Podręcznik Grafika komputerowa i wizualizacja
Rozdział 7. MODELOWANIE KRZYWYCH I POWIERZCHNI
7.3. Parametryzacja krzywych i powierzchni
Wiele krzywych
jest opisanych równaniem uwikłanym postaci 
. Taka reprezentacja nie daje możliwości kontroli konkretnego
fragmentu krzywej.
Wygodnym sposobem opisu krzywych i powierzchni jest opis parametryczny.
Parametryczna
reprezentacja krzywych: 
.
Powierzchni: 
.
Za pomocą doboru wartości parametru można zdefiniować dowolny fragment krzywej,
a kierunek wzrostu parametru jednoznacznie określa np. kierunki stycznych
połączonych fragmentów.
Rys.7.2. Czterolistna koniczyna. Różne reprezentacje parametryczne krzywej .
Przykładowa czterolistna koniczyna jest narysowana na rysunku 7.2 a w postaci rozety czterolistnej o reprezentacji parametrycznej:
dla 
Na rysunku 7.2 b w postaci hipotrochoidy:
dla 
Często stosowany jest opis kształtu powierzchni obiektów wykorzystujący równanie drugiego stopnia. Powierzchnie drugiego stopnia to elipsoida, walec (cylinder), stożek, paraboloida eliptyczna, paraboloida hiperboliczna, hiperboloida jednopowłokowa, hiperbolida dwupowłokowa. Ich równanie uwikłane ma postać:
gdzie Q jest macierzą współczynników postaci 
oraz 
Przy czym dla każdej powierzchni drugiego stopnia jest znana reprezentacja
parametryczna. Przykładowa hiperboloida jednopowłokowa, zaprezentowana na
rysunku: 7.3, o równaniu uwikłanym postaci 
, została
przedstawiona parametrycznie jako:
dla 
Rys.7.3. Hiperbola jednopowłokowa.
Zalety stosowania powierzchni drugiego stopnia:
- Możliwość łatwego wyznaczenia wektora normalnego
. - Możliwość szybkiego wyznaczenia przecięcia powierzchni z prostą – efektywność stosowania w algorytmach związanych z metodą śledzenia promieni.
- Możliwość szybkiego wyznaczenia z na podstawie x i y – przydatne w algorytmach eliminacji elementów zasłoniętych.
- Powierzchnia drugiego stopnia jest praktycznie użyteczna w wielu aplikacjach technicznych (wystarczająco skomplikowane kształty).