Podręcznik
2. Grafy przepływu sygnałów Masona i ich zastosowania w analizie obwodów
2.3. Przykłady zastosowania grafów w analizie obwodów
Sposób automatycznego tworzenia grafu dla obwodu elektrycznego przedstawimy na przykładzie obwodu z rys. 2.5.
Rys. 2.5. Przykład obwodu ze wzmacniaczem operacyjnym |
Obwód zawiera trzy węzły zależne ( i
), w związku z tym należy zbudować reprezentację graficzną dla każdego z nich (
i
– węzły pasywne,
– węzeł na wyjściu wzmacniacza). Na rys. 2.6 przedstawiono graf przepływu sygnałów odpowiadający obwodowi z rys. 2.5.
Rys. 2.6. Graf przepływu sygnałów odpowiadający obwodowi z rys. 2.5 |
Z reguły Masona zastosowanej do tego grafu wynika następujące rozwiązanie
![]() |
gdzie ,
. Po uproszczeniu wzoru otrzymuje się ostateczną postać rozwiązania
![]() |
Przy potraktowaniu wzmacniacza jako idealnego o nieskończonym wzmocnieniu ( ) wzór powyższy upraszcza się do postaci
![]() |
stanowiącej często punkt wyjściowy przy projektowaniu filtrów elektrycznych.



Rys. 2.7. Struktura obwodu RC z trzema wzmacniaczami operacyjnym |
Graf Masona odpowiadający temu obwodowi przedstawiony jest na rys. 2.8. Zawiera on pięć pętli, wśród których występują pętle rozłączne po dwie i po trzy.
Rys. 2.8. Graf Masona odpowiadający obwodowi z rys. 2.9 |
Stosując regułę Masona otrzymuje się następującą postać transmitancji napięciowej.
![]() |
gdzie mianownik transmitancji dany jest wzorem
![]() |
W praktyce przyjmuje się zwykle wzmacniacz operacyjny jako element idealny o wzmocnieniu . Przy takim założeniu transmitancja upraszcza się do postaci funkcji bikwadratowej typu dolnoprzepustowego
![]() |
a) |
b) |
Rys. 2.9. Struktura układu FDNR (a) oraz przyporządkowany mu graf Masona (b)
Układ FDNR realizuje dwójnik o admitancji , w której
jest współczynnikiem liczbowym. Biorąc pod uwagę definicję admitancji wejściowej
graf Masona należy zbudować przy założeniu, że wymuszeniem jest napięcie
a odpowiedzią prąd wejściowy
. Uwzględniając nieskończoną impedancję wejściową idealnego wzmacniacza operacyjnego prąd ten można wyrazić jako
![]() |
(2.23) |
Graf Masona dla tego obwodu buduje się w sposób analogiczny do przedstawionych wcześniej, uzupełniając go o węzeł Iwe dla którego reprezentację graficzną określa wzór (2.23) uzależniający ten prąd od i
. Pełna postać tego grafu przedstawiona jest na rys. 1.9b. Korzystając z reguły Masona otrzymuje się wyrażenie określające transmitancję
odpowiadającą dowolnej wartości wzmocnienia
.
![]() |
(2.24) |
przy postaci wyznacznika głównego Δ opisanej wzorem
![]() |
(2.25) |
Zakładając wzmocnienie wzmacniaczy wyrażenie na
upraszcza się do
![]() |
(2.26) |
Z porównania wzoru definicyjnego z powyższym wyrażeniem jest oczywiste, że przy założeniu idealności wzmacniacza operacyjnego współczynnik
układu FDNR jest określony zależnością
![]() |
(2.27) |
Przy poczynionych założeniach dotyczących wzmacniacza operacyjnego stała zależy wyłącznie od parametrów elementów pasywnych (rezystancji i pojemności) obwodu. W stanie ustalonym przy wymuszeniu sinusoidalnych (
) admitancja
określona wzorem (2.26) reprezentuje sobą ujemna konduktancję
o wartości uzależnionej od częstotliwości (stąd nazwa FDNR).