Podręcznik
3. Metoda operatorowa Laplace’a
3.6. Przesunięcie w dziedzinie częstotliwości
Rozważmy przesunięcie argumentu funkcji operatorowej Laplace’a. Oznacza to, że zamiast transformaty F(s) bierzemy pod uwagę funkcję F(s-a). Twierdzenie o przesunięciu argumentu zmiennej zespolonej s mówi, że spełniona jest wówczas zależność
|
|
(3.8) |
Przesunięcie argumentu zespolonego s transformaty o wartość a odpowiada w dziedzinie czasu pomnożeniu funkcji oryginału przez funkcję wykładniczą eat. Korzyści płynące z powyższej własności zademonstrujemy na przykładzie wyznaczania transformaty odwrotnej Laplace’a funkcji o przesuniętym argumencie s.
Należy wyznaczyć odwrotną transformatę Laplace’a funkcji F(s) zadanej w postaci 
W rozwiązaniu problemu wykorzystamy ostatnią własność przekształcenia w odniesieniu do funkcji rozważanej w przykładzie 3.3. Zgodnie z wynikami uzyskanymi w tym przykładzie mamy
przy wartości ω = 3. Wprowadzając przesunięcie o wartość a = 2 w dziedzinie zmiennej zespolonej s uzyskuje się zadaną w tym przykładzie funkcję operatorową Laplace’a. Oznacza to, że jej transformata odwrotna odpowiada funkcji 
. Stąd transformata odwrotna funkcji zadanej w przykładzie wynosi
Twierdzenie o przesunięciu pozwoliło uzyskać transformatę odwrotną Laplace’a bez konieczności wykonywania operacji całkowania zadanej w definicji przekształcenia odwrotnego.
W rozwiązaniu problemu wykorzystamy ostatnią własność przekształcenia w odniesieniu do funkcji rozważanej w przykładzie 3.3. Zgodnie z wynikami uzyskanymi w tym przykładzie mamy
przy wartości ω = 3. Wprowadzając przesunięcie o wartość a = 2 w dziedzinie zmiennej zespolonej s uzyskuje się zadaną w tym przykładzie funkcję operatorową Laplace’a. Oznacza to, że jej transformata odwrotna odpowiada funkcji . Stąd transformata odwrotna funkcji zadanej w przykładzie wynosiTwierdzenie o przesunięciu pozwoliło uzyskać transformatę odwrotną Laplace’a bez konieczności wykonywania operacji całkowania zadanej w definicji przekształcenia odwrotnego.