Podręcznik Grafika komputerowa i wizualizacja

5.3. Opis macierzowy rzutowania

Rzutowanie może być opisane macierzowo, analogicznie do opisu operacji geometrycznych zaprezentowanych wcześniej.

Rozpatrzmy rzutowanie perspektywiczne w przestrzeni obserwatora. Współrzędne opisują położenie w lewoskrętnym układzie współrzędnych obserwatora 0XYZ. Niech obserwator (środek rzutowania) znajduje się w początku układu współrzędnych, a rzut jest dokonywany na płaszczyznę z = d   dla d>0  (rys.5.5). Rzutem punktu P o współrzędnych (x_p,y_p,z_p) będzie punkt P' o współrzędnych  (x'_p,y'_p,z'_p) , który zgodnie z definicją rzutu perspektywicznego będzie należał do płaszczyzny rzutni i jednocześnie do prostej przechodzącej przez środek rzutowania i punkt P .

Rys.5.5. Rzut perspektywiczny. Rzutnia o równaniu  z = d , 
środek rzutowania (niebieski punkt) o współrzędnych (0,0,0)  ,  d>0 .

Uwzględniając proste zależności geometryczne można pokazać, że macierz opisująca tak zdefiniowane rzutowanie perspektywiczne ma postać:

Warto zwrócić uwagę na to, że macierz ta definiuje operację wymagającą normalizacji, bowiem zależność między współrzędnymi punktu i jego rzutu ma postać:

         po normalizacji 

Rzutowanie perspektywiczne można również prosto zdefiniować w nieco inny sposób (rys. 5.6.). Niech w analogicznym układzie współrzędnych obserwator (środek rzutowania) znajduje się w punkcie (0,0,-d)  dla  d>0 ,  a płaszczyzna rzutni ma równanie  z = 0    (rys.5.6).   Macierz rzutowania będzie wtedy miała postać:

 

 Zaś zależność między współrzędnymi punktu i jego rzutu ma teraz postać.:

         po normalizacji 

 Oba warianty definicji rzutowania perspektywicznego mogą być stosowane zamiennie zależnie od sytuacji.

 Jeżeli w drugim przypadku przyjmiemy, że  d  → to promienie rzutujące zamiast pęku prostych utworzą proste równoległe i uzyskamy rzutowanie równoległe prostokątne (rys.5.7). 

Rys.5.7. Rzut równoległy. Rzutnia o równaniu  z = 0 .

O rzutowaniu równoległym można powiedzieć, że jest szczególnym przypadkiem rzutowania perspektywicznego, gdy środek rzutowania znajduje się w nieskończoności. Macierz opisująca ten przypadek będzie miała postać:

 

 a zależność między współrzędnymi:

      g    czyli

 Operacja ta nie wymaga normalizacji.