Podręcznik

3. Metoda operatorowa Laplace’a

3.3. Liniowość przekształcenia

Jeśli współczynniki a1 i a2 są dowolnymi stałymi to

$L\left[a_1f_1(t)+a_2f_2(t)\right]=a_1F_1(s)+a_2F_2(s)$

(3.4)

$L^{-1}\left[a_1F_1(s)+a_2F_2(s)\right]=a_1f_1(t)+a_2f_2(t)$

(3.5)

gdzie symbole $L$ i $L^{-1}$ oznaczają odpowiednio transformaty: prostą i odwrotną Laplace’a. Z własności liniowości przekształcenia wynika, że przekształcenie Laplace’a spełnia zasadę superpozycji.

Dla zilustrowania użyteczności twierdzenia o liniowości przekształcenia Laplace’a zastosujemy je do obliczenia transformaty funkcji cos(ωt). Korzystając z definicji funkcji cosinusoidalnej otrzymuje się

$L\left\{cos{(}\omega t)\right\}=L\left\{\frac{e^{j\omega t}+e^{-j\omega t}}{2}\right\}$

Skorzystamy tutaj z wyprowadzonego wcześniej wzoru na transformatę funkcji wykładniczej. Podstawiając do odpowiedniego wzoru i stosując zasadę superpozycji otrzymuje się

$L\left\{cos{(}\omega t)\right\}=\frac{1}{2}L\left\{e^{j\omega t}\right\}+\frac{1}{2}L\left\{e^{-j\omega t}\right\}=\frac{1}{2}\left[\frac{1}{s-j\omega}+\frac{1}{s+j\omega}\right]=\frac{s}{s^2+\omega^2}$