Podręcznik

W wielu zastosowaniach inżynierskich zachodzi potrzeba projektowania krzywych stożkowych, a zwłaszcza łuków okręgów. Jak łatwo zauważyć, wielomianowe krzywe parametryczne 2 stopnia nie mogą służyć do reprezentowania dowolnych krzywych stożkowych, bo zawsze są parabolami. Okazuje się jednak, że niezwykła uniwersalność metody Béziera pozwala na rozwiązanie i tego problemu: krzywą możemy zdefiniować za pomocą wierzchołków kontrolnych i związanych z nimi współczynników wagowych, za pomocą uogólnionego wzoru Béziera:

${\mathbf{P}}\left(u\right)=\frac{w_0\mathbf{V}_0{(1-u)}^2+2w_1\mathbf{V}_\mathbf{1}u\left(u-1\right)+w_2\mathbf{V}_\mathbf{2}u^2}{w_0{(1-u)}^2+2w_1u\left(1-u\right)+w_2u^2}\ \ \ ;\ \ \ 0\le\ u\le1$

Jest to tzw. wymierna (zdefiniowana ilorazem, ang. rational) krzywa Béziera; każdy wierzchołek kontrolny V_i  ma związaną z nim dodatnią wagę (współczynnik wagowy) w_i. W zależności od wagi wierzchołka środkowego otrzymujemy (Rysunek 26) łuk hiperboli (w₁ >1),  łuk paraboli (w₁ =1) lub łuk elipsy (0< w₁ <1).

Można sprawdzić, że jak z powyższego wzoru wynika, przeskalowanie wszystkich wag nie zmienia kształtu krzywej. Jeśli zaś wszystkie wagi są sobie równe, to krzywa wymierna staje się krzywą wielomianową (bo suma funkcji Bernsteina, jaką otrzymamy wówczas w mianowniku, jest równa 1).

Rysunek 26. Krzywe stożkowe jako wymierne krzywe Béziera. Obok wierzchołków kontrolnych zaznaczono wartości ich wag. W zależności od wagi wierzchołka środkowego  otrzymujemy łuk: a) hiperboli. b) paraboli lub c) elipsy.

Łuk okręgu jest szczególnym przypadkiem łuku elipsy; poniżej podano dwa sposoby reprezentowania łuku okręgu za pomocą wierzchołków kontrolnych i ich wag. Sposób, który przedstawia Rysunek 27 nie nadaje się dla półokręgu, ale okazuje się, że półokrąg można przedstawić jako krzywą stopnia 3 (Rysunek 28).

Rysunek 27. Łuk okręgu jako wymierna krzywa Béziera 2 stopnia. Obok wierzchołków kontrolnych zaznaczono wartości współczynników wagowych.	Rysunek 28. Półokrąg jako wymierna krzywa Béziera 3 stopnia. Obok wierzchołków kontrolnych zaznaczono wartości współczynników wagowych.

Krzywe wymierne mogą być dowolnego stopnia, zgodnie ze wzorem:

${\mathbf{P}}\left(u\right)=\frac{\sum_{i=0}^{n}{w_i\mathbf{V}_\mathbf{i}B_{i,n}(u)}}{\sum_{i=0}^{n}{w_iB_{i,n}(u)}}\ \ ;\ \ 0\le\ u\le1$

W takich krzywych najbardziej przydatna jest możliwość modyfikacji kształtu krzywej bez zmiany wierzchołków kontrolnych. Pozwala to na bardziej subtelne modyfikowanie modelowanych kształtów. Zwiększając wagę wierzchołka powodujemy, że krzywa zbliża się do tego wierzchołka. Zasadę tę można wypróbować na poniższej Aplikacji nr 4 (Rysunek 29), analogicznej do Aplikacji nr 3.

Rysunek 29 - Aplikacja nr 4. Modelowanie wymiernej krzywej Béziera dowolnego stopnia. Suwakiem można zmieniać  wagi wierzchołków kontrolnych. Warto sprawdzić, że jeśli wszystkie wagi będą sobie równe, to niezależnie od ich wartości otrzymamy zawsze tę samą "zwykłą" krzywą wielomianową.