Podręcznik

1. Korzystając z oprogramowania Matlaba określić macierz korelacji $\mathbf{R}_{\mathbf{xx}}$ dla ciągu 20 wektorów 4-wymiarowych $\mathbf{x}$ utworzonych dla 20 kolejnych chwil czasowych w przedziale czasu $0 < t < 2$. Wektor ten opisują zależności

$\mathbf{x}=\left[\begin{array}{llll}\sin (3 t) & \exp (-0.1 * t) & \sin (3 * t) * \cos (0.5 * t) & \sin (3 * t-\cos (t))\end{array}\right]^T$

Wyznaczyć wartości i wektory własne tej macierzy.

2. Dany jest ciąg 20 wektorów losowych o wymiarze 10 i rozkładzie a) równomiernym, b) gaussowskim. Określić wartości własne i stowarzyszone z nimi wektory własne dla odpowiadających im macierzy korelacji $\mathbf{R}_{\mathbf{xx}}$. Porównać odpowiadające sobie wartości własne i ich rozkład w obu przypadkach przedstawiając je na wspólnym wykresie.

3. Dany jest zbiór wektorów $\mathbf{x}$ o postaci

$\mathbf{x}_1=\left[\begin{array}{r}1 \\ 2 \\ 0\end{array}\right], \; \mathbf{x}_2=\left[\begin{array}{r}0,8 \\ 1,8 \\ 0,5\end{array}\right], \; \mathbf{x}_3=\left[\begin{array}{r}1,3 \\ 2,5 \\ -0,5\end{array}\right], \; \mathbf{x}_4=\left[\begin{array}{r}0 \\ 1 \\ 2\end{array}\right], \; \mathbf{x}_5=\left[\begin{array}{r}0,5 \\ 1,5 \\ 3\end{array}\right], \; \mathbf{x}_6=\left[\begin{array}{r}0,8 \\ 2 \\ 4\end{array}\right]$

Określić macierz korelacji tych wektorów. Wyznaczyć wartości i wektory własne. Określić macierz PCA odwzorowującą te wektory w przestrzeń 2D. Zrekonstruować macierz korelacji na podstawie 2 najważniejszych składników głównych. Zrzutować wektory x_i w przestrzeń 2D. Narysować położenia tych rzutów w przestrzeni 2D.

4. Sygnał pomiarowy x tworzą funkcje czasu: $\sin(\omega_1 t)$, $\cos(\omega_2 t)$, $\exp(-\alpha t ) \cdot \sin(\omega_3 t)$, $\operatorname{sinc}(\omega_4 t)$ oraz dwie składowe szumowe o rozkładzie równomiernym i gaussowskim. Utworzyć zbiór 20 takich wektorów dla 20 różnych chwil czasowych. Każdy wektor x ma więc wymiar 6. Określić wartości własne macierzy korelacji tego zbioru wektorów. Dokonać przekształcenia PCA odpowiadającego 4 największym wartościom własnym macierzy korelacji. Odtworzyć te wektory i wykreślić je (zależność czasowa) na tle wartości oryginalnych.

5. Dla powyższego zbioru 20 wektorów zilustrować ich położenie na płaszczyźnie utworzonej przez dwa składniki główne: $y_1$ oraz $y_2$ ($K=2$).

6. Dana jest transmitancja operatorowa drugiego rzędu $H(s)=\frac{b_0}{s^2+a_1 s+a_0}$. Założyć określone wartości współczynników $a_i$, $b_i$ dla $i = 0, 1$ (na przykład $a_0 = 1$, $a_1 = 0,7$, $b_0 = 1$. Wykreślić charakterystykę amplitudową i fazową układu dla 10 wybranych pulsacji (np. wartości zmieniające się od $\omega=0.1$ do $\omega=2$). Utworzyć 20-wymiarowy wektor $\mathbf{x}$ zawierający wartość modułu $\left|H\left(j \omega_i\right)\right|$ fazy $arg(H(j\omega_1))$ dla przyjętych wartości częstotliwości (każdy punkt częstotliwości odpowiada dwu wartościom: amplitudy i fazy). Utworzyć ciąg takich wektorów dla wartości współczynników $a_0$, $a_1$, $b_0$, $b_1$ zmieniających się od zera do wartości nominalnej (w każdym przypadku zmiana wartości jednego współczynnika). Dokonać przekształcenia PCA dla takiego zbioru wektorów. Narysować wykres zmian położeń tych wektorów na płaszczyźnie utworzonej przez dwa pierwsze składniki główne: $y_1$ i $y_2$.

7. Przedstawić na płaszczyźnie utworzonej przez dwa najważniejsze składniki główne rozkład danych odpowiadających rozwojowi ekonomicznemu województwa wielkopolskiego i podlaskiego w latach 2004-2008 według danych zgromadzonych w pliku pca_zad5.mat.