Podręcznik

Rysunek 55. Płaszczyzna styczna i wektor normalny do powierzchni parametrycznej.

Reprezentacją parametryczną powierzchni nazywamy funkcję wektorową ciągłą będącą odwzorowaniem obszaru płaskiego D w przestrzeń R³:

${\mathbf{P}}\left(u,v\right)=\left[\begin{matrix}x(u,v)\\y(u,v)\\z(u,v)\\\end{matrix}\right],\ \ \ gdzie\ u,v\ \in D$

Zmienne u,v, czyli parametry reprezentacji, nazywane są współrzędnymi krzywoliniowymi lub współrzędnymi Gaussa punktu na powierzchni. Linie, dla których u=const lub v=const,  nazywane są liniami stałego parametru w kierunkach odpowiednio u i v.

Określenie powierzchnia parametryczna oznacza dowolną jej reprezentację parametryczną (przy czym podobnie jak w przypadku krzywych, każda powierzchnia jako twór geometryczny może mieć nieskończenie wiele reprezentacji parametrycznych).

Powierzchnię parametryczną nazywamy różniczkowalną, jeśli w każdym jej punkcie istnieją pochodne cząstkowe będące ciągłymi funkcjami w dziedzinie powierzchni:

$\frac{\partial\mathbf{P}}{\partial u}=\left[\frac{\partial x}{\partial u},\frac{\partial y}{\partial u},\frac{\partial z}{\partial u}\right]^T$

Jeśli pochodne te są liniowo niezależne (czyli niewspółliniowe), to powierzchnia parametryczna jest regularna, czyli gładka. Wówczas bowiem na tych dwóch wektorach można rozpiąć płaszczyznę styczną do powierzchni (rys. 9.1, 9.2a).

Rysunek 56. Powierzchnia różniczkowalna, złożona z dwu płatów mających wspólną płaszczyznę styczną, może być a) klasy G1; b) klasy G0 (przypadek tzw. antystyczności).

Ponieważ można zdefiniować dwa iloczyny wektorowe:

$\frac{\partial\mathbf{P}}{\partial u}\times\frac{\partial\mathbf{P}}{\partial v}\ \ \ \ oraz\ \ \ \frac{\partial\mathbf{P}}{\partial v}\times\frac{\partial\mathbf{P}}{\partial u}\ ,$

i każdy z nich jest prostopadły do płaszczyzny stycznej, wybór jednego z nich jako wektora normalnego powierzchni określa jej orientację: dodatnią stroną powierzchni jest ta strona, po której leży wektor normalny powierzchni. Dla powierzchni regularnej można zdefiniować niezależny od parametryzacji wersor normalny:

$\mathbf{N} =\cfrac{\frac{\partial P}{\partial u} \times \frac{\partial P}{\partial v}}{\left\Vert \frac{\partial P}{\partial u} \times \frac{\partial P}{\partial v}\right\Vert }$

przy założeniu, że dodatnią stronę powierzchni określa wektor podany w liczniku. Zmiana orientacji powierzchni powoduje zmianę wersora normalnego na przeciwny.  Aby można było badać ciągłość powierzchni i wykonywać różnorodne operacje, wszystkie płaty muszą mieć zgodną orientację.

Rysunek 58. Krzywizna normalna powierzchni w punkcie P mierzona jest na przekroju płaszczyzną zawierającą wersor normalny N.
Krzywizny główne (ekstremalne) występują na kierunkach prostopadłych s1 i s2; obie są tu ujemne.