Podręcznik

3. Układy trójfazowe

3.7. Układ gwiazdowy faz generatora i odbiornika

Rozpatrzmy układ połączeń gwiazdowych odbiornika i generatora (gwiazda-gwiazda) z oznaczeniami prądów i napięć przedstawionymi na rys. 3.8.

Rys. 3.8. Układ trójfazowy gwiazdowy

Punkt 0 oznacza punkt wspólny faz generatora. Punkt N jest punktem wspólnym impedancji fazowych odbiornika. Zakładamy symetrię napięć fazowych generatora i dowolne wartości impedancji odbiornika. Przyjmijmy do analizy układ czteroprzewodowy z impedancją przewodu zerowego równa Z_N. Wartość impedancji Z_N może być dowolna, w szczególności zerowa (bezpośrednie zwarcie punktów wspólnych generatora i odbiornika) lub nieskończona (układ trójprzewodowy bez przewodu zerowego). Napięcie między punktem zerowym odbiornika i generatora oznaczymy przez U_N i nazywać będziemy napięciem niezrównoważenia.

Układ napięć trójfazowych odbiornika tworzą napięcia na poszczególnych jego fazach, czyli U_A,U_B,U_C. W efekcie w obwodzie trójfazowym o połączeniu gwiazda-gwiazda wyróżnia się dwa układy napięć trójfazowych gwiazdowych: generatora E_A,E_B,E_C i odbiornika U_A,U_B,U_C.

Dla obliczenia prądów w obwodzie należy wyznaczyć układ napięć odbiornikowych. Najlepiej dokonać tego wyznaczając napięcie U_N. Zastosujemy metodę potencjałów węzłowych przy założeniu, że punkt 0 jest węzłem odniesienia a poszukiwany potencjał węzłowy jest równy U_N. Zgodnie z metodą potencjałów węzłowych otrzymuje się

$E_AY_A+E_BY_B+E_CY_C=U_N\left(Y_A+Y_B+Y_C+Y_N\right)$

(3.12)

Stąd

$U_N=\frac{E_AY_A+E_BY_B+E_CY_C}{\left(Y_A+Y_B+Y_C+Y_N\right)}$

(3.13)

gdzie wielkości oznaczone symbolem Y są admitancjami: $Y_A=\frac{1}{Z_A}$ , $Y_B=\frac{1}{Z_B}$ , $Y_C=\frac{1}{Z_C}$ , $Y_N=\frac{1}{Z_N}$ . Wyznaczenie wartości napięcia U_N pozwala obliczyć wartości napięć odbiornikowych. Z prawa napięciowego Kirchhoffa napisanego dla trzech oczek w obwodzie wynika

$U_A=E_A-U_N$

(3.14)

$U_B=E_B-U_N$

(3.15)

$U_C=E_C-U_N$

(3.16)

Przy znanych wartościach admitancji odbiornika obliczenie prądu polega na zastosowaniu prawa Ohma. Mianowicie

$I_A=Y_AU_A$

(3.17)

$I_B=Y_BU_B$

(3.18)

$I_C=Y_CU_C$

(3.19)

$I_N=Y_NU_N$

(3.20)

Suma prądów w węźle N jest równa zeru, zatem $I_A+I_B+I_C=I_N$ . Moce wydzielone w odbiorniku trójfazowym oblicza się jako sumę mocy wydzielonych w poszczególnych fazach odbiornika, czyli

$S_A=P_A+jQ_A=U_AI_A^*$

(3.21)

$S_B=P_B+jQ_B=U_BI_B^*$

(3.22)

$S_C=P_C+jQ_C=U_CI_C^*$

(3.23)

Moc wydzielona na impedancji przewodu zerowego oznacza moc strat. Jest ona równa

$S_N=P_N+jQ_N=U_NI_N^*$

(3.24)

Otrzymane wyniki można zinterpretować na wykresie wektorowym prądów i napięć w obwodzie. Rys. 3.9 przedstawia przypadek obciążenia niesymetrycznego.

rys8_9

Rys. 3.9. Wykres wektorowy prądów i napięć obwodu trójfazowego przy obciążeniu niesymetrycznym

Widoczne są dwie gwiazdy napięć fazowych: generatora o środku w punkcie 0 i odbiornika o środku w punkcie N. Dla obu gwiazd obowiązuje jeden trójkąt napięć międzyfazowych. Przesunięcie potencjału punktu N względem 0 (napięcie U_N różne od zera) jest spowodowane niesymetrią odbiornika.

W pracy układu trójfazowego gwiazdowego można wyróżnić kilka szczególnych przypadków.

Odbiornik symetryczny ( $Z_A=Z_B=Z_C=Z$ ) z dowolną wartością impedancji przewodu zerowego

W tym przypadku napięcie niezrównoważenia $U_N=0$ , a prąd przewodu zerowego $I_N=0$ . Napięcia fazowe odbiornika są równe odpowiednim napięciom generatora: $U_A=E_A,\ U_B=E_B,\ U_C=E_C$ . Przy równych wartościach impedancji fazowych wszystkie prądy fazowe są równe co do amplitudy i przesunięte w fazie o 120^o. Rys. 3.10 przedstawia wykres wektorowy prądów i napięć dla tego przypadku.

rys8_10

Rys. 3.10. Wykres wektorowy prądów i napięć w układzie trójfazowym symetrycznym

Odbiornik symetryczny jest jednym z częściej występujących przypadków w praktyce. Przykładami takich odbiorników są: silniki elektryczne trójfazowe czy piece grzejne trójfazowe (zwykle o dużej mocy).

Odbiornik niesymetryczny przy zwartym przewodzie zerowym

W tym przypadku napięcie niezrównoważenia $U_N=0$ , stąd napięcia fazowe odbiornika są równe odpowiednim napięciom fazowym generatora (identycznie jak w poprzednim przypadku), ale prąd przewodu zerowego $I_N\ne0$ . Prądy fazowe odbiornika są wówczas określane bezpośrednio na podstawie układu napięć generatorowych. Suma tych prądów w ogólnym przypadku odbiornika niesymetrycznego jest różna od zera

$I_N=I_A+I_B+I_C$

(3.25)

Wykres wektorowy prądów i napięć w układzie trójfazowym niesymetrycznym przy zwarciu bezimpedancyjnym punktów wspólnych odbiornika i generatora przedstawiony jest na rys. 3.11.

rys8_11

Rys. 3.11. Wykres wektorowy prądów i napięć w układzie trójfazowym przy Z_N=0

Zwarcie fazy odbiornika przy przerwie w przewodzie zerowym

W tym przypadku napięcie niezrównoważenia jest równe napięciu fazowemu fazy zwartej. Jeśli zwartą fazą odbiornika jest faza A (Z_A=0), wówczas U_N=E_A, a napięcia odbiornikowe poszczególnych faz są określone relacjami: $U_A=E_A-E_A=0,\mathrm{\mathrm{\ \ }}U_B=E_B-E_A,\mathrm{\mathrm{\ \ }}U_C=E_C-E_A$ . Wobec zerowej wartości napięcia odbiornikowego fazy A i zerowej impedancji tej fazy prąd fazy zwartej nie może być określony z prawa Ohma (dzielenie zera przez zero). Określa się go z prawa prądowego Kirchhoffa napisanego dla węzła N, zgodnie z którym

$I_A=-I_B-I_C$

(3.26)

Wykres wektorowy prądów i napięć w układzie trójfazowym dla przypadku zwarcia fazy A odbiornika przedstawiony jest na rys. 3.12.

rys8_13

Rys. 3.12. Wykres wektorowy prądów i napięć w układzie trójfazowym przy zwarciu fazy A odbiornika

3.1

Obliczyć prądy i napięcia poszczególnych faz odbiornika w układzie przedstawionym na rys. 3.13. Przyjąć zasilanie trójfazowe symetryczne o napięciu fazowym równym 400V. Wartości parametrów obwodu są następujące: R=40Ω, X_C=20Ω, X_L=60Ω, X₁₂=10Ω, X₂₃=20Ω, X₃₁=30Ω.

Uzupelnij opis obrazka

Rys. 3.13. Schemat układu trójfazowego do przykładu 3.1

Rozwiązanie

Ze względu na występowanie sprzężenia magnetycznego pierwszym etapem rozwiązania jest eliminacja tych sprzężeń. Układ odbiornika po likwidacji sprzężeń magnetycznych jest przedstawiony na rys. 3.14

Uzupelnij opis obrazka

Rys. 3.14. Schemat odbiornika trójfazowego po likwidacji sprzężeń magnetycznych

Przyjmijmy układ napięć fazowych generatora w następującej postaci

$E_A=400e^{j0}$

$E_B=400e^{-j120^o}$

$E_C=400e^{j120^o}$

Impedancje poszczególnych faz odbiornika z rys. 3.15 są równe

$Z_A=40+j40=40\sqrt2e^{j45^o}$

$Z_B=j60=60e^{j90^o}$

$Z_C=0$

Wobec zwarcia w fazie C odbiornika (Z_C = 0) nie zachodzi potrzeba stosowania wzoru (3.13) do wyznaczenia napięcia niezrównoważenia, gdyż U_N = E_C. W tej sytuacji poszczególne prądy fazowe są równe

$I_{A} =\frac{E_{A} -U_{N}}{Z_{A}} =\frac{400-400e^{j120^{o}}}{40\sqrt{2} e^{j45^{o}}} =12,25e^{-j75^{o}} =3,17-j11,83$

$I_B=\frac{E_B-U_N}{Z_B}=\frac{400e^{-j120^o}-400e^{j120^o}}{60e^{j90^o}}=-11,6$

$I_C=-I_A-I_B=8.38+j11,83$

Po obliczeniu prądów na podstawie schematu zastępczego bez sprzężeń magnetycznych dla wyznaczenia napięć w układzie należy powrócić do obwodu ze sprzężeniami. Rzeczywiste napięcia na fazach odbiornika wynoszą

$U_A=RI_A+jX_LI_A+jX_{12}I_B+jX_{31}I_C=482-j147$

$U_B=jX_LI_B+jX_{12}I_A+jX_{23}I_C=-118-j494$

$U_C=jX_LI_C+jX_{31}I_A+jX_{23}I_B-jX_CI_C=-118+j199$

Zauważmy, że istnieje ogromna różnica między rzeczywistym napięciem U_C w fazie C, a napięciem w tej samej fazie w obwodzie po likwidacji sprzężeń, U_C=0. Obwód po likwidacji sprzężeń jest równoważny obwodowi oryginalnemu jedynie pod względem prądowym. Napięcia na gałęziach zawierających cewki sprzężone nie odpowiadają ich odpowiednikom w obwodzie bez sprzężeń. Na rys. 3.15 przedstawiono wykres wektorowy prądów i napięć w obwodzie po likwidacji sprzężeń.

Uzupelnij opis obrazka

Rys. 3.15. Wykres wektorowy układu trójfazowego po likwidacji sprzężeń magnetycznych w przykładzie 3.1