Podręcznik Grafika komputerowa i wizualizacja

Rozdział 7. MODELOWANIE KRZYWYCH I POWIERZCHNI

7.5. Krzywe B-sklejane

Krzywa B-sklejana jest definiowana jako kombinacja liniowa funkcji sklejanych o współczynnikach odpowiadających punktom kontrolnym (punktom de Boora). Funkcje sklejane są przedziałami stopnia m, co nie jest związane z liczbą punktów tak jak w przypadku krzywych Béziera. Oznacza to rzeczywiście uniezależnienie stopnia wielomianu opisującego krzywą (oczywiście przedziałami w tym przypadku) od liczby punktów kontrolnych.

Krzywa B-sklejana opisana jest jako:

punkty kontrolne P_i nazywane są punktami de Boora.

Funkcje sklejane określa się rekurencyjnie:

Funkcje sklejane są przedziałami wielomianami i mają następujące właściwości:

Rys.7.9. Przykłady krzywych B-sklejanych. Zmiana położenia punktów kontrolnych P₀ i P₁ powoduje
lokalne (tylko !) zmiany kształtu krzywej. Nie wpływa to na kształt pozostałej części krzywej.

Zakłada się, że węzły t_i są uporządkowane niemalejąco tzn. t_i ≤ t_i+1 co oznacza, że mogą istnieć równe węzły (wielokrotne). Przyjmuje się wtedy, że 0/0=0. Takie założenia generalnie definiują krzywą dla węzłów które nie musza być równoodległe. Jednocześnie możliwość dodania (wstawienie) węzła pomiędzy dwa już istniejące, lub zwielokrotnienia węzła daje dodatkowe możliwości wpływania na kształt krzywej. Czasami jednak rozpatruje się krzywe o węzłach równoodległych.

Istnieje algorytm de Boora i Coxa wyznaczania punktów krzywej B-sklejanej (analogiczny do algorytmu de Casteljau dla krzywej Béziera) [3]. Jeśli wyznaczanych jest wiele punktów krzywej to tańszym rozwiązaniem będzie obliczenie współczynników postaci naturalnej wielomianu w kolejnych podprzedziałach i skorzystanie z algorytmu Hornera.

Właściwości krzywych B-sklejanych

Pierwsza właściwość – zerowanie funkcji sklejanej poza przedziałem jest bardzo istotna dla modelowania kształtu. Oznacza bowiem lokalność wpływu parametrów (rys.7.9). Rozpatrzmy podprzedział dla niezerowe są tylko funkcje o indeksach i=j-m, j-m+1, j-m+2, j . W takim przedziale wartość Q(t) , a tym samym kształt krzywej, zależy tylko od punktów kontrolnych P_j-m , P_j-m+1 , P_j-m+2 , … P_j . Z drugiej strony punkt kontrolny P_i wpływa jedynie na fragment krzywej odpowiadający .

Indeks j zmienia się od 0 do m , natomiast i od 0 do n . Cały zakres takiej krzywej definiują więc węzły: . Ale danych jest n+1 punktów kontrolnych (de Boora). Punkty P₀ , P₁, P₂ , … P_m definiują krzywą dla , natomiast punkty P_n-m, P_n-m+1, P_n-m+2,…P_n definiują krzywą dla . Węzły oraz nazywane są węzłami brzegowymi. Jeśli krzywa jest otwarta, to znaczy , i oraz to krzywa przechodzi przez końcowe punkty kontrolne, czyli .

Podobnie jak było w przypadku krzywych Béziera, styczne do krzywej w punktach końcowych mają kierunek końcowych odcinków łamanej kontrolnej. Dla krzywej zamkniętej przyjmuje się, że punkty de Boora i węzły kontrolne są cykliczne (P_n=P₀).

Jest spełniony warunek wypukłej skorupki (krzywa zawiera się całkowicie w wypukłej skorupce zbudowanej na punktach kontrolnych), ale tylko w sąsiedztwie punktów !

Wymierne krzywe B-sklejane (NURBS)

Wymierne krzywe B-sklejane (ang. Non-Uniform Rational B-Splines) to rozwiązanie, które łączy zalety krzywych Béziera i krzywych B-sklejanych. Krzywe te opisane są w sposób następujący:

Punkty P_i (de Boora ) są punktami kontrolnymi, w_i są wagami tych punktów.

Krzywe wymierne dają możliwość wykreślenia dowolnej krzywej stożkowej.
Konstrukcja wykorzystująca funkcje sklejane pozwala opisywać krzywą wielomianami, których stopień jest niezależny od liczby punktów kontrolnych.
Wpływ punktu kontrolnego na kształt krzywej istnieje tylko w zakresie lokalnym.
Dodatkowo wagi każdego punktu kontrolnego pozwalają na precyzyjne zmiany kształtu krzywej (też lokalnie).
Krzywe wymierne są niezmiennicze względem przekształceń obrotu, skalowania i przesunięcia oraz przekształcenia perspektywicznego punktów kontrolnych.