Podręcznik

Najistotniejszym wymogiem stawianym układom regulacji jest ich stabilność. Stabilność można rozumieć jako zdolność układu regulacji do powrotu do pierwotnego punktu pracy (względnie pozostawania w jego pobliżu) po początkowym wytrąceniu układu z tego punktu. Tylko układ regulacji posiadający taką własność może skutecznie kompensować wpływ zakłóceń na obiekt.  W poprzednich modułach widzieliśmy już przykłady symulacji, gdy układ regulacji przejawiał zachowanie stabilne, jak również niestabilne. W zależności od wartości wzmocnienia $k_p$, układ regulacji z regulatorem P dla trzech zbiorników mógł zachowywać się stabilnie (Rys. 2.2) lub niestabilnie (Rys. 2.4d). Można również rozważać stabilność samego obiektu, bez dołączonego regulatora. Wyniki symulacji wskazywały, że układ trzech zbiorników bez regulatora zachowuje się stabilnie (Rys. 1.3, 1.12). W przypadku wahadła stabilność obiektu zależała od przyjętego punktu równowagi. Dla punktu równowagi odpowiadającego $\theta_0 = \dfrac{5\pi}{6}$ obiekt przejawiał zachowanie stabilne (Rys. 1.14), podczas, gdy dla punktu równowagi odpowiadającego $\theta_0 = \dfrac{\pi}{6}$ obiekt przejawiał zachowanie niestabilne (Rys. 1.15). Dla punktu pracy $\theta_0 = \dfrac{\pi}{6}$ możliwe było ustabilizowanie układu regulacji, poprzez zastosowanie regulatora P o odpowiednim wzmocnieniu (Rys.2.10).

Badania symulacyjne pozwalają lepiej zrozumieć zachowanie obiektów i układów regulacji. Nie można jednak na ich podstawie formułować ogólnych wniosków dotyczących własności obiektów i układów regulacji. Do tego celu konieczny jest odpowiedni aparat matematyczny, a w szczególności precyzyjna definicja stabilności. Stabilność jest pojęciem trudnym do zdefiniowania. Świadczy o tym fakt, że istnieje wiele nierównoważnych definicji stabilności. Niemniej, największe znaczenie ma definicja i cała teoria stabilności zaproponowana przez rosyjskiego matematyka Aleksandra Lapunowa. W teorii Lapunowa rozważamy obiekty autonomiczne, tzn. obiekty w których nie występuje w sposób jawny sterowanie. Równania stanu obiektu autonomicznego mają postać

$\begin{equation} \dfrac{dx(t)}{dt} = f(x(t)) \qquad(3.1) \end{equation}$

Zauważmy, że jeżeli w obiekcie ze sterowaniem, sygnał sterujący jest stały $u(t)=u_0$, to możemy go również traktować jako obiekt autonomiczny, opisany równaniami stanu

$\begin{equation} \dfrac{dx(t)}{dt} = f(x(t),u_0) = f_{u_0}(x(t)) \qquad(3.2) \end{equation}$

gdzie stałe sterowania traktujemy jako parametry (i część definicji) równań stanu. W definicji stabilności Lapunowa mówimy o stabilności pewnego wybranego punktu równowagi obiektu, a nie stabilności całego obiektu. Takie podejście jest jak najbardziej uzasadnione, co widać na przykładzie wahadła. W zależności od wybranego punktu równowagi, obiekt wykazywał zachowanie stabilne lub niestabilne. Punkt równowagi obiektu autonomicznego  $x_0$, spełnia  równanie równowagi

$\begin{equation} 0 = f(x_0) \qquad(3.3) \end{equation}$

Definicja stabilności punktu równowagi obiektu autonomicznego, zaproponowana przez Lapunowa jest następująca.

 Przytoczona definicja jest dość skomplikowana i dlatego zostanie teraz szczegółowo omówiona. Liczba dodatnia $r_{\infty}$ oznacza maksymalną odległość na jaką stan obiektu $x(t)$, może się oddalić od punktu równowagi $x_0$. Odległość stanu obiektu od punktu równowagi jest dana przez normę $\| x(t)-x_0 \|$. Chcemy, aby stan obiektu $x(t)$, dla każdej chwili późniejszej niż chwila początkowa $t>t_0$, znajdował się w odległości mniejszej niż $r_\infty$ od punktu równowagi $x_0$. Poprzednie zdanie można zapisać za pomocą wyrażenia 

$\begin{equation} \forall_{t>t_0} \| x(t)-x_0 \| < r_\infty \qquad(3.5) \end{equation}$

Aby osiągnąć wyżej opisany efekt wybieramy inną wartość dodatnią $r_{0}$, która określa maksymalną odległość pomiędzy stanem początkowym obiektu $x(t_0)$ a punktem równowagi $x_0$. Odległość ta jest dana wzorem $\| x(t_0)-x_0 \|$ i ma być mniejsza niż  $r_{0}$. Poprzednie zdanie może zostać zapisane jako 

$\begin{equation} \| x(t_0)-x_0 \| < r_0 \qquad(3.6) \end{equation}$

Dla stabilnego punktu równowagi, spodziewamy się, że jeżeli wystartujemy z dowolnie wybranego punktu początkowego ($\forall_{x(t_0)}\ $) który znajduje się odpowiednio blisko punktu równowagi (warunek (3.6) to dla każdej późniejszej chwili trajektoria stanu pozostanie blisko punktu równowagi (3.5). Poprzednie zdanie można zapisać jako

$\begin{equation} \forall_{x(t_0)}\ \| x(t_0)-x_0 \| < r_0 \implies \forall_{t>t_0} \| x(t)-x_0 \| < r_\infty \qquad(3.7) \end{equation}$

Pozostaje do rozpatrzenia następująca kwestia. Jeżeli zmniejszymy wartość $r_\infty$, to czy uda się znaleźć jeszcze mniejsze $r_0$, tak że spełniony będzie warunek (3.7). Innymi słowy, czy to że stan początkowy $x(t_0)$ będzie znajdował się jeszcze bliżej punktu równowagi (mniejsze $r_0$) wystarczy, aby już zawsze $x(t)$ pozostawał bliżej punktu równowagi niż $r_\infty$ (dla mniejszego $r_\infty$). Jeżeli tak faktycznie jest to definicja Lapunowa jest spełniona i możemy powiedzieć, że punkt równowagi obiektu jest stabilny.

Reasumując, jeżeli punkt równowagi obiektu $x_0$ jest stabilny, to możemy dowolnie ograniczyć maksymalną odległość $r_\infty$ na jaką stan $x(t)$ oddali się od tego punktu równowagi. Aby to osiągnąć, wystarczy aby stan początkowy $x(t_0)$ znajdował się bliżej punktu równowagi niż $r_0$. Niezależnie od tego jak małe jest $r_\infty$, zawsze możemy dobrać jeszcze mniejsze $r_0$, takie że opisany warunek jest spełniony. 

Własność stabilności jest dobrze widoczna na Rys. 1.12, 1.14, 2.11 oraz 2.13. Im bliżej punktu równowagi znajduje się stan początkowy obiektu, tym bliżej punktu równowagi znajduje się cała trajektoria stanu obiektu (patrz zakres osi rzędnych na wykresach).

Zauważmy jeszcze, że definicja Lapunowa stabilności  nie gwarantuje stabilności globalnej. Nie mamy gwarancji, że dla dużych $r_{\infty}$ wartość $r_0$ też będzie duża. Wręcz przeciwnie, jeżeli dla pewnego $r_{\infty}$, mamy $r_0$ dla którego warunek stabilności jest spełniony, to warunek stabilności jest także spełniony automatycznie dla każdego większego $r_{\infty}$, z tym samym $r_0$. Nie ma jednak pewności, że wraz ze wzrostem $r_{\infty}$,  $r_0$ także będzie rosnąć.  

Rozważmy jeszcze pojęcie  niestabilności obiektu. Odpowiednia definicja niestabilności jest następująca

  Przeanalizujmy warunek niestabilności punktu równowagi. Tym razem istnieje pewna wartość graniczna $r_{\infty}$, taka że nie można ograniczyć maksymalnej odległości $x(t)$ od punktu równowagi poniżej $r_{\infty}$. Niezależnie od tego jak blisko punktu równowagi byśmy startowali ($\forall_{r_{0}>0}$), zawsze znajdzie się pewien stan początkowy ($\exists_{x(t_0)}$), który 

• znajduje się odpowiednio blisko punktu równowagi -- $\| x(t_0)-x_0 \| < r_0$
•  w pewnej chwili $t>t_0$ trajektoria stanu $x(t)$ mimo wszystko oddala się od punktu równowagi na odległość co najmniej $r_\infty$

$\begin{equation} \exists_{t>t_0} \| x(t)-x_0 \| \geq r_\infty \end{equation}\qquad(3.9)$

Własność niestabilności jest dobrze widoczna na Rys. 1.15}. Niezależnie od tego, jak blisko pierwotnego punktu równowagi wahadła startujemy, ono po pewnym czasie oddali się już na stałe od tego punktu.

Zauważmy, że definicja stabilności Lapunowa mówi jedynie o tym, że stan $x(t)$ znajduje się zawsze w pobliżu punktu równowagi. W definicji nie pojawia się żaden warunek, mówiący od tym że stan $x(t)$ powraca do pierwotnego punktu równowagi (zapewne po nieskończenie długim czasie). Jeżeli jednak stan powraca do pierwotnego punktu równowagi to mówimy, że punkt równowagi obiektu jest stabilny asymptotycznie

 Powyższy warunek mówi o tym, że dla wszystkich punktów początkowych ($\forall_{x(t_0)}$), które znajdują się bliżej punktu równowagi niż pewna ustalona wartość $r_0$, trajektorie stanu $x(t)$, rozpoczynające się w tych punktach początkowych, wrócą do pierwotnego punktu równowagi (po nieskończonym czasie). Różnicę pomiędzy stabilnością asymptotyczną a stabilnością nieasymptotyczną można łatwo zobrazować na przykładzie wahadła matematycznego. Jeżeli w wahadle nie ma tarcia, to wahadło będzie wykonywać stałe oscylacje wokół stabilnego położenia równowagi. Jeżeli chcemy ograniczyć amplitudę oscylacji wahadła, wystarczy, że wystartujemy bliżej położenia kątowego równowagi $\theta_0$ oraz ograniczymy wartość początkowej prędkości kątowej. Jeżeli w wahadle pojawia się tarcie, to energia wahadła jest stopniowo rozpraszana. W miarę tego procesu wahadło zbliża się do pierwotnego punktu równowagi i osiąga go po (teoretycznie) nieskończonym czasie. W układach regulacji stałowartościowej standardowo żądamy, żeby wybrany punkt pracy był stabilny asymptotycznie. 

Ścisła definicja matematyczna stabilności, pozwala uporządkować intuicyjne rozumienie tego pojęcia. Niemniej definicja sama w sobie nie pozwala w efektywny sposób stwierdzić, czy punkt dany punkt równowagi obiektu jest stabilny. Jest tak, ponieważ w ogólnym przypadku nie jesteśmy w stanie obliczyć rozwiązania równania stanu $x(t)$ w postaci jawnej. Aby umożliwić efektywne sprawdzenie stabilności punktów równowagi obiektu, Lapunow zaproponował dwie metody. 

 Pierwsza metoda Lapunowa opiera się na koncepcji funkcji Lapunowa. Funkcja Lapunowa dla obiektu nieliniowego jest to pewna funkcja stanu obiektu oznaczana jako $V(x(t))$. $V(x(t))$ wykazuje pewne podobieństwo do funkcji energii całkowitej układu mechanicznego. Układ mechaniczny  wraca do punktu równowagi w miarę jak energia układu jest rozpraszana. Podobnie, jeżeli wartość funkcji Lapunowa $V(x(t))$ maleje do zera to, stan układu \( x(t) \( coraz bardziej zbliża się do punktu równowagi $x_0$, dla którego spełniony jest warunek $V(x_0) = 0$. Pierwsza metoda Lapunowa ma postać warunku wystarczającego, tzn. jeżeli jesteśmy w stanie skonstruować funkcję Lapunowa, to możemy wnioskować o stabilności punktu równowagi obiektu. Problemem pozostaje postać funkcji  $V(x(t))$. Dla pewnych szczególnych typów obiektów istnieją gotowe postacie funkcji Lapunowa. Nie istnieje jednak uniwersalna funkcja Lapunowa, odpowiednia dla każdego obiektu. 

Dla naszych rozważań większe znaczenie ma druga metoda Lapunowa, która opiera się na koncepcji zlinearyzowanych równań stanu. Zlinearyzowane równania stanu dla obiektu autonomicznego (3.1) w punkcie równowagi $x_0$ mają postać

$\begin{equation} \dfrac{d\tilde{x}(t)}{dt} = \dfrac{\partial f(x_0)}{\partial x}\tilde{x}(t) \qquad(3.11) \end{equation}$

Punkt równowagi obiektu zlinearyzowanego $\tilde{x}_0 = 0$ odpowiada oryginalnemu punktowi równowagi $x_0$. Druga metoda Lapunowa opiera się na następującym twierdzeniu

W twierdzeniu uwzględnione są przypadki stabilności asymptotycznej i niestabilności, nie jest natomiast uwzględniony przypadek stabilności nieasymptotycznej. Jeżeli punkt równowagi obiektu zlinearyzowanego $\tilde{x}_0 = 0$ jest stabilny nieasymptotycznie, to punkt równowagi obiektu nieliniowego $x_0$ może być stabilny asymptotycznie, stabilny nieasymptotycznie lub niestabilny i kryterium nie pozwala na rozstrzygnięcie kwestii stabilności. Nie jest to jednak duży problem, gdyż w naszych rozważaniach zawsze będziemy żądać stabilności asymptotycznej. 

Nierozwiązanym problemem pozostaje stwierdzenie stabilności asymptotycznej lub niestabilności dla  punktu równowagi $\tilde{x}_0 = 0$ obiektu opisanego równaniami zlinearyzowanymi. Jak już dyskutowaliśmy w opracowaniu, analiza obiektów liniowych jest dużo prostsza niż analiza obiektów nieliniowych. Tak jest też w przypadku badania stabilności. Kwestia badania stabilności obiektów liniowych zostanie szczegółowo omówiona w następnej sekcji