Podręcznik
3. Metoda operatorowa Laplace’a
3.9. Przykłady transformat Laplace’a
Obliczanie transformat Laplace’a polega na zastosowaniu wzoru (3.1) przy zadanej funkcji oryginału i przeprowadzeniu działań w nim określonych (całkowanie funkcji i wyznaczenie wartości na granicach całkowania). Przykłady wyznaczania transformaty Laplace’a dla funkcji impulsowej Diraca, wartości stałej, funkcji wykładniczej i cosinusoidalnej zostały zaprezentowane na początku tej lekcji.
Obliczanie transformat dla większości funkcji, zwłaszcza bardziej złożonych, nie jest procesem łatwym i dlatego w praktyce inżynierskiej najczęściej posługujemy się tablicami gotowych transformat Laplace’a, których źródło znaleźć można w wielu poradnikach matematycznych jak również podręcznikach poświęconych rachunkowi operatorowemu. W tablicy 3.1 zestawiono wybrane przykłady transformat Laplace’a szczególnie często wykorzystywanych przy rozwiązywaniu stanów nieustalonych w obwodach RLC. W dalszej części tej lekcji będą one wykorzystane do wyznaczania transformat odwrotnych Laplace’a (funkcji czasu odpowiadających transformatom).
Tablica 3.1 Tablica wybranych transformat Laplace’a
| f(t) | F(s) |
| \(\delta(t)\) | 1 |
| 1(t) | \(\frac{1}{s}\) |
| t | \(\frac{1}{s^2}\) |
| \(t^n\mathrm{,\ \ \ \ \ }n\in N\) | \(\frac{n!}{s^{n+1}}\) |
| \(e^{-\alpha t}\) | \(\frac{1}{s+\alpha}\) |
| \(sin{(}\omega t)\) | \(\frac{\omega}{s^2+\omega^2}\) |
| \(e^{-\alpha t}sin{(}\omega t)\) | \(\frac{\omega}{(s+\alpha)^2+\omega^2}\) |
| \(e^{-\alpha t}cos{(}\omega t)\) | \(\frac{s+\alpha}{(s+\alpha)^2+\omega^2}\) |
Zawartość tablicy przedstawiająca zbiór funkcji czasu wraz z odpowiadającymi im transformatami może służyć zarówno wyznaczaniu transformaty Laplace’a przy zadanej funkcji czasu jak i działaniu odwrotnemu, to jest wyznaczeniu oryginału na podstawie zadanej postaci transformaty. Przykładowo, jeśli transformata dana jest wzorem
\(F(s)=15\frac{5}{\left(s+2\right)^2+5^2}\)
to odpowiadająca mu funkcja oryginału odczytana z tablicy 3.1 ma postać
\(f(t)=15e^{-2t}sin{(}5t)\)
W dalszej części rozważań podamy rozwinięcie tej metody pozwalające na wyznaczenie transformaty odwrotnej dla dowolnej postaci funkcji wymiernej F(s) korzystając z tablicy 3.1.