Podręcznik
1. Metoda równań różniczkowych w analizie stanów nieustalonych w obwodach
1.8. Wartości własne i wektory własne macierzy kwadratowej
Załóżmy, że A jest macierzą kwadratową stopnia n. Macierz (s1-A) nazywana jest macierzą charakterystyczną A, przy czym 1 oznacza macierz jednostkową stopnia n, to jest macierz diagonalną 1=diag(1, 1,..., 1). Wyznacznik macierzy charakterystycznej det(s1-A) nazywamy wielomianem charakterystycznym macierzy, a równanie
|
det(s1-A) = 0 |
(1.18) |
nazywamy równaniem charakterystycznym macierzy A. Równanie to po rozwinięciu wyrażenia wyznacznika przyjmuje postać wielomianu n-tego stopnia
|
\(s^n+a_{n-1}s^{n-1}+...+a_1s+a_0=0\) |
(1.19) |
Pierwiastki tego równania s1, s2, ..., sn nazywamy wartościami własnymi macierzy A. Mogą one przyjmować wartości rzeczywiste lub zespolone, pojedyncze lub wielokrotne. Z każdą wartością własną si skojarzony jest wektor własny xi o niezerowej wartości i wymiarze n, spełniający równanie
|
\(\mathbf{A}\mathbf{x}_i=s_i\mathbf{x}_i\) |
(1.20) |
Jeśli wszystkie wartości własne są różne to na podstawie równania (1.20) można napisać n równań liniowych o postaci
|
\(\mathbf{A}\mathbf{x}_1=s_1\mathbf{x}_1\) \(\mathbf{A}\mathbf{x}_2=s_2\mathbf{x}_2\) ................... \(\mathbf{A}\mathbf{x}_n=s_n\mathbf{x}_n\) |
(1.21) |
z rozwiązania których można wyznaczyć wszystkie wektory własne xi. W Matlabie wartości i wektory własne sa wyznaczane przy użyciu funkcji eig.
Dla macierzy stanu
\(\mathbf{A}=\left[\begin{matrix}-2&-2\\-1&-3\\\end{matrix}\right]\)
wyznaczyć wartości i wektory własne
Rozwiązanie
Równanie charakterystyczne
\(det{(}s\mathbf{1}-\mathbf{A})=det{\left(s\left[\begin{matrix}1&0\\0&1\\\end{matrix}\right]-\left[\begin{matrix}-2&-2\\-1&-3\\\end{matrix}\right]\right)}=s^2+5s+4=0\)
Pierwiastki tego równania będące wartościami własnymi A są równe s1=-4 oraz s2=-1. Wektory własne spełniają relację (1.25), która w naszym przypadku przyjmie postać
\(\left[\begin{matrix}-2&-2\\-1&-3\\\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}x_{11}\\x_{21}\\\end{matrix}\right]=-4\left[\begin{matrix}x_{11}\\x_{21}\\\end{matrix}\right]\)
\(\left[\begin{matrix}-2&-2\\-1&-3\\\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}x_{12}\\x_{22}\\\end{matrix}\right]=-1\left[\begin{matrix}x_{12}\\x_{22}\\\end{matrix}\right]\)
Powyższym równaniom odpowiadają cztery równania skalarne o postaci
\(-2x_{11}-2x_{21}=-4x_{11}\)
\(-x_{11}-3x_{21}=-4x_{21}\)
\(-2x_{12}-2x_{22}=-x_{12}\)
\(-x_{12}-3x_{22}=-x_{22}\)
Biorąc pod uwagę, że dwa spośród nich są zależne, dwie zmienne można przyjąć dowolnie, na przykład x11=1 oraz x22=-1. Z rozwiązania pozostałych 2 równań otrzymuje się wektory własne o postaci
\(\mathbf{x}_1=\left[\begin{matrix}1\\1\\\end{matrix}\right],\mathrm{\ \ \ \ \ \ }\mathbf{x}_2=\left[\begin{matrix}2\\-1\\\end{matrix}\right]\)
Napisać układ równań stanu dla obwodu elektrycznego przedstawionego na rys. 1.1
Rys. 1.1. Schemat obwodu do przykładu 1.2
Rozwiązanie
Z praw Kirchhoffa napisanych dla obwodu z rys. 1.1 wynikają następujące równania
\(e=Ri_C+u_C+u_L\)
\(i=i_L-i_C\)
Biorąc pod uwagę, że
\(u_L=L\frac{di_L}{dt}\)
oraz
\(i_C=C\frac{du_C}{dt}\)
równania Kirchhoffa można przekształcić do równoważnej postaci równań różniczkowych
\(e=R(i_L-i)+L\frac{di_L}{dt}+u_C\)
\(C\frac{du_C}{dt}=i_L-i\)
które przyjmują uporządkowaną formę odpowiadającą postaci (1.5)
\(\frac{di_L}{dt}=-\frac{R}{L}i_L-\frac{1}{L}u_C+\frac{1}{L}e+\frac{R}{L}i\)
\(\frac{du_C}{dt}=\frac{1}{C}i_L-\frac{1}{C}i\)
Równania powyższe można zapisać w postaci zależności macierzowej równania stanu, w której zmiennymi stanu są prąd cewki i napięcie kondensatora.
\(\left[\begin{matrix}\frac{di_L}{dt}\\\frac{du_C}{dt}\\\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}\frac{-R}{L}&\frac{-1}{L}\\\frac{1}{C}&0\\\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}i_L\\u_C\\\end{matrix}\right]+\left[\begin{matrix}\frac{1}{L}&\frac{R}{L}\\0&\frac{-1}{C}\\\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}e\\i\\\end{matrix}\right]\)
Wektor stanu x jest równy
\({x}=\left[\begin{matrix}i_L\\u_C\\\end{matrix}\right]\)
a wektor wymuszeń
\({u}=\left[\begin{matrix}{e}\\{i}\\\end{matrix}\right]\)
Obwód liniowy zawierający dwa elementy reaktancyjne (cewka i kondensator) opisuje się więc macierzowym równaniem stanu drugiego rzędu. Macierz stanu A jest macierzą również drugiego rzędu o współczynnikach uzależnionych od wartości rezystancji, pojemności oraz indukcyjności. Macierz B zawiera dwa wiersze (liczba zmiennych stanu) oraz dwie kolumny (liczba wymuszeń w obwodzie). Przyjmując w analizie wartości liczbowe obwodu: R=2W, L=1H, C=1F otrzymuje się macierz stanu A o postaci
\({A}=\left[\begin{matrix}-2&-1\\1&0\\\end{matrix}\right]\)
Równanie charakterystyczne tej macierzy jest równe
\(det{(}s\mathbf{1}-{A})=det{\left(\left[\begin{matrix}s&0\\0&s\\\end{matrix}\right]-\left[\begin{matrix}-2&-1\\1&0\\\end{matrix}\right]\right)}=s^2+2s+1=0\)
Wartości własne (pierwiastki równania charakterystycznego) są w tym przypadku sobie równe i wynoszą s1 = s2 = -1. Dla rozważanego obwodu RLC są one położone w lewej półpłaszczyźnie zmiennej zespolonej s na ujemnej osi rzeczywistej.