Podręcznik

Zasady definiowania krzywych  B-sklejanych i krzywych  NURBS przedstawione w poprzednich rozdziałach pozwalają na tworzenie złożonych krzywych wybranego stopnia o maksymalnie wysokiej klasie ciągłości metodą „ab initio” – za pomocą wierzchołków kontrolnych i dodatkowych danych (wagi, węzły) jednoznaczne definiujących krzywą. Taki sposób konstruowania gładkich krzywych jest bardzo wygodny na etapie projektowania koncepcyjnego, w pierwszej fazie stylizacji, gdy potrzebne jest wypracowanie wstępnego zarysu kształtu. Jednakże w dalszych etapach bardziej potrzebna okazuje się możliwość interpolacji krzywymi sklejanymi, gdy chcemy, by krzywa wynikowa przechodziła przez zadane punkty i miała  przy tym maksymalnie wysoką klasę ciągłości. Tych warunków nie spełniają krzywe interpolujące omówione w rozdziale 6, gdyż są one tylko klasy C1.

Istnieją jednak algorytmy interpolacji, które pozwalają wyznaczyć takie wektory pochodnych w węzłach interpolacji, że krzywa wynikowa będzie miała ciągłość C2. Załóżmy więc, że mamy następujące dane:

• P_i, i=0..n - punkty dane (przez które przejść ma krzywa)
• d_i= u_i-u_i-1 - odległości między węzłami (można przyjąć  d_i jako  odległość między punktami P_i-1 i P lub dla uproszczenia d_i=1 dla wszystkich i).

Konieczne jest więc narzucenie warunku równości wektorów drugich pochodnych w węzłach interpolacji, czyli w każdym punkcie danych poza krańcowymi.  Tak powstaje układ równań, który w postaci ogólnej można zapisać w postaci macierzowej:

$\begin{bmatrix} & b_{0} & c_{0} & & & & & & \\ & & a_{1} & b_{1} & c_{1} & & & & \\ & & & a_{2} & b_{2} & c_{2} & & & \\ & & & & \bullet & \bullet & \bullet & \bullet & \\ & & & & & a_{n-1} & b_{n-1} & c_{n-1} & \\ & & & & & & a_{n} & b_{n} & \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} P"_{0}\\ P"_{1}\\ P"_{2}\\ \bullet \\ P"_{n-1}\\ P"_{n} \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} F_{0}\\ F_{1}\\ F_{2}\\ \bullet \\ F_{n-1}\\ F_{n} \end{bmatrix}$

gdzie F_i = (3*d_i+1/d_i)*(P_i-P_i-1) + (3*d_i/d_i+1)*(P_i+1-P_i),    i=1,...,n-1.

Macierz współczynników przy niewiadomych jest macierzą trójdiagonalną silnie dominującą (moduł elementu na głównej przekątnej jest większy niż suma modułów obu elementów sąsiednich w tym samym wierszu). Taki układ ma dokładnie jedno rozwiązanie, czyli wektor pochodnych [P₀’, …, P_n’] , które można wyznaczyć metodą eliminacji Gaussa, która prowadzi do następującego algorytmu:

Dwa równania w układzie z macierzą trójdiagonalną (pierwsze i ostatnie) muszą być jednak narzucone dodatkowo, gdyż z warunków równości drugich pochodnych mamy tylko n-1 równań. Najprostsza możliwość to narzucenie wektorów pochodnych na końcach krzywej:

F₀ = P₀^’  wektor prędkości na początku krzywej

F_n = P_n^’ wektor prędkości na końcu krzywej.

Na tej podstawie wyznaczamy współczynniki macierzy trójdiagonalnej:

$\ b_{0} =1\ \ \ \ \ \ c_{0} =0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $

$b_{n} =1\ \ \ \ \ \ a_{n} =0\ \ \ \ \ \ $

$\left. \ \begin{matrix} \ a_{i} =d_{i+1} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ b_{i} =2( d_{i} +d_{i+1}) \ \ \ \ \\ c_{i} =d_{i} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\right\} \ i=1,...,n-1$

Tak otrzymane krzywe sklejane interpolujące 3 stopnia mają ciągłą krzywiznę, co można zobaczyć na wykresach wektora krzywizny.

Rysunek 53. Krzywe sklejane interpolujące wraz z wykresem wektora krzywizny – modeler Rhinoceros

Można dla nich wyznaczyć odpowiadające im wieloboki B-sklejane (tutaj tego rozwiązania nie omawiamy).  W tym momencie taka krzywa nie różni się więc niczym od krzywej zadanej "ab initio" za pomocą wierzchołków kontrolnych. Można ją modyfikować dwojako:

• modyfikacja punktów kontrolnych lokalnie wpływa na kształt krzywej, co wynika z podanych już wcześniej własności krzywej B-sklejanej; jeśli więc krzywa jest stopnia 3, to zmieniają się tylko 4 krzywe składowe, położone najbliżej modyfikowanego punktu kontrolnego.
• modyfikacja punktów sklejania krzywych (które w przypadku krzywej interpolującej są węzłami interpolacji) powoduje globalną zmianę całej krzywej, wszystkich jej krzywych składowych. Zmiany te są najbardziej widoczne w pobliżu punktów modyfikacji i maleją w bardziej oddalonych segmentach, ale można je zaobserwować w całym obszarze krzywej.

Rysunek 54. Modyfikacja krzywych sklejanych metodą zmiany wierzchołków kontrolnych i węzłów interpolacji – c)