Podręcznik

1. Metoda równań różniczkowych w analizie stanów nieustalonych w obwodach

1.8. Wartości własne i wektory własne macierzy kwadratowej

Załóżmy, że A jest macierzą kwadratową stopnia n. Macierz (s1-A) nazywana jest macierzą charakterystyczną A, przy czym 1 oznacza macierz jednostkową stopnia n, to jest macierz diagonalną 1=diag(1, 1,..., 1). Wyznacznik macierzy charakterystycznej det(s1-A) nazywamy wielomianem charakterystycznym macierzy, a równanie

det(s1-A) = 0

(1.18)

nazywamy równaniem charakterystycznym macierzy A. Równanie to po rozwinięciu wyrażenia wyznacznika przyjmuje postać wielomianu n-tego stopnia

$s^n+a_{n-1}s^{n-1}+...+a_1s+a_0=0$

(1.19)

Pierwiastki tego równania s₁, s₂, ..., s_n nazywamy wartościami własnymi macierzy A. Mogą one przyjmować wartości rzeczywiste lub zespolone, pojedyncze lub wielokrotne. Z każdą wartością własną si skojarzony jest wektor własny x_i o niezerowej wartości i wymiarze n, spełniający równanie

$\mathbf{A}\mathbf{x}_i=s_i\mathbf{x}_i$

(1.20)

Jeśli wszystkie wartości własne są różne to na podstawie równania (1.20) można napisać n równań liniowych o postaci

$\mathbf{A}\mathbf{x}_1=s_1\mathbf{x}_1$

$\mathbf{A}\mathbf{x}_2=s_2\mathbf{x}_2$

...................

$\mathbf{A}\mathbf{x}_n=s_n\mathbf{x}_n$

(1.21)

z rozwiązania których można wyznaczyć wszystkie wektory własne x_i. W Matlabie wartości i wektory własne sa wyznaczane przy użyciu funkcji eig.

Dla macierzy stanu

$\mathbf{A}=\left[\begin{matrix}-2&-2\\-1&-3\\\end{matrix}\right]$

wyznaczyć wartości i wektory własne

Rozwiązanie

Równanie charakterystyczne

$det{(}s\mathbf{1}-\mathbf{A})=det{\left(s\left[\begin{matrix}1&0\\0&1\\\end{matrix}\right]-\left[\begin{matrix}-2&-2\\-1&-3\\\end{matrix}\right]\right)}=s^2+5s+4=0$

Pierwiastki tego równania będące wartościami własnymi A są równe s₁=-4 oraz s₂=-1. Wektory własne spełniają relację (1.25), która w naszym przypadku przyjmie postać

$\left[\begin{matrix}-2&-2\\-1&-3\\\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}x_{11}\\x_{21}\\\end{matrix}\right]=-4\left[\begin{matrix}x_{11}\\x_{21}\\\end{matrix}\right]$

$\left[\begin{matrix}-2&-2\\-1&-3\\\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}x_{12}\\x_{22}\\\end{matrix}\right]=-1\left[\begin{matrix}x_{12}\\x_{22}\\\end{matrix}\right]$

Powyższym równaniom odpowiadają cztery równania skalarne o postaci

$-2x_{11}-2x_{21}=-4x_{11}$

$-x_{11}-3x_{21}=-4x_{21}$

$-2x_{12}-2x_{22}=-x_{12}$

$-x_{12}-3x_{22}=-x_{22}$

Biorąc pod uwagę, że dwa spośród nich są zależne, dwie zmienne można przyjąć dowolnie, na przykład x₁₁=1 oraz x₂₂=-1. Z rozwiązania pozostałych 2 równań otrzymuje się wektory własne o postaci

$\mathbf{x}_1=\left[\begin{matrix}1\\1\\\end{matrix}\right],\mathrm{\ \ \ \ \ \ }\mathbf{x}_2=\left[\begin{matrix}2\\-1\\\end{matrix}\right]$

Napisać układ równań stanu dla obwodu elektrycznego przedstawionego na rys. 1.1

Uzupelnij opis obrazka

Rys. 1.1. Schemat obwodu do przykładu 1.2

Rozwiązanie

Z praw Kirchhoffa napisanych dla obwodu z rys. 1.1 wynikają następujące równania

$e=Ri_C+u_C+u_L$

$i=i_L-i_C$

Biorąc pod uwagę, że

$u_L=L\frac{di_L}{dt}$

oraz

$i_C=C\frac{du_C}{dt}$

równania Kirchhoffa można przekształcić do równoważnej postaci równań różniczkowych

$e=R(i_L-i)+L\frac{di_L}{dt}+u_C$

$C\frac{du_C}{dt}=i_L-i$

które przyjmują uporządkowaną formę odpowiadającą postaci (1.5)

$\frac{di_L}{dt}=-\frac{R}{L}i_L-\frac{1}{L}u_C+\frac{1}{L}e+\frac{R}{L}i$

$\frac{du_C}{dt}=\frac{1}{C}i_L-\frac{1}{C}i$

Równania powyższe można zapisać w postaci zależności macierzowej równania stanu, w której zmiennymi stanu są prąd cewki i napięcie kondensatora.

$\left[\begin{matrix}\frac{di_L}{dt}\\\frac{du_C}{dt}\\\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}\frac{-R}{L}&\frac{-1}{L}\\\frac{1}{C}&0\\\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}i_L\\u_C\\\end{matrix}\right]+\left[\begin{matrix}\frac{1}{L}&\frac{R}{L}\\0&\frac{-1}{C}\\\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}e\\i\\\end{matrix}\right]$

Wektor stanu x jest równy

${x}=\left[\begin{matrix}i_L\\u_C\\\end{matrix}\right]$

a wektor wymuszeń

${u}=\left[\begin{matrix}{e}\\{i}\\\end{matrix}\right]$

Obwód liniowy zawierający dwa elementy reaktancyjne (cewka i kondensator) opisuje się więc macierzowym równaniem stanu drugiego rzędu. Macierz stanu A jest macierzą również drugiego rzędu o współczynnikach uzależnionych od wartości rezystancji, pojemności oraz indukcyjności. Macierz B zawiera dwa wiersze (liczba zmiennych stanu) oraz dwie kolumny (liczba wymuszeń w obwodzie). Przyjmując w analizie wartości liczbowe obwodu: R=2W, L=1H, C=1F otrzymuje się macierz stanu A o postaci

${A}=\left[\begin{matrix}-2&-1\\1&0\\\end{matrix}\right]$

Równanie charakterystyczne tej macierzy jest równe

$det{(}s\mathbf{1}-{A})=det{\left(\left[\begin{matrix}s&0\\0&s\\\end{matrix}\right]-\left[\begin{matrix}-2&-1\\1&0\\\end{matrix}\right]\right)}=s^2+2s+1=0$

Wartości własne (pierwiastki równania charakterystycznego) są w tym przypadku sobie równe i wynoszą s₁ = s₂ = -1. Dla rozważanego obwodu RLC są one położone w lewej półpłaszczyźnie zmiennej zespolonej s na ujemnej osi rzeczywistej.