Podręcznik

2. Charakterystyki częstotliwościowe układów

2.10. Charakterystyki częstotliwościowe filtru górnoprzepustowego

Po wstawieniu zależności s = jω do wzoru na transmitancję T_GP(s) otrzymuje się charakterystykę częstotliwościową filtru górnoprzepustowego w postaci

$T_{GP}(s=j\omega)=\frac{-A_{GP}\omega^2}{(\omega_0^2-\omega^2)+j\frac{\omega\omega_0}{Q}}$

(2.28)

Jest to funkcja zespolona pulsacji. Moduł tej funkcji stanowi charakterystykę amplitudową a faza – charakterystykę fazową układu. Charakterystyki te wyrażone są wzorami

charakterystyka amplitudowa

$\left|T_{GP}(j\omega)\right|=\frac{A_{GP}\omega^2}{\sqrt{(\omega_0^2-\omega^2)^2+\left(\frac{\omega\omega_0}{Q}\right)^2}}$

(2.29)

charakterystyka fazowa

$\varphi(j\omega)=180^o-arctg{\frac{\omega\omega_0}{Q(\omega_0^2-\omega^2)}}$

(2.30)

Na rys. 2.11a przedstawiono typowe charakterystyki amplitudowe a na rys. 2.11b charakterystyki fazowe filtru górnoprzepustowego drugiego rzędu dla dwu różnych dobroci: $Q>1/\sqrt2$ oraz $Q\le1/\sqrt2$ .

Uzupelnij opis obrazka

Rys. 2.11 Charakterystyki częstotliwościowe filtru górnoprzepustowego o pulsacji środkowej ω₀ = 1: charakterystyka amplitudowa i fazowa.

Dla dobroci $Q_1>1/\sqrt2$ charakterystyka amplitudowa jest niemonotoniczna i osiąga maksimum dla pulsacji

$\omega_m=\omega_0\frac{1}{\sqrt{1-1/2Q^2}}$

(2.31)

Dla dobroci $Q_1\le1/\sqrt2$ przebieg charakterystyki amplitudowej staje się monotoniczny i maksimum funkcji nie występuje. Przy $Q_1=1/\sqrt2$ charakterystyka jest maksymalnie płaska.

Pulsacja ω_m (jeśli jest określona) jest różna od pulsacji środkowej ω₀. Jak z charakterystyk częstotliwościowych widać pulsacja środkowa odpowiada wartości przy której przesunięcie fazowe układu jest równe 90 stopni. Może być więc łatwo wyznaczona z charakterystyki fazowej. Dobroć układu można z kolei prosto wyznaczyć wykorzystując postać charakterystyki amplitudowej. Obliczając ją dla dwu wartości częstotliwości: częstotliwości maksymalnej (teoretycznie nieskończonej) i środkowej otrzymuje się

$Q=\frac{\left|T_{GP}(j\omega_0)\right|}{\left|T_{GP}(\infty)\right|}$

(2.32)

Wyznaczenie dobroci na podstawie charakterystyk częstotliwościowych polega więc na określeniu wartości charakterystyki amplitudowej dla dwu częstotliwości: maksymalnej (teoretycznie nieskończonej) i środkowej a następnie podstawieniu do powyższego wzoru.

Załączony program „Filtry bikwadratowe” pozwala obserwować charakterystyki częstotliwościowe trzech rodzajów filtrów: dolnoprzepustowego, górnoprzepustowego i środkowoprzepustowego dla zadanych przez użytkownika parametrów: pulsacji środkowej, dobroci oraz wzmocnienia w paśmie. Wyświetlane są charakterystyki: amplitudowa oraz fazowa dla każdego wybranego rodzaju filtru. Jednocześnie wyświetlana jest postać transmitancji operatorowej filtru o zadanych przez użytkownika parametrach.
Aplikacja interaktywna - Filtry bikwadratowe