Podręcznik
1. Geometria krzywych
1.5. Klasy ciągłości krzywej
Pojęcie ciągłości krzywych jest fundamentalne w projektowaniu. Najczęściej spotyka się następujące klasy ciągłości:
- C0 (inaczej: G0) - jeśli dwie krzywe mają tylko punkt wspólny;
- C1 - jeśli na połączeniu krzywych wektor pierwszej pochodnej jest ciągły (krzywe mają wspólny wektor prędkości);
- G1 - jeśli na połączeniu krzywych nachylenie stycznej do krzywej jest ciągłe (krzywe mają wspólny wersor styczny);
- C2 - jeśli na połączeniu krzywych wektor drugiej pochodnej jest ciągły;
- G2 - jeśli na połączeniu krzywych nachylenie stycznej zmienia się w sposób płynny, a krzywizna jest ciągła;
- G3 - jeśli na połączeniu krzywych krzywizna zmienia się w sposób płynny.
Ciągłość niezależna od parametryzacji, związana jedynie z kształtem (geometrią) krzywej, nosi nazwę ciągłości geometrycznej i oznaczana jest literą G. Ciągłość wektorów pochodnych w punkcie połączenia, ściśle związana z parametryzacją, jest ciągłością analityczną i oznaczamy ją literą C. Ciągłość analityczna jest silniejszym wymaganiem niż geometryczna: jeśli mamy ciągłość Ck, to na pewno jest to też ciągłość Gk, ale nie na odwrót.
Różne klasy ciągłości geometrycznej na połączeniu 2 krzywych zobrazowano na Rysunek 12 wraz z wykresami wektora krzywizny dla połączonych krzywych. Widzimy, że na połączeniu klasy G1 krzywizna zmienia się skokowo, dla G2 krzywizna nie zmienia swej wartości w punkcie połączenia, ale wykres krzywizny nie jest płynny w tym punkcie i dopiero w przypadku klasy G3 mamy płynny wykres krzywizny w punkcie połączenia. Wszystkie krzywe poza pierwszą są gładkie.
Rysunek 12. Klasy ciągłości geometrycznej krzywych: G0, G1-skokowa zmiana krzywizny, G2–ciągła krzywizna, G3- płynna krzywizna.
W większości zastosowań inżynierskich i we wzornictwie przemysłowym projektanci zadowalają się ciągłością G2 na połączeniu, jednak w stylizacjach o szczególnych wymaganiach (np. karoserie samochodów) narzuca się wymaganie G3. Bliżej wyjaśnimy te wymagania w dalszej części odnoszącej się do klas ciągłości powierzchni, ale już tutaj na przykładzie Rysunek 13 przyjrzyjmy się raz jeszcze różnicom między G2 a G3.
Rysunek 13. Porównanie ciągłości G2 i G3. W obu przypadkach na końcach krzywej krzywizna spada do zera i krzywa przechodzi w odcinki prostoliniowe, ale tylko w przypadku G3 to przejście jest płynne – styczna do wykresu krzywizny pokrywa się z prostą, w którą przechodzi.
Z drugie strony twórcom ilustracji, czy choćby zwykłym użytkownikom narzędzi rysunkowych Worda wystarcza ciągłość G1 na połączeniu krzywych, czyli wymaganie, by były one gładkie (ciągłość krzywizny nie jest potrzebna). Oznacza to, że można modyfikować jedną z krzywych bez zmiany drugiej (Rysunek 14a). Wraz z taką standardową opcją użytkownik dostaje możność równoczesnej zmiany obu połączonych krzywych, co jest równoważne zachowaniu ciągłości C1 (Rysunek 14b). Oczywiście zamiast określeń G1 i C1 używa się w takich aplikacjach pojęć bardziej zrozumiałych, choć często przy tym dziwnych (np. w Wordzie: punkt gładki – oznacza C1, punkt prosty – G1, punkt narożny – G0).
Rysunek 14. Porównanie klasy G1 (geometrycznej) z klasą C1 (analityczną). Odcinki prostych po obu stronach punktu połączenia odpowiadają przeskalowanym wektorom prędkości połączonych krzywych. Linią przerywaną zaznaczono nowe położenie krzywych po wydłużeniu wektora prędkości dla krzywej prawostronnej. W przypadku b) wektor prędkości dla krzywej lewostronnej automatycznie się do wektora prawostronnego dopasowuje i zmiana kształtu (wybrzuszenia) krzywej następuje po obu stronach.