Podręcznik

Opis układów liniowych za pomocą transmitancji operatorowej bądź równoważny mu opis równaniami stanu pozwala badać cechy jakościowe układu na podstawie analizy położenia jego biegunów (wartości własnych macierzy stanu). Do najważniejszych cech układu należą pojęcie stabilności oraz charakter odpowiedzi układu w stanie przejściowym na skutek przyłożenia wymuszenia zewnętrznego.

Stabilność układu jest rozumiana w sensie ograniczonej co do wartości odpowiedzi na wymuszenie o skończonej wartości, dla dowolnej chwili czasowej t. Układ nazywać będziemy stabilnym, jeśli jego odpowiedź czasowa na skończoną wartość pobudzenia będzie ograniczona co do wartości w dowolnej chwili czasowej t. Stabilność wymaga, aby przy zaniku pobudzenia odpowiedź układu w stanie ustalonym przy $t\rightarrow\infty$ była ograniczona co do wartości (stabilność w sensie zwykłym) lub zerowa (stabilność w sensie asymptotycznym). Oznacza to, że dla układów stabilnych odpowiedź w stanie przejściowym powinna zanikać do zera lub co najmniej nie narastać, pozostając na ustalonym poziomie.

Stabilność układu może więc być oceniana na podstawie odpowiedzi impulsowej. Jeśli odpowiedź ta zanika do zera lub pozostaje na stałym poziomie przy $t\rightarrow\infty$ układ jest stabilny. Jeśli natomiast odpowiedź impulsowa ma charakter narastający w czasie – układ jest niestabilny. Zauważmy, że odpowiedź impulsowa jest transformatą odwrotną Laplace’a transmitancji operatorowej

Jeśli bieguny układu oznaczymy przez s_i gdzie i = 1, 2, ..., n, wówczas w przypadku biegunów jednokrotnych na podstawie metody residuów odpowiedź impulsowa może być wyrażona wzorem

Wzór ten dowodzi, że jeśli wszystkie bieguny układu są położone wyłącznie w lewej półpłaszczyźnie zmiennej zespolonej s, $R(s_i)\le0$, wówczas odpowiedź impulsowa zanika z czasem do zera lub pozostaje ograniczona co do amplitudy (gdy część biegunów lub wszystkie znajdą się na osi urojonej).

Sytuacja jest nieco bardziej złożona, gdy część biegunów jest wielokrotna. Dla uproszczenia ograniczymy się tylko do biegunów dwukrotnych. Załóżmy, że liczba takich dwukrotnych biegunów jest równa m. W takim przypadku zastosowanie wzorów na residuum przy obliczaniu transformaty odwrotnej prowadzi do wyniku

Przy niezerowej wartości części rzeczywistej biegunów położonych w lewej półpłaszczyźnie odpowiedź przejściowa układu przy $t\rightarrow\infty$ będzie zanikać do zera (układ stabilny asymptotycznie). Przy położeniu biegunów na osi urojonej $R(s_i)=0$ układ może być stabilny (choć nie asymptotycznie), jeśli są to bieguny pojedyncze lub niestabilny, jeśli bieguny są wielokrotne. Utrata stabilności na skutek położenia bieguna wielokrotnego na osi urojonej wynika z pojawienia się we wzorze na odpowiedź impulsową czynnika proporcjonalnego do czasu. Zauważmy, że przy spełnieniu warunku $Re(s_k)=0$ i założeniu bieguna zespolonego $s_k=j\omega$ wyrażenie $B_kte^{s_kt}$ może być rozwinięte do postaci $B_kte^{s_kt}=B_kt\left(cos{\omega}t+jsin{\omega}t\right)$. Wobec ograniczonych wartości funkcji sinus i cosinus czynnik ten przy $t\rightarrow\infty$ narasta nieograniczenie, co prowadzi do utraty stabilności.

W konsekwencji warunkiem stabilności układu jest położenie biegunów w lewej półpłaszczyźnie, a w przypadku biegunów wielokrotnych wyłączenie ich z osi urojonej.

Rys. 1.4. Zależność stabilności układu od położenia biegunów

Na rys. 1.4 zilustrowano wpływ położenia biegunów na stabilność układu. Oś urojona rozgraniczająca obszar stabilny od niestabilnego jest obszarem warunkowo stabilnym (stabilny w sensie zwykłym przy biegunach jednokrotnych i niestabilny przy biegunach wielokrotnych).

Interesujący jest również wpływ położenia biegunów na charakter odpowiedzi impulsowej układu liniowego. Rys. 1.5 przedstawia odpowiedzi impulsowe układu drugiego rzędu przy różnych położeniach biegunów.

Rys. 1.5 Odpowiedzi impulsowe układu drugiego rzędu przy różnych położeniach biegunów

W zależności od wartości biegunów mamy do czynienia ze stanem aperiodycznym (bieguny położone na osi rzeczywistej) oraz oscylacyjnym (bieguny zespolone). Zanikanie odpowiedzi impulsowej do zera świadczy o stabilności asymptotycznej układu. Odpowiedź o ograniczonej amplitudzie nie zanikająca z czasem świadczy o stabilności zwykłej układu. Odpowiedź narastająca z czasem jest cechą układu niestabilnego.