Podręcznik

4. Metody analizy złożonych obwodów RLC w stanie ustalonym przy wymuszeniu sinusoidalnym

4.5. Metoda potencjałów węzłowych

Metoda potencjałów węzłowych, zwana również metodą węzłową, jest jedną z najogólniejszych i najczęściej stosowanych metod, pozwalających wyznaczyć prądy wszystkich gałęzi występujących w obwodzie. Jako zmienne przyjmuje się w niej potencjały poszczególnych węzłów obwodu określane względem jednego arbitralnie wybranego węzła uznanego za węzeł odniesienia („masy”), którego potencjał przyjmuje się za równy zeru. Liczba równań w tej metodzie jest równa liczbie węzłów niezależnych a więc znacznie mniejsza niż w metodzie wykorzystującej bezpośrednio układ równań otrzymanych w wyniku zastosowania praw Kirchhoffa.

Metoda węzłowa wynika bezpośrednio z równań prądowych Kirchhoffa napisanych dla wszystkich węzłów niezależnych w obwodzie. Prąd każdej gałęzi obwodu jest wyrażany za pośrednictwem potencjałów węzłowych, czyli napięć węzłów mierzonych względem węzła odniesienia. Zostało wykazane, że każdy obwód liniowy RLC może być opisany równaniem macierzowym potencjałów węzłowych o postaci

$YV={I}_{zr}$

(4.5)

Rozwiązanie tego równania może być zapisane przy użyciu inwersji macierzy Y w postaci

${V}={Y}^{-1}{I}_{zr}$

(4.6)

Przy założeniu, że obwód ma N węzłów niezależnych macierz Y jest macierzą o wymiarach N\times N. Wektor V jest zbiorem niezależnych potencjałów węzłowych o wymiarze N a \mathbit{I}_{zr} jest wektorem prądów źródłowych stanowiących wymuszenie. Macierz węzłowa Y określona jest w postaci

${Y}=\left[\begin{matrix}Y_{11}&Y_{12}&...&Y_{1N}\\Y_{21}&Y_{22}&...&Y_{2N}\\...&...&...&...\\Y_{N1}&Y_{N2}&...&Y_{NN}\\\end{matrix}.\right]$

(4.6)

a wektory V oraz \mathbit I_zr dane są jak następuje

${V}=\left[\begin{matrix}V_1\\V_2\\...\\V_N\\\end{matrix}\right]$

(4.7)

${I}_{zr}=\left[\begin{matrix}I_{zr1}\\I_{zr2}\\...\\I_{zrN}\\\end{matrix}\right]$

(4.8)

Elementy $Y_{ii}$ położone na głównej diagonalnej macierzy Y nazywane są admitancjami własnymi węzła i-tego. W przypadku obwodów RLC bez źródeł sterowanych admitancja własna węzła i-tego jest równa sumie admitancji wszystkich gałęzi włączonych w i-tym węźle. Elementy $Y_{ij}$ położone poza główną diagonalną są admitancjami wzajemnymi między węzłem i-tym oraz j-tym. Admitancja wzajemna dwu węzłów jest równa admitancji łączącej te węzły wziętej ze znakiem minus. Admitancja wzajemna węzła i-tego oraz j-tego jest taka sama jak węzła j-tego oraz i-tego, tzn. $Y_{ij}=Y_{ji}$ . Macierz admitancyjna Y dla obwodów RLC bez źródeł sterowanych jest więc macierzą symetryczną.

Elementy wektora wymuszeń prądowych ${I}_{zr}$ są równe sumie wszystkich prądów źródłowych wpływających do danego węzła, przy czym prąd źródłowy dopływający do węzła bierze się ze znakiem plus a prąd odpływający od węzła ze znakiem minus.

Podsumowując, analiza obwodów w stanie ustalonym metoda węzłową wymaga wykonania następujących etapów:

Opis obwodu równaniem macierzowym potencjałów węzłowych (zmienne poszukiwane: wektor potencjałów $V$ )
Rozwiązanie układu równań ${YV}={I}_{zr}$
Określenie prądów gałęziowych z prawa napięciowego Kirchhoffa przy znanych potencjałach węzłowych: prąd gałęziowy jest równy iloczynowi admitancji elementu i napięcia na nim wyrażonego poprzez znane potencjały węzłowe.
Należy podkreślić, że metoda potencjałów węzłowych dopuszcza istnienie w obwodzie jedynie źródeł wymuszających typu prądowego. Jeśli w obwodzie występują również źródła napięciowe należy je przekształcić w odpowiednie źródła prądowe wykorzystując do tego celu równoważność Thevenina – Nortona (patrz rys. 4.8).

Sposób formułowania równań węzłowych zilustrujemy na przykładzie obwodu przedstawionego na rys. 4.9.

Korzystając z przedstawionych reguł formułowania równań węzłowych należy napisać równanie potencjałów węzłowych dla obwodu przedstawionego na rys. 4.9.

Uzupelnij opis obrazka

Rys. 4.9 Schemat obwodu do przykładu 4.2

Rozwiązanie

Obwód zawiera 3 węzły niezależne o potencjałach: $V_1$ , $V_2$ oraz $V_3$ mierzonych względem węzła odniesienia jak to oznaczono na rysunku. Oznaczając admitancje przez Y, gdzie Y=1/Z otrzymuje się opis węzłowy ${YV}={I}_{zr}$ obwodu

$\left[\begin{matrix}Y_2&-Y_2&0\\-Y_2&Y_2+Y_3+Y_4&-Y_4\\0&-Y_4&Y_4+Y_5+Y_6\\\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}V_1\\V_2\\V_3\\\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}I_{z1}+I_{z2}\\E_3Y_3-I_{z2}-I_{z4}\\I_{z4}-I_{z6}-E_5Y_5\\\end{matrix}\right]$

w którym macierz potencjałów węzłowych Y oraz wektor prądów wymuszających ${I}_{zr}$ określone są w postaci

${Y}=\left[\begin{matrix}Y_2&-Y_2&0\\-Y_2&Y_2+Y_3+Y_4&-Y_4\\0&-Y_4&Y_4+Y_5+Y_6\\\end{matrix}\right]$
${I}_{zr}=\left[\begin{matrix}I_{z1}+I_{z2}\\E_3Y_3-I_{z2}-I_{z4}\\I_{z4}-I_{z6}-E_5Y_5\\\end{matrix}\right]$

Na podstawie obliczonych wartości napięć węzłowych obwodu można w prosty sposób korzystając z prawa napięciowego Kirchhoffa dla poszczególnych gałęzi obwodu wyznaczyć prądy gałęziowe. Wystarczy w tym celu zastosować bądź prawo Ohma (jeśli gałąź zawiera jedynie element pasywny) lub równanie napięciowe Kirchoffa dla gałęzi szeregowej zawierającej źródło napięcia i element pasywny. Przykładowo dla obwodu z rys. 4.7 odpowiednie zależności przyjmują postać

Należy podkreślić, że metoda potencjałów węzłowych wymaga rozwiązania układu N równań, gdzie N oznacza liczbę węzłów niezależnych. Zwykle liczba węzłów jest dużo mniejsza niż liczba gałęzi obwodu, stąd metoda potencjałów węzłowych jest znacznie prostsza niż metoda klasyczna wykorzystująca bezpośrednio prawa Kirchhoffa dla całego obwodu.

Reguły tworzenia opisu węzłowego przedstawione powyżej zakładały istnienie jedynie elementów pasywnych RLC oraz źródeł wymuszających typu prądowego. Przy takim założeniu są one bardzo proste i łatwe w stosowaniu. W przypadku wystąpienia źródeł sterowanych w obwodzie trudno jest podać jednoznaczną formułę ogólną pozwalającą określić bezpośrednio zarówno macierz admitancyjną jak i wektor wymuszeń prądowych. Tworząc opis admitancyjny w takim przypadku można w pierwszym kroku zaliczyć źródła sterowane do źródeł wymuszających i tworzyć opis admitancyjny identycznie jak dla obwodu pasywnego. W drugim kroku wszystkie źródła sterowane należy wyrazić poprzez potencjały węzłowe przerzucając elementy wymuszeń uzależnione od tych potencjałów na lewą stronę równań (do macierzy węzłowej). Macierz admitancyjna Y wynika z uporządkowania powstałego macierzowego układu równań. W efekcie powstaje standardowy opis admitancyjny obwodu, który nie musi już teraz spełniać warunku symetrii macierzy Y.

Należy zwrócić uwagę na uproszczenia wynikające z istnienia w obwodzie idealnego źródła napięcia. Źródło takie ustala potencjał określonego węzła (gdy jest włączone względem węzła odniesienia) lub uzależnia potencjał jednego węzła względem drugiego (gdy jest włączone między dwoma węzłami niezależnymi). W obu przypadkach prowadzi to do redukcji liczby równań opisujących obwód.