Podręcznik
3. Metoda operatorowa Laplace’a
3.3. Liniowość przekształcenia
Jeśli współczynniki a1 i a2 są dowolnymi stałymi to
|
\(L\left[a_1f_1(t)+a_2f_2(t)\right]=a_1F_1(s)+a_2F_2(s)\) |
(3.4) |
|
\(L^{-1}\left[a_1F_1(s)+a_2F_2(s)\right]=a_1f_1(t)+a_2f_2(t)\) |
(3.5) |
gdzie symbole \(L\) i \(L^{-1}\) oznaczają odpowiednio transformaty: prostą i odwrotną Laplace’a. Z własności liniowości przekształcenia wynika, że przekształcenie Laplace’a spełnia zasadę superpozycji.
Dla zilustrowania użyteczności twierdzenia o liniowości przekształcenia Laplace’a zastosujemy je do obliczenia transformaty funkcji cos(ωt). Korzystając z definicji funkcji cosinusoidalnej otrzymuje się
\(L\left\{cos{(}\omega t)\right\}=L\left\{\frac{e^{j\omega t}+e^{-j\omega t}}{2}\right\}\)
Skorzystamy tutaj z wyprowadzonego wcześniej wzoru na transformatę funkcji wykładniczej. Podstawiając do odpowiedniego wzoru i stosując zasadę superpozycji otrzymuje się
\(L\left\{cos{(}\omega t)\right\}=\frac{1}{2}L\left\{e^{j\omega t}\right\}+\frac{1}{2}L\left\{e^{-j\omega t}\right\}=\frac{1}{2}\left[\frac{1}{s-j\omega}+\frac{1}{s+j\omega}\right]=\frac{s}{s^2+\omega^2}\)
\(L\left\{cos{(}\omega t)\right\}=L\left\{\frac{e^{j\omega t}+e^{-j\omega t}}{2}\right\}\)
Skorzystamy tutaj z wyprowadzonego wcześniej wzoru na transformatę funkcji wykładniczej. Podstawiając do odpowiedniego wzoru i stosując zasadę superpozycji otrzymuje się
\(L\left\{cos{(}\omega t)\right\}=\frac{1}{2}L\left\{e^{j\omega t}\right\}+\frac{1}{2}L\left\{e^{-j\omega t}\right\}=\frac{1}{2}\left[\frac{1}{s-j\omega}+\frac{1}{s+j\omega}\right]=\frac{s}{s^2+\omega^2}\)