Podręcznik

1. Metoda równań różniczkowych w analizie stanów nieustalonych w obwodach

1.10. Obliczanie stanu nieustalonego w obwodzie metodą zmiennych stanu

Jak zostało przedstawione na wstępie najwygodniejszą metodą obliczenia przebiegów czasowych w stanie nieustalonym metodą zmiennych stanu jest rozdzielenie stanu nieustalonego po przełączeniu w obwodzie na stan ustalony i przejściowy. Stan ustalony określany jest metodą symboliczną, a stan przejściowy metodą zmiennych stanu. W ten sposób unika się trudnego problemu całkowania złożonych zależności matematycznych. W efekcie rozwiązanie stanu nieustalonego w obwodzie składa się z następujących etapów.

Określenie warunków początkowych w obwodzie przed przełączeniem. W praktyce oznacza to wyznaczenie prądów cewek i napięć kondensatorów w obwodzie w stanie ustalonym (np. metodą symboliczną), przejście na postać czasową tych rozwiązań i określenie wszystkich wartości prądów cewek i napięć kondensatorów w chwili przełączenia. Wartości początkowe i_L(0^-) oraz u_C(0^-) utworzą wektor stanu x w chwili początkowej 0^-.
Określenie stanu ustalonego w obwodzie po przełączeniu (np. metodą symboliczną). W wyniku otrzymuje się wartości ustalone prądów cewek i_Lu(t) i napięć kondensatorów u_Cu(t). Wartości te tworzą wektor x_u(t) w stanie ustalonym.
Określenie stanu przejściowego w obwodzie po przełączeniu. Obwód dla stanu przejściowego powstaje po odrzuceniu wszystkich źródeł wymuszających niezależnych (zwarcie źródeł napięcia e(t) oraz rozwarcie źródeł prądowych i(t)), od których odpowiedź w stanie ustalonym została już obliczona. Obwód taki opisuje się równaniem stanu o postaci dx_p/ dt=Ax_p którego rozwiązanie określone jest zależnością (1.17) przy warunkach początkowych określonych dla składowej przejściowej zmiennych stanu. Oznacza to konieczność określenia dla każdej cewki i kondensatora wielkości i_Lp(0⁺) oraz u_Cp(0⁺). Korzystając z równania (1.16) otrzymuje się

$u_{Cp}(0^+)=u_C(0^-)-u_{Cu}(0^+)$

$i_{Lp}(0^+)=i_L(0^-)-i_{Lu}(0^+)$

(1.31)

Po określeniu warunków początkowych dla składowej przejściowej można z zależności (1.17) wyznaczyć pełne rozwiązanie obwodu w stanie przejściowym.

Rozwiązanie całkowite obwodu składa się z części ustalonej i przejściowej. Można je zapisać w postaci

$u_C(t)=u_{Cu}(t)+u_{Cp}(t)$

$i_L(t)=i_{Lu}(t)+i_{Lp}(t)$

(1.32)

co odpowiada zapisowi macierzowemu dla zmiennych stanu x(t)=x_u(t)+x_p(t).

Rozpatrzmy stan nieustalony w obwodzie RLC przedstawionym na rys. 1.2a po przełączeniu. Dane elementów: R=5Ω, L=2H, C=0,5F, e(t)=6V (napięcie stałe), uC(0)=0. Zakładamy, że wyłącznik przełączany jest w sposób bezprzerwowy, spełniając zasadę ciągłości prądu cewki.

Uzupelnij opis obrazka

Rys. 1.2 Obwód RLC do przykładu 1.4: a) obwód wyjściowy, b) postać obwodu do wyznaczenia stanu przejściowego

Rozwiązanie

Warunki początkowe w postaci prądu cewki i napięcia na kondensatorze oblicza się na podstawie stanu ustalonego przed przełączeniem. Przy stałym wymuszeniu w obwodzie (ω=0) cewka stanowi zwarcie a kondensator przerwę. Oznacza to, że prąd płynący w obwodzie jest równy i_L(t)=6/10=0,6A. Stąd i_L(0^-)=0,6. Napięcie na kondensatorze (przed przełączeniem pozostaje poza obwodem) jest zerowe, stąd u_C(0^-)=0.
Po przełączeniu powstaje obwód złożony z szeregowego połączenia elementów R, L i C. W stanie ustalonym wobec ω=0 kondensator stanowi przerwę i prąd ustalony w takim obwodzie nie płynie, i_Lu(t)=0 a napięcie kondensatora u_Cu(t)=6. Oznacza to, że warunki początkowe dla składowej ustalonej dane są w postaci: i_Lu(0⁺)=0 oraz u_Cu(0⁺)=6.
Wyznaczenie stanu przejściowego rozpoczniemy od warunków początkowych dla tego stanu. Warunki początkowe dla stanu przejściowego określone są w postaci (patrz równanie (1.31))

$i_{Lp}(0^+)=i_L(0^-)-i_{Lu}(0^+)=0,6-0=0,6$

$u_{Cp}(0^+)=u_C(0^-)-u_{Cu}(0^+)=0-6=-6$

Stąd warunki początkowe dla stanu przejściowego można zapisać w postaci wektorowej

${x}_p(0^+)=\left[\begin{matrix}i_{Lp}(0^+)\\u_{Cp}(0^+)\\\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}0,6\\-6\\\end{matrix}\right]$

Równania stanu przejściowego dotyczą obwodu bez wymuszeń zewnętrznych (źródło napięciowe zwarte) przedstawionego na rys. 1.2b. Z prawa napięciowego Kirchhoffa po uwzględnieniu równań elementów obwodu otrzymuje się następujące równania różniczkowe

$L\frac{di_{Lp}}{dt}+Ri_{Lp}+u_{Cp}=0$

$i_{Lp}=C\frac{du_{Cp}}{dt}$

Po uporządkowaniu tych równań otrzymuje się równanie macierzowe stanu w postaci

$\left[\begin{matrix}\frac{di_{Lp}}{dt}\\\frac{du_{Cp}}{dt}\\\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}-\frac{R}{L}&-\frac{1}{L}\\\frac{1}{C}&0\\\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}i_{Lp}\\u_{Cp}\\\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}-2,5&-0,5\\2&0\\\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}i_{Lp}\\u_{Cp}\\\end{matrix}\right]$

z którego wynika, że macierz stanu A jest równa

${A}=\left[\begin{matrix}-2,5&-0,5\\2&0\\\end{matrix}\right]$

Równanie charakterystyczne dla macierzy A dane jest w postaci

$det{(s{1}-A})=s^2+2,5s+1=0$

Wartości własne są pierwiastkami równania charakterystycznego i równają się s₁=-2, s₂=-0,5.
Macierz e^A^t wyznaczymy stosując metodę Sylvestera. Zgodnie z tą metodą

$e^{{A}t}=e^{s_1t}\frac{\left(s_2{1}-{A}\right)}{\left(s_2-s_1\right)}+e^{s_2t}\frac{\left(s_1\mathbf{1}-{A}\right)}{\left(s_1-s_2\right)}=e^{-2t}\frac{\left[\begin{matrix}2&0,5\\-2&-0,5\\\end{matrix}\right]}{3/2}+e^{-0,5t}\frac{\left[\begin{matrix}0.5&0,5\\-2&-2\\\end{matrix}\right]}{-3/2}$

Po wykonaniu odpowiednich operacji matematycznych otrzymuje się

$e^{{A}t}=\left[\begin{matrix}\left(1,33e^{-2t}-0,33e^{-0,5t}\right)&\left(0,33e^{-2t}-0,33e^{-0,5t}\right)\\\left(-1,33e^{-2t}+1,33e^{-0,5t}\right)&\left(-0,33e^{-2t}+1,33e^{-0,5t}\right)\\\end{matrix}\right]$

Rozwiązanie określające wektor stanu w stanie przejściowym oblicza się z zależności

${x}_p(t)=e^{{A}t}{x}_p(0^+)=\left[\begin{matrix}-1,2e^{-2t}+1,8e^{-0,5t}\\1,2e^{-2t}-7,2e^{-0,5t}\\\end{matrix}\right]$

Całkowite rozwiązanie obwodu w stanie nieustalonym można więc przedstawić w postaci

$i_L(t)=i_{Lu}(t)+i_{Lp}(t)=-1,2e^{-2t}+1,8e^{-0,5t}$

$u_C(t)=u_{Cu}(t)+u_{Cp}(t)=6+1,2e^{-2t}-7,2e^{-0,5t}$