Podręcznik

5.2. Krzywizny powierzchni

Dla powierzchni w dowolnym jej punkcie nie można wyznaczyć krzywizny, dopóki nie określi się przekroju, na którym ma być ona zmierzona. Krzywizna powierzchni jest bowiem liczona jako krzywizna krzywej powstałej z przekroju normalnego tej powierzchni w zadanym kierunku. Przekrój normalny jest krzywą płaską i zawiera w sobie wersor normalny powierzchni. Krzywizna powierzchni w danym kierunku ma wartość ujemną, jeśli wersor normalny powierzchni jest skierowany przeciwnie do wklęsłej strony krzywej.

Rysunek 57. Płaty o przeciwnych orientacjach a) na karoserii Volkswagena (reprodukcja za zgodą autora materiałów); b) na powierzchni zaprojektowanej metodą subdivision w Blenderze. Ciemne fragmenty na powierzchni pionka oznaczają płaty, dla których algorytm wyznaczył niewłaściwe normalne i dlatego uznane zostały one za płaty niewidoczne

Krzywizna powierzchni przyjmuje w każdym punkcie (z wyjątkiem punktów sferycznych i punktów spłaszczenia) dwie wartości ekstremalne (minimalną i maksymalną), zwane krzywiznami głównymi. Iloczyn krzywizn głównych nazywamy krzywizną Gaussa, a ich średnią arytmetyczną - krzywizną średnią. Wielkości tych krzywizn i ich znaki mają istotne znaczenie przy badaniu kształtu i ciągłości powierzchni.

Rysunek 59. Kształt powierzchni w zależności od znaku krzywizny Gaussa (K) i krzywizny średniej (H).

W zależności od znaku krzywizny Gaussa i krzywizny średniej na powierzchni można wyróżnić:

1. punkty eliptyczne, w których K>0
2. punkty hiperboliczne, w których K<0
3. punkty paraboliczne, w których K=0, H≠0
4. punkty spłaszczenia, w których K=0, H=0.

Przy zmianie orientacji powierzchni na przeciwną wersor normalny powierzchni zmienia zwrot na przeciwny i znak krzywizny średniej zmienia się na przeciwny.