Podręcznik Grafika komputerowa i wizualizacja

5.1. Rodzaje rzutowania i ich podstawowe właściwości

Rzutowanie jest operacją pozwalającą przedstawić trójwymiarowy świat (trójwymiarowe obiekty) na dwuwymiarowej powierzchni. Obraz powstaje na powierzchni rzutni dzięki promieniom rzutującym (prostym rzutującym). Obrazem rzutowanego punktu przestrzeni jest punkt będący przecięciem rzutni i promienia rzutującego, przechodzącego przez rzutowany punkt.

Powszechna definicja rzutu jako przekształcenia na płaszczyznę jest pewnym uproszczeniem gdyż rozpatruje się też np. rzuty na powierzchnię walca lub na wycinek sfery. Jednak rzeczywiście z rzutowaniem na płaszczyznę mamy najczęściej do czynienia (grafika komputerowa, fotografia).

Na kształt rzutu danego obiektu mają wpływ: położenie rzutni i kierunki promieni rzutujących. Wyróżnia się dwa podstawowe i najczęściej stosowane przypadki rzutowania na płaszczyznę:

Rys.5.1 Powstawanie rzutu a) równoległego, b) perspektywicznego.

 Z rzutowaniem równoległym mamy najczęściej do czynienia w różnego typu zastosowaniach technicznych np. rzuty prostokątne na 3 lub 6 płaszczyzn – tradycyjny rysunek techniczny. Rzutowanie równoległe nie pozwala przedstawić obiektu zgodnie z naszym wyobrażeniem – zgodnie z widzeniem człowieka. Pozwala natomiast zdefiniować i wyznaczyć wymiary przedmiotu. Rzutowanie równoległe zachowuje równoległość prostych oraz proporcje długości odcinków równoległych.

 Rzutowanie perspektywiczne pozwala uzyskać obraz zbliżony do postrzeganego przez człowieka. Trzeba jednak pamiętać o tym, że obraz na siatkówce oka powstaje w wyniku rzutu środkowego na wycinek sfery (w przybliżeniu). Zatem wszystkie promienie rzutujące będą w tym przypadku prostopadle padały na rzutnię.

O rzutowaniu równoległym mówimy, że jest prostokątne wtedy, gdy promienie rzutujące są prostopadłe do płaszczyzny rzutni. W przeciwnym przypadku rzutowanie równoległe jest ukośne.

Rzutowanie prostokątne jest powszechnie stosowane w mechanice. Podstawową zaletą takiego rozwiązania jest fakt, że wymiary rysunku odpowiadają wymiarom obiektu to znaczy długość odcinka równoległego do płaszczyzny rzutni jest równa długości rzutu tego odcinka. Aby na podstawie rzutu można było określić wymiary przedmiotu stosuje się zestaw trzech rzutów danego przedmiotu na rzutnie, które są wzajemnie prostopadłe. Ze względu na konieczność jednoznacznego przedstawienia widoków obiektu czasami (w przypadku bardzo złożonych elementów) stosuje się sześć rzutów. Tzn. są to rzuty na trzy płaszczyzny wzajemnie prostopadłe, ale dla każdej z nich wykonuje się po dwa rzuty dla wzajemnie przeciwnych kierunków.

Rys.5.2. Rzuty równoległe sześcianu:
a) rzut prostokątny (żadna z krawędzi sześcianu nie jest równoległa do rzutni), b) rzut ukośny.

 Można wykazać, że rzutowanie ukośne pozwala praktycznie dowolnie zmieniać proporcje wymiarów obiektu (rys. 5.2). To znaczy jeśli rozpatrzymy wzajemnie prostopadłe odcinki o takiej samej długości to można uzyskać dowolne proporcje ich rzutów dobierając odpowiednio kierunek rzutowania i położenie płaszczyzny rzutni. Z tego względu, w praktycznych zastosowaniach rzutowania równoległego ukośnego w mechanice najczęściej definiuje się rzut przez podanie zmian proporcji odległości wzdłuż każdej z osi układu współrzędnych, a nie przez podanie położenia rzutni i promieni rzutujących. Na przykład perspektywa kawalerska, perspektywa gabinetowa i perspektywa wojskowa są rodzajami rzutowania równoległego ukośnego zdefiniowanymi na tej zasadzie.

 Uzyskanie dowolnej zmiany proporcji wymiarów oznacza, że możliwe jest uzyskanie rzutu sześcianu jak na rysunku 5.2.b). Jest to całkowicie poprawny rzut równoległy ukośny sześcianu. Tylko że całkowicie niezgodny z naszym sposobem widzenia.

W każdym rzucie perspektywicznym istnieje przynajmniej jedna rodzina prostych równoległych i nie równoległych do rzutni, taka, że rzuty tych prostych przecinają się w jednym punkcie zwanym punktem zbiegu. W zależności od położenia rzutni względem obiektu mówimy o rzutowaniu perspektywicznym jednozbiegowym, dwuzbiegowym lub trójzbiegowym (rys.5.3.).

 Skrót perspektywiczny jest efektem wizualnym polegającym na tym, że wielkość rzutu perspektywicznego jest odwrotnie proporcjonalna do odległości obiektu od środka rzutowania. Z tego względu nie ma praktycznie możliwości uzyskania informacji o wymiarach obiektu na podstawie jego rzutu perspektywicznego.

Z drugiej strony efekty wizualne uzyskane w rzutowaniu perspektywicznym są zbliżone do wrażeń wzrokowych oraz do efektów fotograficznych. Warto jednak pamiętać, że o ile w fotografii mamy rzeczywiście do czynienia z rzutem na płaszczyznę, to obraz w oku powstaje w wyniku rzutowania na wycinek sfery.