Podręcznik

Reprezentacje figur geometrycznych stosowane w projektowaniu przy użyciu komputera powinny mieć następujące własności:

• powinny być wygodne dla projektanta, tak by dzięki nabytemu doświadczeniu i wyczuciu mógł łatwo wykonywać i modyfikować projekty;
• powinny umożliwiać łatwą realizację algorytmów przetwarzania, co wiąże się z obniżeniem kosztów implementacji systemów modelowania;
• powinny istnieć szybkie algorytmy przetwarzania reprezentacji, na przykład wykonywania takich przekształceń, jak obroty czy skalowanie; ma to zasadniczy wpływ na efektywność i wygodę pracy projektanta;
• własności reprezentacji powinny umożliwiać weryfikacje założeń projektowych (takich jak utrzymanie tolerancji kształtu), a także badanie modelu komputerowego przed wykonaniem prototypu
• powinna również istnieć możliwość wymiany danych miedzy różnymi systemami.

Parametryczny opis krzywej jest najbardziej ogólnym i najwygodniejszym opisem do określenia i obliczeń  charakterystycznych własności geometrycznych krzywej. Punkty krzywej parametrycznej opisane są odwzorowaniem:

$\begin{array}{{>{\displaystyle}l}} P( u) =\left[\begin{matrix} x(u)\\ y(u)\\ z(u) \end{matrix}\right] ,\ \ gdzie\ \ u\in \ < a,\ b > \end{array}$

Wielkość P(u) należy traktować jako wektor wodzący punktu P  leżącego na krzywej i odpowiadającego parametrowi u, który zmienia się w podanym zakresie  (Rysunek 1). Zwrot krzywej, zaznaczany na krzywej lub obok krzywej strzałką, określony jest przez dodatni przyrost parametru. 

Rysunek 1. Parametryczna krzywa w przestrzeni 3D. Punkt P(u) jest odwzorowaniem parametru u w przestrzeń 3D

Jeśli krzywa jest płaska, pomija się funkcję z(u). Zapis parametryczny w postaci dwóch funkcji x(u)  i  y(u)  pozwala zdefiniować krzywe płaskie, również takie, których nie da się opisać funkcją y(x) (Rysunek 2).

Rysunek 2. Rysunek obrazuje zależność między funkcjami x(u) i y(u),  a wynikającą z nich krzywą P(u)

Po danej krzywej możemy się poruszać na nieskończenie wiele sposobów; można więc ją sparametryzować nieskończenie wieloma odwzorowaniami.

Rysunek 3. Przykłady różnych parametryzacji półokręgu.

Przykładowo półokrąg  (Rysunek 3) można opisać funkcjami x(u) i  y(u):

1. wyprowadzonymi bezpośrednio z zależności y= f(x) dla półokręgu
2. i c) funkcjami trygonometrycznymi, gdzie parametr u oznacza kąt promienia wodzącego punktu P(u), liczony zgodnie lub przeciwnie do ruchu wskazówek zegara; jeśli zwiększymy zakres parametru u do 2p, można tym sposobem opisać cały okrąg (czego nie da się zrobić w przypadku a).