Podręcznik

1. Obwody ze sprzężeniami magnetycznymi

1.4. Eliminacja sprzężeń magnetycznych

Eliminacja sprzężeń magnetycznych jest możliwa bezpośrednio na podstawie analizy struktury obwodu i uwzględnienia położenia początków uzwojeń cewek względem węzłów wspólnych (lub uznanych za wspólne przy braku ich bezpośredniego połączenia). W tym przypadku można wyróżnić dwa rodzaje połączeń:

dwie cewki sprzężone magnetycznie mają jednakowo usytuowane początki uzwojeń względem węzła - takie cewki uważać będziemy za jednoimienne (rys. 1.3)
dwie cewki sprzężone magnetycznie mają przeciwnie usytuowane początki uzwojeń względem węzła - takie cewki uważać będziemy za różnoimienne (rys. 1.4).

Rys. 1.3. Cewki jednoimienne

Rys. 1.4. Cewki różnoimienne

W przypadku cewek jednoimiennych eliminacja sprzężenia magnetycznego prowadzi do obwodu zastępczego przedstawionego na rys. 1.1.

Rys. 1.5. Eliminacja sprzężenia magnetycznego cewek jednoimiennych

W gałęziach zawierających cewki pojawiła się indukcyjność wzajemna ze znakiem minus, a w gałęzi wspólnej ze znakiem plus. Łatwo można pokazać, że przy takim sposobie eliminacji sprzężeń magnetycznych napięcia na zaciskach zewnętrznych 1, 2 i 3 przy niezmienionych prądach zewnętrznych w obu obwodach równają się sobie (co jest warunkiem równoważności). Schemat z rys. 1.6 odpowiada eliminacji sprzężenia w przypadku dwu cewek różnoimiennych.

Rys. 1.6. Eliminacja sprzężenia magnetycznego cewek różnoimiennych

W gałęziach zawierających cewki pojawiła się indukcyjność wzajemna ze znakiem plus a w gałęzi wspólnej ze znakiem minus. Łatwo udowodnić, że przy takim sposobie eliminacji sprzężeń napięcia na zaciskach zewnętrznych 1, 2 i 3 w obu obwodach (oryginalnym i po eliminacji sprzężenia) przy tych samych prądach zewnętrznych równają się sobie (co jest warunkiem równoważności).

Przy eliminacji sprzężeń magnetycznych przyjęty zwrot prądów nie ma żadnego wpływu na końcową postać obwodu bez sprzężeń. Ma na nią wpływ jedynie usytuowanie początków uzwojeń cewek względem wspólnego węzła, czyli jednoimienność lub różnoimienność cewek sprzężonych magnetycznie.

W obu przypadkach otrzymuje się obwody bez sprzężeń, równoważne oryginalnym jedynie pod względem prądowym. Napięcia w obu obwodach w części podlegającej przekształceniu są całkowicie różne. Rzeczywiste napięcia panujące na elementach podlegających transformacji powinny być określane bezpośrednio na podstawie obwodu oryginalnego i powinny uwzględniać sprzężenie magnetyczne (wzory 1.12 i 1.13).

Należy podkreślić, że przy wielu cewkach sprzężonych ze sobą, eliminacja pojedynczego sprzężenia między dwoma wybranymi cewkami może zachodzić niezależnie od pozostałych sprzężeń, co znakomicie ułatwia przeprowadzenie procesu eliminacji sprzężeń.

Na rys. 1.7a przedstawiony jest obwód zawierający trzy cewki sprzężone magnetycznie ze sobą. Stosując metodę eliminacji sprzężeń do każdej pary cewek sprzężonych ze sobą otrzymuje się schemat obwodu bez sprzężeń, równoważny pod względem prądowym obwodowi ze sprzężeniami (rys. 1.7b).

Uzupelnij opis obrazka

Rys. 1.7. Przykład eliminacji sprzężeń magnetycznych wielu cewek: a) obwód oryginalny, b) obwód po eliminacji sprzężeń

Przy analizie obwodów elektrycznych zawierających sprzężenia magnetyczne pierwszym krokiem jest eliminacja sprzężeń magnetycznych zgodnie z zasadami podanymi wyżej. Dzięki temu każdy element obwodu staje się uzależniony jedynie od swojego prądu. Należy przy tym pamiętać, że schemat obwodu po eliminacji sprzężeń jest równoważny obwodowi oryginalnemu jedynie pod względem prądowym. Stąd obwód taki może służyć wyłącznie obliczeniu prądów. Dla wyznaczenia napięć gałęziowych należy wrócić do obwodu pierwotnego ze sprzężeniami magnetycznymi. Napięcia na elementach sprzężonych obliczać należy uwzględniając sprzężenia między cewkami przy wykorzystaniu wzorów (1.12) i (1.13).

Wyznaczyć rozpływy prądów w obwodzie przedstawionym na rys. 1.8.

Uzupelnij opis obrazka

Rys. 1.8 Schemat obwodu elektrycznego ze sprzężeniem magnetycznym

Przyjąć następujące wartości parametrów elementów obwodu: R=1Ω, L1=2H, L2=1H, M=1H oraz $i(t)=5sin{(}t+45^\circ)$ A.

Rozwiązanie

Postać obwodu po eliminacji sprzężenia magnetycznego przedstawiona jest na rys. 1.9

Uzupelnij opis obrazka

Rys. 1.9 Obwód bez sprzężeń magnetycznych odpowiadający schematowi z rys. 1.8.

Wielkości symboliczne charakteryzujące elementy obwodu:

$I=\frac{5}{\sqrt2}e^{j45^o}$

$Z_1=j\omega\left(L_1-M\right)=j1$

$Z_2=j\omega\left(L_2-M\right)=0$

$Z_M=j\omega\ M=j1$

Impedancja zastępcza obwodu wobec $Z_2=0$

$Z=\frac{RZ_M}{R+Z_M}=\frac{1}{\sqrt2}e^{j45^o}$

Napięcie $U_{AB}$

$U_{AB}=ZI=j2,5$

Prądy:

$I_R=\frac{U_{AB}}{R}=j2,5$

$I_1=0$

$I_2=I_3=\frac{U_{AB}}{Z_M}=2,5$

Napięcia na elementach równoległych w obwodzie oryginalnym i zastępczym są sobie równe i wynoszą $U_{AB}=j2,5$ . Można to łatwo sprawdzić w obwodzie oryginalnym obliczając napięcia na cewkach sprzężonych. Mianowicie

$U_{L_1}=j\omega\ L_1I_1+j\omega\ MI_2=j2,5$

$U_{L_2}=j\omega\ L_2I_2+j\omega\ MI_1=j2,5$