Podręcznik

3. Metoda operatorowa Laplace’a

3.12. Metoda wykorzystująca tablice transformat

Metoda residuów jakkolwiek koncepcyjnie bardzo prosta staje się żmudna, jeśli bieguny układu są zespolone. Jest to szczególnie widoczne przy wysokich stopniach mianownika transmitancji operatorowej. W takich przypadkach zwykle korzystniejsze jest zastosowanie metody wykorzystującej tablice transformat Laplace’a.
Przy korzystaniu z tablic transformat należy poprzez elementarne przekształcenia doprowadzić daną transformatę do postaci standardowej znajdującej się w tablicy transformat (u nas tablica 3.1) a następnie odczytać z niej oryginał. Jest ona szczególnie wygodna jeśli bieguny układu są zespolone, gdyż w procesie przekształcania transformaty nie występuje potrzeba wyznaczania tych biegunów a wszystkie obliczenia dokonywane są na wartościach rzeczywistych. W praktyce przy stosowaniu tej metody transmitancję wyższych rzędów (n>2) rozkłada się na składniki rzędu drugiego i wszystkie przekształcenia dokonuje na wielomianach rzędu pierwszego lub drugiego. Idę metody wyjaśnimy na przykładach liczbowych.

Obliczyć transformatę odwrotną Laplace’a dla funkcji F(s) danej w postaci

$F(s)=\frac{1}{s^2+s+1}$

Wobec zespolonych pierwiastków mianownika wykorzystamy tablicę transformat 3.1. Porównanie postaci danej transformaty z danymi zawartymi w tablicy wskazuje, że należy ją doprowadzić do postaci transformaty odpowiadającej funkcji sinusoidalnej tłumionej wykładniczo (wiersz 6 w tablicy). Kolejność czynności jest tu następująca

$F(s)=\sqrt{4/3}\frac{\sqrt{3/4}}{\left(s+0,5\right)^2+\left(\sqrt{3/4}\right)^2}$

Porównanie tej postaci z wierszem szóstym tablicy 3.1 pokazuje, że $\alpha=0,5 a \omega=\sqrt{3/4}$ . Funkcja oryginału jest więc określona wzorem

$f(t)=\sqrt{4/3}e^{-0,5t}sin{(}\sqrt{3/4}t)$

Jako przykład drugi rozpatrzymy transformatę trzeciego rzędu o biegunach zespolonych.

$F(s)=\frac{s+3}{(s+1)(s^2+2s+10)}$

W tym przypadku przed zastosowaniem metody tablicowej należy najpierw rozłożyć funkcję zadaną na składniki o rzędach nie większych niż drugi. Ogólną postać rozkładu zapiszemy w następującej formie

$F(s)=\frac{A}{(s+1)}+\frac{Bs+C}{(s^2+2s+10)}$

Współczynniki A, B i C rozkładu należy wyznaczyć w taki sposób, aby obie strony zależności równały się sobie. Współczynnik A można wyznaczyć stosując metodę residuum, zgodnie z którą

$A=res_{s=-1} F( s) =\underset{s\rightarrow -1}{lim\ F( s)( s+1) =\dfrac{2}{9}}$

Wobec zespolonych wartości biegunów drugiego składnika rozkładu współczynniki B i C najlepiej jest wyznaczyć jako różnicę funkcji zadanej F(s) i składnika pierwszego rzędu, to jest

$\frac{Bs+C}{(s^2+2s+10)}=\frac{s+3}{(s+1)(s^2+2s+10)}-\frac{2/9}{(s+1)}=\frac{-2}{9}\frac{s+7/2}{s^2+2s+10}$

Stąd funkcja zadana F(s) może być zapisana w postaci

$F(s)=\frac{2/9}{(s+1)}-\frac{2}{9}\frac{s+7/2}{s^2+2s+10}$

Ze względu na liniowość przekształcenia Laplace’a transformata odwrotna sumy jest równa sumie transformat odwrotnych każdego składnika oddzielnie. Pierwszy składnik sumy odpowiada trzeciemu wierszowi tablicy 3.1. Stąd

$L^{-1}\left\{\frac{2/9}{(s+1)}\right\}=\frac{2}{9}e^{-t}$

Składnik drugi wymaga wykonania wstępnych przekształceń doprowadzających jego postać do wierszy szóstego i siódmego tablicy 3.1. W efekcie tych przekształceń otrzymuje się

$-\frac{2}{9}\frac{s+7/2}{s^2+2s+10}=-\frac{2}{9}\frac{(s+1)+3\cdot5/6}{(s+1)^2+3^2}=-\frac{2}{9}\frac{(s+1)}{(s+1)^2+3^2}--\frac{5}{27}\frac{3}{(s+1)^2+3^2}$

Transformata odwrotna tego wyrażenia może być zatem zapisana w postaci

$L^{-1}\left\{-\frac{2}{9}\frac{s+7/2}{s^2+2s+10}\right\}=L^{-1}\left\{-\frac{2}{9}\frac{(s+1)}{(s+1)^2+3^2}-\frac{5}{27}\frac{3}{(s+1)^2+3^2}\right\}=$

$=-\frac{2}{9}e^{-t}cos{(}3t)-\frac{5}{27}e^{-t}sin{(}3t)$

Stąd na mocy twierdzenia o liniowości transformata odwrotna Laplace’a zadanej funkcji F(s) jest sumą transformat odwrotnych obu składników rozkładu

$L^{-1}\left\{F(s)\right\}=\frac{2}{9}e^{-t}-\frac{2}{9}e^{-t}cos{(}3t)-\frac{5}{27}e^{-t}sin{(}3t)$