Podręcznik

1. Metoda równań różniczkowych w analizie stanów nieustalonych w obwodach

1.7. Rozwiązanie ogólne

Jak zostało pokazane w punkcie poprzednim układ równań różniczkowych opisujących obwód elektryczny może być przedstawiony w postaci macierzowego równania stanu (1.8). Jeśli założymy, że wektor stanu x(t) jest n-wymiarowy a wektor wymuszeń u(t) m-wymiarowy, to macierz stanu A ma wymiar $n\times\ n$ , a macierz B $n\times\ m$ . Równanie (1.8) nazywane jest macierzowym równaniem stanu obwodu elektrycznego. Rozwiązanie tego równania pozwala wyznaczyć przebiegi czasowe zmiennych stanu tworzących wektor x(t). Jeśli dodatkowo interesują nas inne zmienne w obwodzie, na przykład prądy i napięcia rezystorów, prądy kondensatorów czy napięcia na cewkach to należy sformułować drugie równanie, tzw. równanie odpowiedzi y(t), które uzależnia poszukiwane wielkości od zmiennych stanu i wymuszeń. Równanie to zapiszemy w postaci

$\mathbf{y}( t) =\mathbf{Cx}( t) +\mathbf{Du}( t)$

(1.9)

Równania (1.8) i (1.9) tworzą parę równań stanu

$\frac{d\mathbf{x} (t)}{dt} =\mathbf{Ax} (t)+\mathbf{Bu} (t)$

$\mathbf{y} (t)=\mathbf{Cx} (t)+\mathbf{Du} (t)$

(1.10)

która w pełni opisuje stan obwodu przy założeniu, że znane są warunki początkowe x₀=x(t₀), gdzie t₀ oznacza chwilę przełączenia. W przypadku ogólnym rozwiązanie równania stanu przyjmuje postać

$\mathbf{x}(t)=e^{\mathbf{A}\left(t-t_0\right)} \mathbf{x}\left(t_0\right)+\int_{t_0}^t e^{\mathbf{A}(t-\tau)} \mathbf{B u}(\tau) d\tau$

(1.11)

Zależność powyższa stanowi rozwiązanie ogólne, które dla konkretnych wartości funkcji wymuszających zadanych wektorem u wyznacza rozwiązanie czasowe dla zmiennych stanu. We współczesnych metodach numerycznych równania stanu stanowią punkt wyjścia w określaniu dokładnego rozwiązania równań liniowych lub przybliżonego dla zlinearyzowanych równań stanu. Są one również bardzo wygodne w zastosowaniach przybliżonych metod całkowania równań różniczkowych ze względu na to, że wszystkie równania stanu są rzędu pierwszego, dla których istnieją wyspecjalizowane metody całkowania przybliżonego.

W rozwiązaniu (1.11) równania stanu występują dwa człony, z których pierwszy jest zależny tylko od warunków początkowych niezerowych (energii zgromadzonej w cewkach i kondensatorach), a drugi stanowi odpowiedź obwodu na wymuszenia tworzące wektor u(t). Pierwszą część utożsamiać będziemy wyłącznie ze składową przejściową pochodzącą od niezerowych warunków początkowych, a drugą – z odpowiedzią obwodu na wymuszenie. Zależność (1.11) może więc być zinterpretowana w postaci

$x( t) =x_{p}( t) +x_{u}( t)$

(1.12)

W praktyce obliczenie składowej ustalonej według zależności (1.11), zwłaszcza przy wymuszeniu sinusoidalnym, jest niezwykle uciążliwe, gdyż wymaga całkowania złożonych funkcji macierzowych. W zamian można wykorzystać fakt, że stan nieustalony jest superpozycją stanu ustalonego i przejściowego, i w rozwiązaniu stanu ustalonego zastosować metodę symboliczną analizy obwodów, która pozwala wyznaczyć rozwiązanie w stanie ustalonym bez operacji całkowania (patrz rozdział 2 w module 1). W ten sposób stan nieustalony rozbity zostaje na dwa niezależne od siebie stany: stan ustalony (składowa x_u(t)), pochodzący od niezależnych wymuszeń, wyznaczany metodą symboliczną oraz stan przejściowy (składowa x_p(t)) jako odpowiedź na niezerowe warunki początkowe dla tej składowej przy źródłach napięciowych zwartych a prądowych rozwartych. Zauważmy, że przy braku wymuszenia (u=0) obwód dla składowej przejściowej opisuje się prostszym równaniem stanu

$\frac{d\mathbf{x}_{p} (t)}{dt} =\mathbf{Ax}_{p} (t)$

(1.13)

którego rozwiązanie nie wymaga całkowania funkcji i dane jest w postaci

$\mathbf{x}_{p} (t)=e^{\mathbf{A} (t-t_{0} )}\mathbf{x}_{p} (t^{+}_{0} )$

(1.14)

Jeśli dodatkowo przyjmiemy, że chwila przełączenia t₀ oznacza początek liczenia czasu (t₀=0)

to w naszym podejściu x_p(t₀⁺)=x_p(0⁺). Zauważmy, że wartości początkowe w obwodzie dotyczą chwili tuż po przełączeniu, oznaczanej zwykle symbolem 0⁺. Przy rozbiciu stanu nieustalonego na dwie składowe wymagane jest więc wyznaczenie wartości x_p(0⁺) dla składowej przejściowej. Można tego dokonać korzystając z praw komutacji, które tutaj przepiszemy w postaci

$\mathbf{x} (0^{-} )=\mathbf{x} (0^{+} )=\mathbf{x}_{u} (0^{+} )+\mathbf{x}_{p} (0^{+} )$

(1.15)

Przy znanych wartościach x ( 0 ^- ) oraz x _u ( 0 ⁺ ) z zależności (1.15) można wyznaczyć wartość x _p ( 0 ⁺ ) , jako

$\mathbf{x}_{p} (0^{+} )=\mathbf{x} (0^{-} )-\mathbf{x}_{u} (0^{+} )$

(1.16)

W tej sytuacji rozwiązanie równania stanu (10.13) można przedstawić w postaci

$\mathbf{x}_{p} (t)=e^{\mathbf{A} t}\mathbf{x}_{p} (0^{+} )$

(1.17)

w której wartość x _p ( 0 ⁺ ) jest określona zależnością (10.16). Do określenia rozwiązania w stanie przejściowym należy wyznaczyć jeszcze macierz e^A^t, w której wykładnik jest macierzą a nie skalarem. Dla obliczenia e^A^t należy w pierwszej kolejności obliczyć wartości własne macierzy stanu A.