Podręcznik

Dla krzywej parametrycznej  P(u) definiuje się wektor pierwszej pochodnej P’(u) (zwany krótko wektorem pochodnej krzywej):

$P^{\prime }( u) =\left[\begin{matrix} x^{\prime } (u)\\ y^{\prime } (u)\\ z^{\prime } (u) \end{matrix}\right] ,\ \ gdzie\ \ u\in \ < a,\ b >$

Wektor pochodnej P'(u)  jest styczny do krzywej (chyba że ma on długość równą zeru) i ma zwrot zgodny ze zwrotem krzywej (Rysunek 11). Gdyby krzywą traktować jako tor poruszającego się punktu, a parametr u jako czas, to wektor P'(u) można interpretować jako wektor prędkości poruszającego się po tym torze punktu w chwili u. Dlatego wektor pochodnej bywa nazywany wektorem prędkości krzywej. Jest on więc zależny od parametryzacji krzywej - zmiana wzorów opisujących krzywą powoduje zmianę wektora prędkości w danym punkcie.

Rysunek 4. Krzywa P(u) i wektor prędkości  P'(u) leżący na  prostej stycznej do krzywej w punkcie P(u)

Mogą jednak wystąpić sytuacje, kiedy wektora pochodnej nie da się wyznaczyć  i wówczas krzywa ma w tym miejscu ostrze (Rysunek 5a). Krzywe parametryczne stosowane w modelowaniu geometrycznym są więc w ogólności  kawałkami gładkie - są ciągłe i mają skończoną liczbę ostrzy. Ostrza na krzywej (Rysunek 5) są miejscami, w których mogą zajść dwa przypadki:

• krzywa nie jest różniczkowalna: wektory pochodnej lewo- i prawostronnej są różne - przypadek a)
• krzywa jest różniczkowalna, ale wektor pochodnej  jest wektorem zerowym, czyli prędkość punktu poruszającego się po krzywej spada w tym punkcie do zera (wektor prędkości zmienia zwrot na przeciwny) – przypadek b) i c). Mówimy, że krzywa w tym punkcie nie jest regularna.

Rysunek 5. Krzywe kawałkami gładkie: a) w tym punkcie ostrza krzywa nie jest różniczkowalna; b)  i c) to przypadki tzw. antystyczności - krzywa w punkcie ostrza jest różniczkowalna, ale nie jest regularna.