Podręcznik

2. Charakterystyki częstotliwościowe układów

2.8. Charakterystyki częstotliwościowe filtru dolnoprzepustowego

Po wstawieniu zależności s = jω do wzoru na transmitancję T_DP(s) otrzymuje się charakterystykę filtru dolnoprzepustowego w postaci

$T_{DP}(s=j\omega)=\frac{A_{DP}\omega_0^2}{(\omega_0^2-\omega^2)+j\frac{\omega\omega_0}{Q}}$

(2.19)

Jest to funkcja zespolona pulsacji. Moduł tej funkcji stanowi charakterystykę amplitudową a faza – charakterystykę fazową układu. Charakterystyki te wyrażone są w postaci

charakterystyka amplitudowa

$\left|T_{DP}(j\omega)\right|=\frac{A_{DP}\omega_0^2}{\sqrt{(\omega_0^2-\omega^2)^2+\left(\frac{\omega\omega_0}{Q}\right)^2}}$

(2.20)

charakterystyka fazowa

$\varphi(j\omega)=-arctg{\frac{\omega\omega_0}{Q(\omega_0^2-\omega^2)}}$

(2.21)

Na rys. 2.8a przedstawiono typowe charakterystyki amplitudowe a na rys. 2.8b charakterystyki fazowe filtru dolnoprzepustowego drugiego rzędu dla dwu różnych dobroci: $Q>1/\sqrt2$ oraz $Q\le1/\sqrt2$ .

Uzupelnij opis obrazka

Rys. 2.8. Charakterystyki częstotliwościowe filtru bikwadratowego dolnoprzepustowego o pulsacji środkowej ω₀ = 1: charakterystyka amplitudowa i fazowa.

Dla dobroci $Q>1/\sqrt2$ charakterystyka amplitudowa jest niemonotoniczna i osiąga maksimum dla pulsacji

$\omega_m=\omega_0\sqrt{1-\frac{1}{2Q^2}}$

(2.22)

Dla dobroci $Q\le1/\sqrt2$ przebieg charakterystyki amplitudowej staje się monotoniczny (pulsacja ω_m przyjmuje wartość nierzeczywistą – urojoną). Przy $Q=1/\sqrt2$ charakterystyka jest maksymalnie płaska.

Pulsacja ω_m (jeśli jest określona) jest różna od pulsacji środkowej ω₀. Jak z charakterystyk częstotliwościowych widać pulsacja środkowa odpowiada wartości przy której przesunięcie fazowe układu jest równe –90 stopni. Może być więc łatwo wyznaczona z charakterystyki fazowej. Dobroć układu można z kolei prosto wyznaczyć wykorzystując postać charakterystyki amplitudowej. Obliczając ją dla dwu wartości częstotliwości: zerowej i środkowej otrzymuje się

$Q=\frac{\left|T_{DP}(j\omega_0)\right|}{\left|T_{DP}(0)\right|}$

(2.23)

Wyznaczenie dobroci na podstawie charakterystyk częstotliwościowych polega więc na określeniu wartości charakterystyki amplitudowej dla dwu częstotliwości: zerowej i środkowej a następnie podstawieniu tych wartości do powyższego wzoru.