Podręcznik Grafika komputerowa i wizualizacja
Rozdział 4. PRZEKSZTAŁCENIA GEOMETRYCZNE
4.5. Przekształcenia izometryczne
Niech X , Y będą przestrzeniami metrycznymi z metrykami dX, dY (odpowiednio).
Niech ƒ: X → Y będzie przekształceniem.
ƒ jest przekształceniem izometrycznym (izometrią) gdy dY((f(p1),f(p2)) = dX(p1,p2)
Jeśli będziemy rozpatrywać przestrzeń Euklidesową oraz przekształcenia geometryczne w tej przestrzeni, to izometria będzie takim przekształceniem, które zachowuje odległości punktów.
Bezpośrednio z definicji wynika również, że składanie izometrii jest także izometrią. Można wykazać, że w przestrzeni Euklidesowej symetrie, translacje i obroty są izometriami.
W rozdziale tym przedstawione są różne (podstawowe) przekształcenia geometryczne opisane za pomocą rachunku macierzowego. Niech M będzie macierzą rozpatrywanego przekształcenia geometrycznego. Warto zadać sobie pytanie:
Jak sprawdzić czy przekształcenie to jest izometrią ???
Pobieżna analiza zagadnienia może prowadzić do (częstego) błędu, że wystarczy obliczyć wyznacznik macierzy M i sprawdzić czy det(M) = 1 (lub -1) . Jeśli sprawdzenie przyniesie pozytywny wynik to macierz M opisuje przekształcenie izometryczne. Niestety rozumowanie takie NIE JEST POPRAWNE.
Rozpatrzmy bowiem trzy przykładowe przekształcenia i macierze je opisujące:
skalowanie translacja pochylenie
Jak łatwo obliczyć det(MSxSy) = Sx .Sy , det(MTxTy) = 1 , det(MPx) = 1 . Oczywiście skalowanie nie zawsze jest przekształceniem izometrycznym (chyba że skala=1) i analiza problemu na podstawie wyznacznika dałaby poprawny wynik. Ale z pozostałych dwóch przekształceń tylko translacja jest izometrią. W przypadku pochylenia wynik jest BŁĘDNY.
Jedyną możliwością sprawdzenia czy przekształcenie jest izometrią jest porównanie odpowiednich odległości.
Prawdziwe jest natomiast twierdzenie:
Jeśli przekształcenie opisane macierzą M jest izometrią to det(M) = 1 (lub -1) .
W praktyce stosując znane przekształcenia wykorzystujemy najczęściej twierdzenie, że składanie przekształceń izometrycznych jest izometrią. Stosując nieznaną macierz (macierz przekształcenia o nieznanych właściwościach) niestety pozostaje sprawdzić właściwości tego przekształcenia przez porównanie odległości odpowiednich punktów.