulatora. Rozwinięcie w szereg Taylora równania regulatora ma postać
Odchyłka regulacji w punkcie pracy
wynosi 0, tzn. . Mamy zatem
Zlinearyzowane równanie regulatora ma postać
Jeżeli wstawimy równania (2.80) oraz (2.83) do równań stanu obiektu zlinearyzowanego otrzymamy równania stanu zlinearyzowanego układu regulacji
Postulujemy, że jeżeli zachodzą następujące warunki
- warunek początkowy dla
zlinearyzowanego wektora stanu
jest równy przyrostowi wektora stanu
w chwili początkowej
- w pewnym ustalonym przedziale
czasu
rozwiązanie
równań stanu nieliniowego układu regulacji (2.77) pozostaje w otoczeniu punktu pracy

to rozwiązanie
równań stanu zlinearyzowanego układu regulacji (2.84) dobrze przybliża przyrost
wektora zmiennych stanu układu nieliniowego dla
tzn. w
tym przedziale czasu zachodzą przybliżone warunki
Przybliżenie to jest tym lepsze im
bliżej wybranego punktu pracy pozostaje wektor stanu
tzn.
im mniejsza jest stała
w (2.86).
Sytuacja jest nieco bardziej skomplikowana jeżeli rozważamy regulator PID. Aby można było zapisać algorytm regulatora PID w formalizmie równań stanu, należy odpowiednio zapisać operacje całkowania i różniczkowania w równaniu regulatora. Odpowiednie rozważania nie są skomplikowane, jednak nie będziemy ich prezentować w niniejszym opracowaniu.