Podręcznik

1. Narysować przebiegi funkcji sigmoidalnej unipolarnej  $f(u)= \frac{1}{1+ \exp ( - \beta u )}$ oraz bipolarnej $f_b(u) = \text{tgh} (\beta u)$ w funkcji zmiennej u dla różnych wartości współczynnika $\beta$ od 0.1 do 10.

2. Inną postacią funkcji sigmoidalnej jest  $f(u) = \frac{u}{\sqrt{1+u^2}}$. Wykreślić jej przebieg w funkcji zmiennej u. Udowodnić, że pochodna tej funkcji jest równa  $\frac{df(u)}{du} = \frac{f^3(u)}{u^3}$. Wykreślić przebieg pochodnej jako funkcję zmiennej u.

3. Neuron otrzymuje pobudzenie w postaci sygnałów wejściowych tworzących wektor $\mathbf{x}=[10 \; -10 \; 2 \; -2]^T$.  Wektor wag wejściowych jest równy $\mathbf{x}=[0.4 \; 0.3\; -1\; 0.8]^T$. Określić odpowiedź tego neuronu przy założeniu, że

• neuron jest liniowy

• neuron jest reprezentowany przez model McCullocha-Pittsa

• neuron jest sigmoidalny bipolarny $f_b(u) = \text{tgh}(u)$.

4. Porównać kształt funkcji radialnej gaussowskiej przy różnych wartościach parametru $\sigma$. Wykreślić te funkcje na wspólnym wykresie. Narysować wykres zmian zależności sumy trzech funkcji gaussowskich o centrach przesuniętych w taki sposób, że suporty każdej z nich częściowo pokrywają się ze sobą, przy różnych wartościach $\sigma$ jako funkcje zmiennej wejściowej $x$.

5. Neuron RBF o gaussowskiej funkcji aktywacji z centrum $\mathbf{c}=[1 \; 0.5 \; 0.2 ]^T$ i wartością $\sigma = 0.5$ otrzymał pobudzenie sygnałami $x$ tworzącymi wektor trójwymiarowy $\mathbf{x}=[0.8 \; 0.2 \; 0.1]^T$. Określić sygnał wyjściowy neuronu dla każdego z tych pobudzeń.

6. Dwa neurony o wagach: $\mathbf{w}_1=[ 0.1 \; -0.2 \; 0.5 ]^T$, $\mathbf{w}_2= [ -0.5 \; 0.5 \; 0.8]^T$ trenowane są poprzez współzawodnictwo w trybie WTA. Określić ich wagi po pierwszej iteracji przy istnieniu następujących wektorów uczących: $\mathbf{x}=[ 0.1 \; 0.1 \; 0.6 ]^T$, $\mathbf{x}= [ 0.2 \; -0.3 \; 0,7 ]^T$, $\mathbf{x}= [ 0 \; -0.31 \; 0.9 ]^T$, $\mathbf{x} = [ -0.4  \; 0.4  \; 0.9]^T$, $\mathbf{x}= [-0.3  \; 0.6 \; 0.7]^T$, $\mathbf{x}= [ 0.1 \; 0 \; 0.5]^T$, $\mathbf{x}= [ -0.2 \; 0.6  \; 0.9]^T$, $\mathbf{x}= [ -0.6 \; 0.3 \; 0.7]^T$ przy założeniu $\eta=0.2$.

7. Dwa neurony o wagach $\mathbf{w}_1=[ 0.2  \; 0.3 \;  0.8 ]^T$, $\mathbf{w}_2= [ -1 \; 0.5 \; 0.5]^T$ pobudzono tymi samymi sygnałami $x$ tworzącymi wektor $\mathbf{x}= [ 0.1 \; 0.4 \; 0.6]^T$. Określić zwycięzcę posługując się miarą odległościową oraz iloczynem skalarnym wektorów.