Podręcznik

2.2. Reprezentacja Béziera

Projektowanie krzywych za pomocą matematycznych wzorów wielomianowych nie jest w praktyce możliwe - bo niemożliwe jest określenie wektorowych współczynników niemających żadnej interpretacji geometrycznej. Możliwość komputerowego projektowania krzywych i powierzchni zawdzięczamy geniuszowi francuskiego matematyka i inżyniera Pierre’a  Bézier (Rysunek 16).

 

Rysunek 16. Pierre Bézier (1910-1999), karoseria Renault zaprojektowana jego metodą i odręczny rysunek wykreślony przez  Béziera za pomocą jego krzywych.

Pracując w Renault nad projektowaniem karoserii opracował on pod koniec lat sześćdziesiątych metodę, która polega na definiowaniu krzywych za pomocą tzw. wierzchołków kontrolnych (obecnie często oznaczanych w różnych aplikacjach jako CV - ang. Control Vertices). Wierzchołki kontrolne bywają też nazywane punktami kontrolnymi, punktami sterującymi, a czasem obrazowo "uchwytami" krzywej (bo jak zobaczymy, można za nie "chwycić" krzywą i ją modelować). Reprezentacja za pomocą wierzchołków kontrolnych ma swoje bezpośrednie odniesienie do reprezentacji Hermite'a, ale jest wygodniejsza w zastosowaniach.

 

Krzywą Béziera 3 stopnia definiuje się za pomocą 4 wierzchołków kontrolnych V₀, V₁, V₂, V₃  (Rysunek 17) zgodnie ze wzorem:

 

 

Rysunek 17. Krzywa wielomianowa 3  stopnia w reprezentacji Béziera. Jest jednoznacznie zdefiniowana wielobokiem kontrolnym o 3 bokach.

Krzywa taka ma następujące własności (Rysunek 18):

• Przechodzi przez punkty krańcowe wieloboku i jest styczna w tych punktach do krańcowych boków wieloboku.
• Leży całkowicie wewnątrz wypukłego wieloboku rozpiętego na wierzchołkach wieloboku Béziera.
• Odzwierciedla charakterystyczny kształt wieloboku i jest jego gładkim przybliżeniem. Jeśli wielobok jest wypukły, to odpowiadająca mu krzywa Béziera też jest wypukła.

Aby przekształcić afinicznie krzywą Béziera (przesunąć, obrócić, przeskalować), wystarczy przekształcić afinicznie wielobok, a następnie wygenerować z niego krzywą Béziera.

Rysunek 18. Przykłady krzywych Béziera 3 stopnia i ich wieloboków wypukłych.

Krzywa Béziera 3  stopnia może mieć jeden lub dwa punkty przegięcia, a nawet pętlę lub ostrze. Może być też krzywą przestrzenną, zatem rysunki powyższe można traktować jako rzuty krzywych 3D - wówczas, gdy jeden z wierzchołków kontrolnych leży poza płaszczyzną ekranu. Z tego właśnie powodu krzywe 3 stopnia są najbardziej uniwersalne i to z nich buduje się większość bardziej złożonych kształtów.

Krzywą Béziera 2  stopnia (Rysunek 19) definiuje się za pomocą 3 wierzchołków kontrolnych V₀, V₁, V₂ zgodnie ze wzorem analogicznym do tego dla krzywych 3 stopnia:

Rysunek 19. Krzywa wielomianowa 2  stopnia w reprezentacji Béziera.

 

Krzywa taka jest łukiem paraboli. Jest ona zawsze płaska, bo 3 punkty wyznaczają płaszczyznę. Nie może mieć też punktów przegięcia - jest zawsze wypukła. Nie jest więc tak powszechnie użyteczna do konstruowania złożonych krzywych, jak krzywa trzeciego stopnia, ale jej uogólnienia, jak zobaczymy, pozwalają na konstruowanie krzywych stożkowych.

Zalety reprezentacji Béziera widoczne są wówczas, jeśli umożliwimy przesuwanie wierzchołków kontrolnych. Można wówczas w elastyczny sposób modyfikować kształt krzywej, zawsze mając pewność, że krzywa nie "ucieknie" nam poza ekran (bo leży wewnątrz wieloboku rozpiętego na wierzchołkach kontrolnych). Można to przećwiczyć na Aplikacji nr 1 (Rysunek 20), pozwalającej na modelowanie krzywych Béziera 2 lub 3 stopnia. Jak łatwo zauważyć, bardzo szybko udaje się uzyskać wprawę i intuicję w projektowaniu krzywych tym sposobem.

Rysunek 20 - Aplikacja nr 1. Krzywa Béziera drugiego lub trzeciego stopnia.
Narysuj krzywą stopnia 3 lub 2 wskazując myszką na ekranie kolejne wierzchołki wieloboku Béziera (program zmusi Cię do podania odpowiedniej liczby wierzchołków). Później możesz dowolnie przeciągać wierzchołki.