Podręcznik

Aby zbadać stabilność punktu równowagi \( x_0 \) nieliniowego obiektu autonomicznego stosujemy następujący schemat

1.  określamy zlinearyzowane równania stanu w punkcie równowagi \( x_0 \)
2. obliczamy współczynniki wielomianu charakterystycznego
3. stosujemy kryterium Hurwitza, aby sprawdzić czy spełnione są warunki (3.24) oraz (3.25) 

Zastosujmy powyższy schemat do badania stabilności punktów równowagi autonomicznych, nieliniowych obiektów i układów regulacji.

Równania stanu dla układu trzech zbiorników ze stałym sterowaniem  \( Q_{we}(t) = Q_{we0} \) (obiekt autonomiczny) mają postać 

\( \begin{eqnarray} \dfrac{d H_1(t)}{dt} &=& \dfrac{1}{A}Q_{we0} - \dfrac{\alpha}{A} \sqrt{H_1(t)-H_2(t)} \qquad(3.26)\\ \dfrac{d H_2(t)}{dt} &=& \dfrac{\alpha}{A} \sqrt{H_1(t)-H_2(t)} - \dfrac{\alpha}{A} \sqrt{H_2(t)-H_3(t)} \qquad(3.27)\\ \dfrac{d H_3(t)}{dt} &=& \dfrac{\alpha}{2A} \sqrt{H_2(t)-H_3(t)} - \dfrac{\alpha}{2A} \sqrt{H_3(t)} \qquad(3.28) \end{eqnarray} \)

Równania punktu równowagi mają postać

\(\begin{eqnarray} H_{20} &=& 2H_{30} \qquad(3.29) \\ H_{10} &=& 3H_{30} \qquad(3.30)\\ Q_{we0} &=& \alpha\sqrt{H_{30}} \qquad(3.31) \end{eqnarray}\)

Sterowanie w obiekcie zlinearyzowanym jest równe zero

\(\begin{equation} \tilde{Q}_{we} = Q_we(t) - Q_{we0} = Q_{we0} - Q_{we0} = 0 \qquad(3.32)\end{equation} \)

Zlinearyzowane równania stanu dla obiektu autonomicznego mają zatem postać 

\(\begin{equation}\left(\begin{array}{c}\dfrac{d\tilde{H}_1}{dt}\\ \dfrac{d\tilde{H}_2}{dt}  \\  \dfrac{d\tilde{H}_3}{dt}\end{array}\right) = \left(\begin{array}{ccc}\dfrac{-\alpha}{2A\sqrt{H_{10}-H_{20}}} & \dfrac{\alpha}{2A\sqrt{H_{10}-H_{20}}} & 0 \\\dfrac{\alpha}{2A\sqrt{H_{10}-H_{20}}} &   \dfrac{-\alpha}{2A\sqrt{H_{10}-H_{20}}} + \dfrac{-\alpha}{2A\sqrt{H_{20}-H_{30}}}  &   \dfrac{\alpha}{2A\sqrt{H_{20}-H_{30}}} \\0 &  \dfrac{\alpha}{4A\sqrt{H_{20}-H_{30}}} &  \dfrac{-\alpha}{4A\sqrt{H_{20}-H_{30}}} +  \dfrac{-\alpha}{4A\sqrt{H_{30}}} \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}\tilde{H}_1\\  \tilde{H}_2 \\  \tilde{H}_3\end{array}\right) \qquad(3.33)\end{equation} \)

Z równań punktu równowagi wynika, że  

\(\begin{eqnarray}H_{10}-H_{20} &=& 3H_{30}-2H_{30} = H_{30} \qquad(3.34)  \\H_{20}-H_{30} &=& 2H_{30}-H_{30} = H_{30}  \qquad(3.35)\end{eqnarray}\)

Wprowadźmy te zależności do zlinearyzowanych równań stanu

\(\begin{equation}\left(\begin{array}{c}\dfrac{d\tilde{H}_1}{dt}\\ \dfrac{d\tilde{H}_2}{dt}  \\  \dfrac{d\tilde{H}_3}{dt}\end{array}\right) = \left(\begin{array}{ccc}\dfrac{-\alpha}{2A\sqrt{H_{30}}} & \dfrac{\alpha}{2A\sqrt{H_{30}}} & 0 \\\dfrac{\alpha}{2A\sqrt{H_{30}}} &   \dfrac{-\alpha}{2A\sqrt{H_{30}}} + \dfrac{-\alpha}{2A\sqrt{H_{30}}}  &   \dfrac{\alpha}{2A\sqrt{H_{30}}} \\0 &  \dfrac{\alpha}{4A\sqrt{H_{30}}} &  \dfrac{-\alpha}{4A\sqrt{H_{30}}} +  \dfrac{-\alpha}{4A\sqrt{H_{30}}} \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}\tilde{H}_1\\  \tilde{H}_2 \\  \tilde{H}_3\end{array}\right) \end{equation} \qquad(3.36)\)

Wprowadźmy następujące oznaczenie

\(\begin{equation}a = \dfrac{\alpha}{4A\sqrt{H_{30}}} >0\qquad(3.37)\end{equation} \)

Zlinearyzowane równania stanu mogą zostać zapisane jako

\(\begin{equation}\left(\begin{array}{c}\dfrac{d\tilde{H}_1}{dt}\\ \dfrac{d\tilde{H}_2}{dt}  \\  \dfrac{d\tilde{H}_3}{dt}\end{array}\right) = \left(\begin{array}{ccc}-2a & 2a & 0 \\2a &  -4a &  2a \\0 &  a &  -2a\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}\tilde{H}_1\\  \tilde{H}_2 \\  \tilde{H}_3\end{array}\right) \end{equation} \qquad(3.38)\)

Obliczmy wielomian charakterystyczny dla macierzy obiektu zlinearyzowanego

\(\begin{equation}A = \left(\begin{array}{ccc}-2a & 2a & 0 \\2a &  -4a &  2a \\0 &  a &  -2a\end{array}\right)\end{equation} \qquad(3.39)\)

Wielomian charakterystyczny wynosi 

\(\begin{eqnarray}W(s) &=& det(sI-A) = det \left(s\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\0 &  1 &  0 \\0 &  0 &  1\end{array}\right) - \left(\begin{array}{ccc}-2a & 2a & 0 \\2a &  -4a &  2a \\0 &  a &  -2a\end{array}\right) \right)     \nonumber \\&=& det \left(\left(\begin{array}{ccc}s & 0 & 0 \\0 &  s &  0 \\0 &  0 &  s\end{array}\right) - \left(\begin{array}{ccc}-2a & 2a & 0 \\2a &  -4a &  2a \\0 &  a &  -2a\end{array}\right) \right)       \\&=& det \left(\begin{array}{ccc}s+2a & -2a & 0 \\-2a &  s+4a &  -2a \\0 &  -a &  s+2a\end{array}\right) \nonumber\end{eqnarray}\qquad(3.40)\)

Wyznacznik macierzy rozmiaru \( 3\times 3 \) może być obliczony z następującego wzoru

\(\begin{eqnarray}det \left(\begin{array}{ccc}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{21} &  a_{22} &  a_{23} \\a_{31} &  a_{32} &  a_{33}\end{array}\right) &=& a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} \\&& - a_{13}a_{22}a_{31} - a_{11}a_{23}a_{32} - a_{12}a_{21}a_{33}  \end{eqnarray}\qquad(3.41)\)

Mamy zatem 

\(\begin{eqnarray}W(s) &=& det(sI-A) = det \left(\begin{array}{ccc}s+2a & -2a & 0 \\-2a &  s+4a &  -2a \\0 &  -a &  s+2a\end{array}\right)  \\&=& (s+2a)(s+4a)(s+2a) + (-2a)(-2a)\cdot 0 + 0\cdot (-2a)(-a)  \\&& - 0 \cdot (s+4a) \cdot 0 - (s+2a)(-2a)(-a) - (-2a)(-2a)(s+2a)  \\&=& (s^2+6as+8a^2)(s+2a) - (s+2a)\cdot 2a^2 - 4a^2(s+2a) \nonumber \\&=& s^3+8as^2+20a^2s+16a^3 - 2a^2s-4a^3 - 4a^2s - 8a^3  \\&=& s^3+8as^2+14a^2s+4a^3\end{eqnarray}\qquad(3.42)\)

Współczynniki wielomianu charakterystycznego wynoszą

\(\begin{equation}a_3 = 1,\ a_2 = 8a,\ a_1 = 14a^2,\ a_0 = 4a^3\end{equation} \qquad(3.43)\)

Tworzymy teraz macierz Hurwitza dla wielomianu charakterystycznego. Macierz Hurwitza ma rozmiar \( 3\times 3  \) i postać

\(\begin{equation}H = \left(\begin{array}{ccc}a_2 & a_3 & 0 \\a_0 &  a_1 & a_2 \\0 &  0 &  a_0\end{array}\right) = \left(\begin{array}{ccc}8a & 1 & 0 \\4a^3 &  14a^2 & 8a \\0 &  0 & 4a^3\end{array}\right)\end{equation} \qquad(3.44)\)

Minory główne macierzy Hurwitza wynoszą

\(\begin{equation}|8a|,\ \left|\begin{array}{cc}8a & 1  \\4a^3 &  14a^2 \end{array}\right|,\ \left|\begin{array}{ccc}8a & 1 & 0 \\4a^3 &  14a^2 & 8a \\0 &  0 & 4a^3\end{array}\right|\end{equation} \qquad(3.45)\)

Wykorzystujemy teraz Kryterium Hurwitza do sprawdzenia stabilności punktu równowagi układu trzech zbiorników

•   ponieważ \( a>0 \) to wszystkie współczynniki wielomianu charakterystycznego są dodatnie

              \(\begin{equation}a_3 = 1>0,\ a_2 = 8a>0,\ a_1 = 14a^2>0,\ a_0 = 4a^3>0  \end{equation} \qquad(3.46)\)

• minory główne macierzy Hurwitza wynoszą

              \(\begin{eqnarray}  |8a| &=& 8a >0 \qquad(3.47)\\    \left|   \begin{array}{cc}   8a & 1  \\    4a^3 &  14a^2     \end{array}    \right| &=& 8a\cdot 14a^2 - 1\cdot 4a^3 = 112a^3 - 4a^3 = 108a^3 > 0   \qquad(3.48)\\     \left|   \begin{array}{ccc}   8a & 1 & 0 \\  4a^3 &  14a^2 & 8a \\   0 &  0 & 4a^3  \end{array}  \right| &=& 8a \cdot 14a^2 \cdot 4a^3 + 1\cdot 8a \cdot 0 + 0\cdot 4a^3 \cdot 0 \\   && - 0\cdot 14a^2 \cdot 0 - 8a \cdot 8a \cdot 0 - 1\cdot 4a^3\cdot 4a^3 \nonumber \\   &=& 448a^6 -16a^6 = 432a^6 >0 \nonumber   \end{eqnarray}\qquad(3.49)\)

Mamy zatem spełniony warunek dla pierwiastków wielomianu charakterystycznego trzeciego stopnia

\(\begin{equation} Re(s_1) < 0,\ Re(s_2) < 0,\ Re(s_3) < 0 \end{equation} \qquad(3.50)\)

Punkt równowagi obiektu zlinearyzowanego \( \tilde{H}_{10} = 0 \), \( \tilde{H}_{20} = 0 \), \( \tilde{H}_{20} = 0 \) jest stabilny asymptotycznie. Z drugiej metody Lapunowa mamy zatem, że punkt równowagi obiektu nieliniowego  \( H_{10} \), \( H_{20} \), \( H_{30} \) ze stałym sterowaniem \( Q_{we0} \) jest stabilny asymptotycznie. Obliczenia były prowadzone dla dowolnego punktu równowagi w układzie trzech zbiorników. Wynika z tego, że wszystkie punkty równowagi tego układu są stabilne asymptotycznie. Ten wynik jest w zgodzie z wynikami symulacji (Rys. 1.3, 1.12). 

Zbadajmy teraz stabilność punktu pracy układu regulacji trzech zbiorników z regulatorem P. Równania stanu dla układu regulacji mają postać

\(\begin{eqnarray}\dfrac{d H_1(t)}{dt} &=& \dfrac{1}{A}\left(k_p(H_3(t)-H_{30}) + Q_{we0} \right) - \dfrac{\alpha}{A} \sqrt{H_1(t)-H_2(t)} \qquad(3.51) \\\dfrac{d H_2(t)}{dt} &=& \dfrac{\alpha}{A}  \sqrt{H_1(t)-H_2(t)} - \dfrac{\alpha}{A}  \sqrt{H_2(t)-H_3(t)} \qquad(3.52) \\\dfrac{d H_3(t)}{dt} &=& \dfrac{\alpha}{2A} \sqrt{H_2(t)-H_3(t)} - \dfrac{\alpha}{2A} \sqrt{H_3(t)} \qquad(3.53)\end{eqnarray}\)

Rozważamy punkt pracy określony przez \( H_{10} \), \( H_{20} \), \( H_{30} \) orz \( Q_{we0} \). Zlinearyzowane równania stanu (2.22)-(2.24) dla układu regulacji zapisane w postaci macierzowej mają postać

\(\begin{equation}\left(\begin{array}{c}\dfrac{d\tilde{H}_1}{dt}\\ \dfrac{d\tilde{H}_2}{dt}  \\  \dfrac{d\tilde{H}_3}{dt}\end{array}\right) = \left(\begin{array}{ccc}\dfrac{-\alpha}{2A\sqrt{H_{10}-H_{20}}} & \dfrac{\alpha}{2A\sqrt{H_{10}-H_{20}}} & \dfrac{k_p}{A} \\\dfrac{\alpha}{2A\sqrt{H_{10}-H_{20}}} &   \dfrac{-\alpha}{2A\sqrt{H_{10}-H_{20}}} + \dfrac{-\alpha}{2A\sqrt{H_{20}-H_{30}}}  &   \dfrac{\alpha}{2A\sqrt{H_{20}-H_{30}}} \\0 &  \dfrac{\alpha}{4A\sqrt{H_{20}-H_{30}}} &  \dfrac{-\alpha}{4A\sqrt{H_{20}-H_{30}}} +  \dfrac{-\alpha}{4A\sqrt{H_{30}}} \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}\tilde{H}_1\\  \tilde{H}_2 \\  \tilde{H}_3\end{array}\right) \end{equation} \qquad(3.54)\)

Podobnie jak to było w przypadku zlinearyzowanych równań stanu dla obiektu korzystamy z (3.34)-(3.35) i wprowadzamy zmienną \( a \) (3.37). Zlinearyzowane równania stanu dla układu regulacji mają teraz postać

\(\begin{equation}\left(\begin{array}{c}\dfrac{d\tilde{H}_1}{dt}\\ \dfrac{d\tilde{H}_2}{dt}  \\  \dfrac{d\tilde{H}_3}{dt}\end{array}\right) = \left(\begin{array}{ccc}-2a & 2a & \dfrac{k_p}{A} \\2a &  -4a &  2a \\0 &  a &  -2a\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}\tilde{H}_1\\  \tilde{H}_2 \\  \tilde{H}_3\end{array}\right) \end{equation} \qquad(3.55)\)

Wielomian charakterystyczny wynosi 

\(\begin{eqnarray}W(s) &=& det(sI-A) = det \left(s\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\0 &  1 &  0 \\0 &  0 &  1\end{array}\right) - \left(\begin{array}{ccc}-2a & 2a & \dfrac{k_p}{A}  \\2a &  -4a &  2a \\0 &  a &  -2a\end{array}

\right) \right)     \\&=& det \left(\left(\begin{array}{ccc}s & 0 & 0 \\0 &  s &  0 \\0 &  0 &  s\end{array}\right) - \left(\begin{array}{ccc}-2a & 2a & \dfrac{k_p}{A}  \\2a &  -4a &  2a \\0 &  a &  -2a\end{array}\right) \right) \qquad(3.56)     \\&=& det \left(\begin{array}{ccc}s+2a & -2a & -\dfrac{k_p}{A}  \\-2a &  s+4a &  -2a \\0 &  -a &  s+2a\end{array}\right) r \\&=& (s+2a)(s+4a)(s+2a) + (-2a)(-2a)\cdot 0 + \left(-\dfrac{k_p}{A}\right) (-2a)(-a)  \\&& - \left(-\dfrac{k_p}{A}\right)  \cdot (s+4a) \cdot 0 - (s+2a)(-2a)(-a) - (-2a)(-2a)(s+2a)  \\&=& (s^2+6as+8a^2)(s+2a) - 2a^2\dfrac{k_p}{A}  - (s+2a)\cdot 2a^2 - 4a^2(s+2a)  \\&=& s^3+8as^2+20a^2s+16a^3 - 2a^2s-4a^3 - 4a^2s - 8a^3 - 2a^2\dfrac{k_p}{A}  \\&=& s^3+8as^2+14a^2s+4a^3 - 2a^2\dfrac{k_p}{A}\end{eqnarray}\)

Współczynniki wielomianu charakterystycznego wynoszą

\(\begin{equation}a_3 = 1,\ a_2 = 8a,\ a_1 = 14a^2,\ a_0 = 4a^3 - 2a^2\dfrac{k_p}{A}\end{equation} \qquad(3.57)\)

Tworzymy teraz macierz Hurwitza dla wielomianu charakterystycznego

\(\begin{equation}H = \left(\begin{array}{ccc}a_2 & a_3 & 0 \\a_0 &  a_1 & a_2 \\0 &  0 &  a_0\end{array}\right) = \left(\begin{array}{ccc}8a & 1 & 0 \\4a^3 - 2a^2\dfrac{k_p}{A} &  14a^2 & 8a \\0 &  0 & 4a^3 - 2a^2\dfrac{k_p}{A}\end{array}\right)\end{equation} \qquad(3.58)\)

Minory główne macierzy Hurwitza wynoszą

\(\begin{equation}|8a|,\ \left|\begin{array}{cc}8a & 1  \\4a^3 - 2a^2\dfrac{k_p}{A} &  14a^2 \end{array}\right|,\ \left|\begin{array}{ccc}8a & 1 & 0 \\4a^3 - 2a^2\dfrac{k_p}{A} &  14a^2 & 8a \\0 &  0 & 4a^3 - 2a^2\dfrac{k_p}{A}\end{array}\right|\end{equation}\qquad(3.59) \)

Wykorzystujemy teraz Kryterium Hurwitza do sprawdzenia stabilności punktu pracy układu regulacji

• dla uzyskania stabilności asymptotycznej wszystkie współczynniki wielomianu charakterystycznego muszą być dodatnie

              \(\begin{equation}  a_3 = 1>0,\ a_2 = 8a>0,\ a_1 = 14a^2>0,\ a_0 = 4a^3 - 2a^2\dfrac{k_p}{A}>0\end{equation} \qquad(3.60)\)

•  dla uzyskania stabilności asymptotycznej wszystkie minory główne macierzy Hurwitza muszą być dodatnie

            \(  \begin{eqnarray} |8a| &=& 8a >0 \qquad(3.61)\\  \left| \begin{array}{cc}  8a & 1  \\  4a^3 - 2a^2\dfrac{k_p}{A} &  14a^2   \end{array}  \right| &=& 8a\cdot 14a^2 - 1\cdot \left(4a^3 - 2a^2\dfrac{k_p}{A}\right) \\   &=& 112a^3 - 4a^3 +  2a^2\dfrac{k_p}{A}  \\     &=& 108a^3 + 2a^2\dfrac{k_p}{A} > 0 \qquad(3.62)\\    \left|    \begin{array}{ccc}    8a & 1 & 0 \\  4a^3 - 2a^2\dfrac{k_p}{A} &  14a^2 & 8a \\    0 &  0 & 4a^3 - 2a^2\dfrac{k_p}{A}    \end{array}   \right| &=& 8a \cdot 14a^2 \cdot \left(4a^3 - 2a^2\dfrac{k_p}{A}\right)  \qquad(3.63)\\    &&  + 1\cdot 8a \cdot 0 + 0\cdot  \left(4a^3 - 2a^2\dfrac{k_p}{A}\right) \cdot 0 \\    && - 0\cdot 14a^2 \cdot 0 - 8a \cdot 8a \cdot 0   \\   && - 1\cdot \left(4a^3 - 2a^2\dfrac{k_p}{A}\right) \cdot \left(4a^3 - 2a^2\dfrac{k_p}{A}\right)   \\   &=& \left(4a^3 - 2a^2\dfrac{k_p}{A}\right) \left( 8a \cdot 14a^2 - \left(4a^3 - 2a^2\dfrac{k_p}{A}\right) \right) \\  &=& \left(4a^3 - 2a^2\dfrac{k_p}{A}\right) \left(108a^3 + 2a^2\dfrac{k_p}{A}\right)  >0   \end{eqnarray}\)

Warunki na stabilność asymptotyczną punktu pracy układu regulacji, zawierające \( k_p \), są następujące

\(\begin{eqnarray}4a^3 - 2a^2\dfrac{k_p}{A}&>&0 \qquad(3.64) \\108a^3 + 2a^2\dfrac{k_p}{A} &>& 0 \qquad(3.65) \\\left(4a^3 - 2a^2\dfrac{k_p}{A}\right) \left(108a^3 + 2a^2\dfrac{k_p}{A}\right) &>& 0 \qquad(3.66)\end{eqnarray}\)

Pozostałe warunki są spełnione ponieważ \( a>0 \). Zauważmy jeszcze, że jeżeli warunki (3.64) i (3.65) są spełnione, to automatycznie warunek (3.66) też jest spełniony. Obliczmy teraz zakres wartości \( k_p \) regulatora, dla których punkt pracy układu regulacji jest stabilny asymptotycznie. Z (3.64) mamy

\( \begin{eqnarray}4a^3 - 2a^2\dfrac{k_p}{A} &>& 0\qquad\\ 4a^3 >2a^2\dfrac{k_p}{A}  /\div 2a^2 \qquad\\2a>\dfrac{k_p}{A}  /\cdot A \qquad\\2aA &>& k_p \qquad \\k_p & < & 2aA \qquad(3.67)\end{eqnarray} \)

Z (3.65) mamy

\(\begin{eqnarray}108a^3 + 2a^2\dfrac{k_p}{A} &>& 0\\ 2a^2\dfrac{k_p}{A} &>& -108a^3 \qquad /\div 2a^2 r\\\dfrac{k_p}{A} &>& -54a \qquad /\cdot A r\\k_p &>& -54aA   \qquad(3.68)\end{eqnarray} \)

Ostatecznie, punkt pracy zlinearyzowanego, a także nieliniowego układu regulacji jest stabilny asymptotycznie, jeżeli wzmocnienie regulatora proporcjonalnego mieści się w zakresie

\(\begin{equation}-54aA < k_p < 2aA\qquad(3.69)\end{equation} \)

Przeanalizujmy teraz powyższy warunek za pomocą symulacji działania układu. Przyjmujemy następujące wartości parametrów obiektu \( A = 0.5 \), \( \alpha = 1 \). Wybieramy punkt pracy obiektu \( Q_{we0} = 0.5\), \(H_{10}=0.75 \), \( H_{20}=0.5 \), \( H_{30}=0.25 \). Stała \( a \) wynosi

\(\begin{equation}a = \dfrac{\alpha}{4A\sqrt{H_{30}}} = \dfrac{1}{4\cdot 0.5 \sqrt{0.25}} =1\end{equation} \qquad(3.70)\)

Zakres wzmocnień regulatora P, dla których punkt pracy układu regulacji pozostaje stabilny asymptotycznie (3.69) wynosi

\(\begin{equation}-27 < k_p < 1\end{equation} \qquad(3.71)\)

Przeanalizujmy uzyskany przedział \( k_p \) zapewniający stabilność asymptotyczną punktu pracy. Większa część przedziału zmienności \( k_p \) leży po stronie wartości ujemnych. Jest zgodne z intuicją, ponieważ dla \( k_p < 0 \) korekta sygnału sterującego ma kierunek, który powoduje zmniejszenie odchyłki regulacji. Ten rezultat pozostaje również w zgodzie z wynikami symulacji (Rys. 2.2-2.5). Sprawdźmy jeszcze, czy \( k_p=-27 \) wyznacza granicę stabilności układu. Na podstawie Rys. 2.5 mamy, że dla \( k_p = -24 \) oscylacje sygnału \( H_3 \) są gasnące (stabilność asymptotyczna), natomiast dla dla \( k_p = -32 \) oscylacje są narastające (niestabilność). Dla wartości granicznej \( k_p=-27 \) powinniśmy uzyskać stałe oscylacje. Odpowiedź układu regulacji na niezerowe warunki początkowe \( H_1(t_0) =0.76 \), \( H_2(t_0) =0.51 \), \( H_3(t_0)=0.26 \) dla wzmocnienia regulatora \( k_p=-27 \) została przedstawiona na Rys. 3.1. Zarówno sygnał wyjściowy \( H_{3}(t) \) jak i sygnał sterujący \(Q_{we}(t) \) charakteryzują się przebiegiem oscylacyjnym o stałej amplitudzie oscylacji. Warto zauważyć, że na granicy stabilności oscylacje sygnału sterującego i wyjściowego są przesunięte w fazie o 180 stopni. 

Dla obiektu bez regulatora (\( k_p=0 \)) punkt pracy również jest stabilny asymptotycznie i jest to zgodne z wynikami symulacji (Rys. 2.2(a)). Okazuje się jednak, że także dla niewielkich wartości dodatnich \( k_p \) punkt pracy układu regulacji pozostaje stabilny asymptotycznie. Może się to wydawać niezgodne z intuicją, ponieważ dla \( k_p > 0 \) korekta sygnału sterującego ma kierunek, który powoduje zwiększanie odchyłki regulacji. Układ regulacji traci stabilność dopiero dla odpowiednio dużego dodatniego \( k_p \). Zachowanie układu regulacji dla kilku dodatnich wartości \( k_p \) została przedstawiona na Rys. 3.2.

a) Trajektoria \(H_3(t)\)

b) Trajektoria \(Q_{we}(t) \)

  Rysunek 3.1 Trajektorie \( H_3(t) \) orz \( Q_{we} \) w układzie regulacji dla \( k_p = -27 \).

Dodatnia wartość \( k_p \) powoduje początkowo wydłużenie czasu regulacji w porównaniu do układu bez regulatora (\( k_p=0 \)). Dla wartości granicznej \( k_p=1 \) wartość \( H_3(t) \) ustala się po pewnym czasie, jednak nigdy nie powraca do wartości z punktu pracy \( H_{30} = 0.25 \). Dla \( k_p>1 \) trajektoria \( h_3(t) \) stopniowo oddala się od punktu pracy, co świadczy o tym, że punkt pracy układu regulacji jest niestabilny.   

Zajmijmy się teraz badaniem stabilności punktów równowagi wahadła. Równania stanu dla wahadła ze stałym sterowaniem  \( M(t) = M_{0} \) (obiekt autonomiczny) mają postać 

\(\begin{eqnarray}\dfrac{d\theta(t)}{dt} &=& \omega(t) \qquad(3.72) \\\dfrac{d\omega(t)}{dt} &=& \dfrac{g}{l}sin\theta(t)  - \dfrac{D}{ml^2} \omega(t) +\dfrac{1}{ml^2} M_0 \qquad(3.73)\end{eqnarray}\)

Równania punktu równowagi mają postać

\(\begin{eqnarray}\omega_0 &=& 0 \qquad(3.74)\\M_0 &=& -mglsin\theta_0 \qquad(3.75)\end{eqnarray}\)

Sterowanie w obiekcie zlinearyzowanym jest równe zero

\(\begin{equation}\tilde{M} = M(t) - M_0 = M_0 - M_0  = 0\end{equation} \qquad(3.76)\)

a) \(k_p = 0 \)

b) \(k_p = 0.5 \)

c) \(k_p = 1 \)

d) \(k_p = 1.5 \)

Rysunek 3.2 Trajektorie \( H_3(t) \) w układzie regulacji dla różnych wartości wzmocnienia regulatora \( k_p \).

Zlinearyzowane równania stanu dla obiektu autonomicznego mają zatem postać 

\(\begin{equation}\left(\begin{array}{c}\dfrac{d\tilde{\theta}}{dt}\\ \dfrac{d\tilde{\omega}}{dt}  \end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc}0 & 1 \\\dfrac{g}{l}cos\theta_0 &  -\dfrac{D}{ml^2}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}\tilde{\theta}\\ \tilde{\omega}\end{array}\right)  \end{equation} \qquad(3.77)\)

Obliczmy wielomian charakterystyczny dla macierzy obiektu zlinearyzowanego

\(\begin{equation}A = \left(\begin{array}{cc}0 & 1 \\\dfrac{g}{l}cos\theta_0 &  -\dfrac{D}{ml^2}\end{array}\right)\end{equation}\qquad(3.78) \)

Wielomian charakterystyczny wynosi 

\(\begin{eqnarray}W(s) &=& det(sI-A) = det \left(s\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 \\0 &  1 \end{array}\right) - \left(\begin{array}{cc}0 & 1 \\\dfrac{g}{l}cos\theta_0 &  -\dfrac{D}{ml^2}\end{array}\right) \right)     \nonumber \\&=& det \left(\left(\begin{array}{ccc}s & 0 \\0 &  s \end{array}\right) - \left(\begin{array}{cc}0 & 1 \\\dfrac{g}{l}cos\theta_0 &  -\dfrac{D}{ml^2}\end{array}\right) \right)       \\&=& det \left(\begin{array}{cc}s & -1 \\-\dfrac{g}{l}cos\theta_0 &  s+\dfrac{D}{ml^2}\end{array}\right) \qquad(3.79)\end{eqnarray}\)

Wyznacznik macierzy rozmiaru \( 2\times 2 \) może być obliczony z następującego wzoru

\(\begin{equation}det \left(\begin{array}{ccc}a_{11} & a_{12} \\a_{21} &  a_{22} \end{array}\right) = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21} \end{equation} \qquad(3.80)\)

Mamy zatem 

\(\begin{eqnarray}W(s) &=& det(sI-A) = det \left(\begin{array}{cc}s & -1 \\-\dfrac{g}{l}cos\theta_0 &  s+\dfrac{D}{ml^2}\end{array}\right) \\&=& s\left( s+\dfrac{D}{ml^2} \right) - (-1)\left( -\dfrac{g}{l}cos\theta_0 \right) \nonumber \\&=& s^2 + \dfrac{D}{ml^2}s -\dfrac{g}{l}cos\theta_0  \nonumber \end{eqnarray}\qquad(3.81)\)

Współczynniki wielomianu charakterystycznego wynoszą

\(\begin{equation}a_2 = 1,\ a_1 = \dfrac{D}{ml^2},\ a_0 = -\dfrac{g}{l}cos\theta_0\end{equation} \qquad(3.82)\)

Tworzymy teraz macierz Hurwitza dla wielomianu charakterystycznego. Macierz Hurwitza ma rozmiar \( 2\times 2  \) i postać

\(\begin{equation}H = \left(\begin{array}{cc}a_1 & a_2 \\0 &  a_0\end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc}\dfrac{D}{ml^2} & 1 \\0 &  -\dfrac{g}{l}cos\theta_0\end{array}\right)\end{equation} \qquad(3.83)\)

Minory główne macierzy Hurwitza wynoszą

\(\begin{equation}\left|\dfrac{D}{ml^2}\right|,\ \left|\begin{array}{cc}\dfrac{D}{ml^2} & 1 \\0 &  -\dfrac{g}{l}cos\theta_0\end{array}\right|\end{equation} \qquad(3.84)\)

Wykorzystujemy teraz Kryterium Hurwitza do sprawdzenia stabilności asymptotycznej punktu równowagi wahadła

• współczynniki wielomianu charakterystycznego muszą być dodatnie

              \(\begin{equation} a_2 = 1>0,\ a_1 = \dfrac{D}{ml^2}>0,\ a_0 = -\dfrac{g}{l}cos\theta_0 >0 \end{equation} \qquad(3.85)\)

• minory główne macierzy Hurwitza muszą być dodatnie

              \(\begin{eqnarray} \left|\dfrac{D}{ml^2}\right| &=& \dfrac{D}{ml^2} >0 \qquad(3.86)\\ \left|  \begin{array}{cc} \dfrac{D}{ml^2} & 1 \\ 0 &  -\dfrac{g}{l}cos\theta_0  \end{array}  \right| &=& \dfrac{D}{ml^2}\cdot \left(-\dfrac{g}{l}cos\theta_0\right) - 1\cdot 0 = -\dfrac{D}{ml^2}\cdot \dfrac{g}{l}cos\theta_0  > 0 \qquad(3.87)\end{eqnarray}\)

Parametry obiektu \( m,g,l,D \) są dodatnie. O spełnieniu nierówności w kryterium Hurwitza decyduje zatem znak wyrażenia \( cos\theta_0 \). Jeżeli \( cos\theta_0 > 0\) (punkt równowagi powyżej położenia horyzontalnego wahadła), to nie wszystkie nierówności w kryterium Hurwitza są spełnione, co oznacza, że taki punkt równowagi jest niestabilny. Jeżeli \( cos\theta_0 < 0\) (punkt równowagi poniżej położenia horyzontalnego wahadła), to wszystkie nierówności w kryterium Hurwitza są spełnione, co oznacza, że taki punkt równowagi jest stabilny asymptotycznie. Te wnioski pozostają w zgodzie z wynikami symulacji. Dla punktu równowagi odpowiadającego \( \theta_0 = \dfrac{5\pi}{6} \) obiekt przejawiał zachowanie stabilne (Rys. 1.14), podczas, gdy dla punktu równowagi odpowiadającego \( \theta_0 = \dfrac{\pi}{6} \) obiekt przejawiał zachowanie niestabilne (Rys. 1.15). 

Zbadajmy teraz stabilność punktu pracy układu regulacji wahadła z regulatorem P. Równania stanu dla układu regulacji mają postać

\(\begin{eqnarray}\dfrac{d\theta(t)}{dt} &=& \omega(t) \qquad(3.88)  \\\dfrac{d\omega(t)}{dt} &=& \dfrac{g}{l}sin\theta(t)  - \dfrac{D}{ml^2} \omega(t) +\dfrac{1}{ml^2} \left( k_p (\theta(t)-\theta_0) + M_0  \right) \qquad(3.89)\end{eqnarray}\)

Rozważamy punkt pracy określony przez \( \theta_0 \), \( \omega_0 \) orz \( M_0 \). Zlinearyzowane równania stanu (2.61)-(2.62) dla układu regulacji zapisane w postaci macierzowej mają postać

\(\begin{equation}\left(\begin{array}{c}\dfrac{d\tilde{\theta}}{dt}\\ \dfrac{d\tilde{\omega}}{dt}  \end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc}0 & 1 \\\dfrac{g}{l}cos\theta_0 + \dfrac{1}{ml^2}k_p &  -\dfrac{D}{ml^2}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}\tilde{\theta}\\ \tilde{\omega}\end{array}\right) \end{equation} \qquad(3.90)\)

Wielomian charakterystyczny wynosi 

\(\begin{eqnarray}W(s) &=& det(sI-A) = det \left(s\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 \\0 &  1 \end{array}\right) - \left(\begin{array}{cc}0 & 1 \\\dfrac{g}{l}cos\theta_0 +\dfrac{1}{ml^2}k_p  &  -\dfrac{D}{ml^2}\end{array}\right) \right)     \nonumber \\&=& det \left(\left(\begin{array}{ccc}s & 0 \\0 &  s \end{array}\right) - \left(\begin{array}{cc}0 & 1 \\\dfrac{g}{l}cos\theta_0 +\dfrac{1}{ml^2}k_p &  -\dfrac{D}{ml^2}\end{array}\right) \right)       \\&=& det \left(\begin{array}{cc}s & -1 \\-\dfrac{g}{l}cos\theta_0 -\dfrac{1}{ml^2}k_p &  s+\dfrac{D}{ml^2}\end{array}\right) \nonumber \\&=& s\left( s+\dfrac{D}{ml^2} \right) - (-1)\left( -\dfrac{g}{l}cos\theta_0 -\dfrac{1}{ml^2}k_p\right) \nonumber \\&=& s^2 + \dfrac{D}{ml^2}s -\dfrac{g}{l}cos\theta_0 -\dfrac{1}{ml^2}k_p \nonumber \end{eqnarray}\qquad(3.91)\)

Współczynniki wielomianu charakterystycznego wynoszą

\(\begin{equation}a_2 = 1,\ a_1 = \dfrac{D}{ml^2},\ a_0 = -\dfrac{g}{l}cos\theta_0 -\dfrac{1}{ml^2}k_p\end{equation} \qquad(3.92)\)

Tworzymy teraz macierz Hurwitza dla wielomianu charakterystycznego

\(\begin{equation}H = \left(\begin{array}{cc}\dfrac{D}{ml^2} & 1 \\0 &  -\dfrac{g}{l}cos\theta_0 -\dfrac{1}{ml^2}k_p\end{array}\right)\end{equation} \qquad(3.93)\)

Minory główne macierzy Hurwitza wynoszą

\(\begin{equation}\left|\dfrac{D}{ml^2}\right|,\ \left|\begin{array}{cc}\dfrac{D}{ml^2} & 1 \\0 &  -\dfrac{g}{l}cos\theta_0 -\dfrac{1}{ml^2}k_p\end{array}\right|\end{equation} \qquad(3.94)\)

Wykorzystujemy teraz Kryterium Hurwitza do sprawdzenia stabilności asymptotycznej punktu pracy układu regulacji położenia wahadła

• współczynniki wielomianu charakterystycznego muszą być dodatnie

              \(\begin{equation} a_2 = 1>0,\ a_1 = \dfrac{D}{ml^2}>0,\ a_0 = -\dfrac{g}{l}cos\theta_0 -\dfrac{1}{ml^2}k_p >0 \qquad(3.95)\end{equation} \) 

• minory główne macierzy Hurwitza muszą być dodatnie

Nierówności w kryterium Hurwitza będą spełnione jeżeli będzie spełniony warunek 

\(\begin{eqnarray}-\dfrac{g}{l}cos\theta_0 -\dfrac{1}{ml^2}k_p&>&0  \\-\dfrac{g}{l}cos\theta_0 &>&\dfrac{1}{ml^2}k_p \qquad /\cdot ml^2 \\-mglcos\theta_0 &>&k_p  \\ k_p & < & -mglcos\theta_0 \end{eqnarray}\)

Przeanalizujmy teraz powyższy warunek za pomocą symulacji działania układu. Przyjmujemy parametry modelu obiektu \( m = 0.1 \), \( l = 1 \), \( g = 10 \), \( D = 0.1 \). Wybieramy punkt pracy układu regulacji \( \theta_0=\dfrac{\pi}{6} \), \( \omega_0=0 \),  \( M_{0} = -0.5 \). Aby punkt pracy układu regulacji był stabilny \( k_p \) musi spełniać warunek

\(\begin{equation} k_p < -mglcos\theta_0 = -0.1\cdot 10 \cdot 1 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \simeq -0.87\end{equation} \qquad(3.98)\)

a) \(k_p = 0.75 \)

b) \(k_p = -0.8 \)

c) \(k_p = -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \)

d) \(k_p = -0.9 \)

Rysunek 3.3 Trajektorie \( \theta(t) \) w układzie regulacji dla różnych wartości wzmocnienia regulatora \( k_p \).

Ten warunek pozostaje w zgodzie z wynikami symulacji (Rys. 2.9 i 2.10). Sprawdźmy jeszcze zachowanie układu dla \( k_p \) bliskich wartości granicznej. Odpowiedź układu regulacji na warunki początkowe \( \theta(t_0) = \dfrac{\pi}{5} \), \( \omega(t_0) = -0.1 \) dla różnych wartości \( k_p \) została przedstawiona na Rys. 3.3. Dla \(k_p \geq -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \) trajektoria \( \theta(t) \) nie powraca do \( \theta_0 \). Jednak już dla wartości \( k_p \) nieco mniejszej od wartości granicznej trajektoria \( \theta(t) \) powraca do \( \theta_0 \).