Podręcznik

Jako pierwszy przykład zastosowania metody klasycznej rozpatrzymy stan nieustalony w obwodzie szeregowym RL przy zerowych warunkach początkowych i załączeniu napięcia stałego jak to zostało w symboliczny sposób przedstawione na rys. 2.1. Zerowe warunki początkowe obwodu oznaczają, że $i_L(0^-)=0$.

Rys. 2.1. Obwód szeregowy RL przy załączeniu napięcia stałego

Po przełączeniu w obwodzie RL powstaje stan nieustalony, który po określonym czasie prowadzi do powstania nowego stanu ustalonego wynikającego z nowego układu połączeń elementów. Stan nieustalony jest superpozycją stanu ustalonego i przejściowego.

Stan ustalony w obwodzie RL przy wymuszeniu stałym oznacza, że cewka stanowi zwarcie (rys. 2.2a). 
 

Rys. 2.2. Postać obwodu RL do obliczenia składowej a) ustalonej i b) przejściowej

 Na podstawie napięciowego prawa Kirchhoffa prąd ustalony tej cewki jest równy

Przechodząc do obliczenia stanu przejściowego należy wyeliminować zewnętrzne źródło zasilające. Ponieważ jest to źródło napięciowe, należy go zewrzeć. Schemat obwodu dla stanu przejściowego po zwarciu źródła zasilającego, dla którego odpowiedź została właśnie obliczona, ma postać przedstawioną na rys. 2.2b. Stosując prawo napięciowe Kirchhoffa dla tego obwodu przy uwzględnieniu 

otrzymuje się równanie różniczkowe jednorodne (brak wymuszenia) dla składowej przejściowej o postaci

Równanie charakterystyczne odpowiadające powyższemu równaniu różniczkowemu przyjmuje postać

Równanie to posiada tylko jeden pierwiastek 

Wykorzystując wzór (10.41) rozwiązanie stanu przejściowego dla prądu w obwodzie RL zapiszemy w postaci

w której współczynnik A_1 jest nieznaną stałą całkowania. Rozwiązanie całkowite obwodu jest sumą składowej ustalonej i przejściowej. W związku z powyższym prąd cewki określony jest następującym wzorem 

Z prawa komutacji dla cewki wynika, że $i_L(0^-)=i_L(0^+)$, stąd wobec $i_L(0^-)=0$ otrzymuje się

oraz 

Stąd rozwiązanie określające przebieg prądu cewki w stanie nieustalonym przyjmuje postać

Wprowadzając pojęcie stałej czasowej $\tau$ obwodu RL 

rozwiązanie na prąd cewki w stanie nieustalonym można zapisać w postaci

Jednostką stałej czasowej jest sekunda (jednostką indukcyjności jest 1H = 1Ws a jednostką rezystancji 1W). Łatwo wykazać, że po upływie trzech stałych czasowych ($t=3\tau$) prąd cewki uzyskuje prawie 95% swojej wartości ustalonej a po 5 stałych czasowych aż 99,3%. Oznacza to, że praktycznie po 5 stałych czasowych stan nieustalony w obwodzie zanika przechodząc w stan ustalony.

Na rys. 2.3 przedstawiono przebiegi prądu cewki dla różnych wartości stałej czasowej.

Rys. 2.3. Przebieg prądu cewki w stanie nieustalonym

 Jest to przebieg typu wykładniczego, w którym stan przejściowy trwa tym dłużej im dłuższa jest stała czasowa. Praktycznie po 5 stałych czasowych stan przejściowy w obwodzie zanika przechodząc w stan ustalony.
 Stałą czasową obwodu RL można wyznaczyć na podstawie zarejestrowanego przebiegu nieustalonego bez znajomości wartości rezystancji i indukcyjności. Zauważmy, że dla $t=\tau$ prąd cewki przyjmuje wartość

Oznacza to, że wartość prądu $i_L(t)\left|t=\tau\right.=0,632\frac{E}{R}$ wyznacza na osi odciętych wartość stałej czasowej. Sposób wyznaczania stałej czasowej zilustrowany jest na rys. 2.4.

Rys. 2.4. Ilustracja sposobu wyznaczania stałej czasowej na podstawie zarejestrowanego przebiegu prądu cewki

Wyznaczenie rozwiązania na prąd w stanie nieustalonym w obwodzie RL pozwala na określenie przebiegu czasowego pozostałych wielkości w obwodzie. Korzystając z zależności definicyjnej cewki $u_L=L\frac{di_L}{dt}$ otrzymuje się

Przebieg napięcia na cewce w stanie nieustalonym w obwodzie szeregowym RL przedstawiono na rys. 2.5. 

Rys. 2.5. Przebieg napięcia na cewce w stanie nieustalonym w obwodzie szeregowym RL

Napięcie na rezystorze R, jak wynika z prawa Ohma, jest proporcjonalne do prądu 

i ma kształt identyczny z przebiegiem prądu w obwodzie przedstawionym na rys. 2.3.