Podręcznik

1. Podstawowe pojęcia i prawa obwodów elektrycznych

1.10. Prawo napięciowe

Suma napięć w każdym oczku obwodu elektrycznego jest równa zeru

$\sum_{k} u_k=0$

(1.8)

Sumowanie dotyczy napięć gałęziowych występujących w danym oczku zorientowanych względem dowolnie przyjętego kierunku odniesienia. Napięcie gałęziowe zgodne z tym kierunkiem jest brane z plusem a przeciwne z minusem. Sposób pisania równań wynikających z prawa napięciowego Kirchhoffa pokażemy na przykładzie oczka obwodu przedstawionego na rys. 1.8.

Rys. 1.8. Przykład oczka obwodu z oznaczeniami napięć gałęziowych

Uwzględniając kierunki napięć gałęziowych równanie napięciowe Kirchhoffa dla tego oczka przyjmie postać

$u_1+u_2+u_3-u_4-e=0$

Można je również zapisać jako bilans napięć źródłowych i odbiornikowych w postaci

$e=u_1+u_2+u_3-u_4$

Dla każdego obwodu można napisać tyle równań oczkowych ile oczek wyodrębnimy w tym obwodzie, przy czym część równań oczkowych będzie równaniami zależnymi (wynikającymi z liniowej kombinacji innych równań). Minimalna liczba równań oczkowych branych pod uwagę w analizie jest więc równa liczbie oczek niezależnych.

Napiszemy równania Kirchhoffa dla obwodu z rys. 1.9.

Uzupelnij opis obrazka

Rys. 1.9. Schemat obwodu poddanego analizie w przykładzie 1.1

Rozwiązanie

Zgodnie z prawami Kirchhoffa równania obwodu przyjmą następującą postać.

Równania prądowe:

$i_{L1}-i_{L2}-i_C=0$

$i_{L2}-i_{R1}-i_{R2}=0$

$i_{L1}=i$

Równania napięciowe:

$u_C-u_{L2}-u_{R1}=0$

$u_{R1}-u_{R2}-e=0$

Przedstawiony tu układ równań uzupełniony o równania elementów jest wystarczający do uzyskania wszystkich wielkości prądowych bądź napięciowych w obwodzie. Po takim uzupełnieniu uzyskuje się pełny opis obwodu a jego rozwiązanie pozwala wyznaczyć pełny rozpływ prądów i rozkład napięć w obwodzie.

Szczególnie proste zależności otrzymuje się dla obwodu rezystancyjnego, zawierającego oprócz źródeł wymuszających jedynie rezystory oraz (ewentualnie) źródła sterowane o rzeczywistych współczynnikach sterowania. Dla takich obwodów równania elementów rezystancyjnych są dane w postaci zależności algebraicznych, które wstawione do równań Kirchhoffa pozwalają utworzyć układ równań algebraicznych o liczbie zmiennych równych liczbie równań. Sposób tworzenia takiego układu równań pokażemy na przykładzie obwodu z rys. 1.10.

Należy określić rozpływ prądów i rozkład napięć w obwodzie rezystancyjnym o strukturze przedstawionej na rys. 1.10. Wartości elementów są następujące: R₁= 1W, R₂= 2W, R₃= 3W, R₄= 4W, e = 10V, i_z₁= 2A, i_z₂= 5A.

Uzupelnij opis obrazka

Rys. 1.10. Struktura obwodu poddanego analizie w przykładzie 1.2

Rozwiązanie

Z równań Kirchhoffa otrzymuje się

$i_{z1}-i_1-i_2-i_4=0$

$i_2+i_4+i_{z2}-i_3=0$

$u_{R1}-u_{R2}+e-u_{R3}=0$

$u_{R2}-e-u_{R4}=0$

Równania elementów rezystancyjnych: $u_{R1}=R_1i_1,$ $u_{R2}=R_2i_2,$ $u_{R3}=R_3i_3,$ $u_{R4}=R_4i_4$ tworzą wspólnie z równaniami Kirchhoffa następujący układ równań algebraicznych:

$i_1+i_2+i_4=i_{z1}$

$i_2-i_3+i_4=-i_{z2}$

$R_1i_1-R_2i_2-R_3i_3=-e$

$R_2i_2-R_4i_4=e$

Po wstawieniu danych liczbowych do powyższych równań otrzymuje się:

W wyniku rozwiązania tego układu równań otrzymuje się: i₁= 3,187A, i₂= 0,875A, i₃= 3,812A oraz i₄= -2,062A. Łatwo sprawdzić przez podstawienie obliczonych wartości do układu równań, że bilans prądów w każdym węźle oraz bilans napięć w każdym oczku obwodu jest zerowy.