Podręcznik

1. Geometria krzywych

1.4. Układ Freneta, wektor krzywizny i skręcenie krzywej

W modelowaniu 3D i w zastosowaniach CAD/CAM bardzo często zamiast krzywizny wykorzystuje się wektor krzywizny, ale aby go zdefiniować, należy wprowadzić pojęcia wersora normalnego i płaszczyzny ściśle stycznej do krzywej, związane z trójścianem Freneta (Rysunek 7).

Rysunek 7. Trójścian Freneta: wersor styczny t=t(u), normalny n=n(u) i binormalny b=b(u)

Trójścian (układ) Freneta definiuje się za pomocą trzech wzajemnie prostopadłych wersorów: wersora stycznego t(u), wersora binormalnego b(u), określonego wzorem

$b( u) =\dfrac{P"(u)\times P"(u)}{||P"(u)\times P"(u)||}$

i wersora normalnego n(u), wyznaczanego jako iloczyn wektorowy dwu poprzednich wersorów:

$n( u) =b( u) \times t( u)$

Dla trójścianu Freneta, utworzonego przez wersory t=t(u), b=b(u) i n=n(u) definiuje się 3 płaszczyzny:

płaszczyznę ściśle styczną - rozpiętą przez wersory t, n
płaszczyznę prostującą - rozpiętą przez wersory t, b
płaszczyznę normalną - rozpiętą przez wersory n, b

Teraz już można zdefiniować wektor krzywizny, który ma długość równą krzywiźnie krzywej:

$K( u) =\kappa ( u) n( u)$

Wektor krzywizny niesie więcej informacji, niż sama krzywizna: oprócz tego, że jego długość pokazuje wartość krzywizny, jego kierunek i zwrot jest zgodny z kierunkiem wersora normalnego i jest on skierowany we wklęsłą stronę krzywej (Rysunek 8).

Rysunek 8. Wektory pierwszej i drugiej pochodnej, wersor styczny t(u), wersor normalny n(u) i wektor krzywizny K(u) w wybranym punkcie krzywej gładkiej.

Krzywizna jest skalarną miarą odchylenia krzywej od prostej stycznej i albo jest równa zeru (w punktach wyprostowania krzywej) albo jest mierzona w kierunku wersora normalnego i wtedy jest dodatnia.

Wektor krzywizny jest wektorową miarą odchylenia krzywej od jej stycznej. Ma on długość równą krzywiźnie krzywej i albo jest wektorem zerowym, albo leży w płaszczyźnie ściśle stycznej do krzywej, jest prostopadły do wersora stycznego t(u) i skierowany we wklęsłą stronę krzywej.

Wektor krzywizny krzywej wyraźnie pokazuje wszelkie niuanse związane ze zmianą krzywizny, których nie da

Rysunek 9. Odwrócony i przeskalowany wykres wektora krzywizny

Rysunek 10. Wykres przeskalowanego wektora krzywizny

się dostrzec gołym okiem, a które powodują, że krzywa nie ma pożądanego, gładkiego kształtu, bez raptownych zmian krzywizny. Wykres wektora krzywizny przeskalowanego i wyświetlonego z zadaną gęstością wzdłuż krzywej może mieć postać jak na Rys. 9. Na ogół jednak w systemach CAD wyświetla się wykres wektora przeciwnego do wektora krzywizny, gdyż jest on znacznie czytelniejszy (Rys. 10).

Podsumujmy więc ostatecznie:

Dla krzywej, która w analizowanym punkcie nie jest płaska, czyli odchyla się od swojej płaszczyzny stycznej, można dodatkowo na bazie trójścianu Freneta i wektorów pochodnych aż do P’’’(u) włącznie zdefiniować pojęcia skręcenia krzywej (zgodne z intuicyjnym rozumieniem tego pojęcia) i wektora skręcenia:

Skręcenie krzywej jest skalarną miarą odchylenia krzywej od płaszczyzny ściśle stycznej i jest mierzone w kierunku wersora binormalnego. Skręcenie krzywej jest dodatnie, jeśli krzywa kieruje się w stronę wersora binormalnego i ujemne w przypadku przeciwnym. Skręcenie krzywej płaskiej = 0.

Wektor skręcenia jest wektorową miarą odchylenia krzywej od jej płaszczyzny ściśle stycznej. Ma on długość równą modułowi skręcenia krzywej, kierunek wersora binormalnego, a jego zwrot pokazuje, w którą stronę krzywa odchyla się od płaszczyzny ściśle stycznej.

Z pojęciem krzywizny związane jest pojęcie okręgu ściśle stycznego, który - spośród nieskończenie wielu okręgów stycznych w danym punkcie do krzywej i leżących w jej płaszczyźnie ściśle stycznej jest okręgiem najbardziej zbliżonym krzywizną do krzywej, najlepiej do niej "przylegającym". Promień okręgu ściśle stycznego, nazywany promieniem krzywizny, jest odwrotnością krzywizny krzywej w danym punkcie: im większa krzywizna, tym mniejszy promień krzywizny i odwrotnie.

$R=R( u) =\dfrac{1}{\kappa (u)}$

Okręgu ściśle stycznego nie można wyznaczyć w punktach wyprostowania krzywej, gdyż miałby tam promień nieskończony. Dlatego promień krzywizny jest mniej uniwersalny niż krzywizna, którą można określić we wszystkich punktach krzywej gładkiej i dlatego też do oceny własności krzywej zwykle stosuje się wykres wektora krzywizny.

Rysunek 11. Okrąg ściśle styczny do krzywej w wybranym punkcie; krzywa przechodzi w punkcie styczności z jednej strony okręgu na drugą

A co to jest krzywa gładka? Przypomnijmy sobie definicję.