Podręcznik

Sposób automatycznego tworzenia grafu dla obwodu elektrycznego przedstawimy na przykładzie obwodu z rys. 2.5.

Rys. 2.5. Przykład obwodu ze wzmacniaczem operacyjnym

Obwód zawiera trzy węzły zależne (\(V_1, V_2\) i \(U_{wy}\)), w związku z tym należy zbudować reprezentację graficzną dla każdego z nich (\(V_1\) i \(V_2\) – węzły pasywne, \(U_{wy}\) – węzeł na wyjściu wzmacniacza). Na rys. 2.6 przedstawiono graf przepływu sygnałów odpowiadający obwodowi z rys. 2.5. 

Rys. 2.6. Graf przepływu sygnałów odpowiadający obwodowi z rys. 2.5

Z reguły Masona zastosowanej do tego grafu wynika następujące rozwiązanie 

\(T( s) =\frac{U_{wy}}{U_{we}} =\frac{-A\frac{Y_{3}}{Y_{s2}}\frac{Y_{1}}{Y_{s1}}}{1-\frac{Y^{2}_{3}}{Y_{s1} Y_{s2}} +A\frac{Y_{5}}{Y_{s2}} +A\frac{Y_{4} Y_{3}}{Y_{s1} Y_{s2}}}\)

gdzie  \(Y_{s1}=Y_1+Y_2+Y_3+Y_4\) , \(Y_{s2}=Y_3+Y_5\) . Po uproszczeniu wzoru otrzymuje się ostateczną postać rozwiązania

\(T=\frac{U_{wy}}{U_{we}}=\frac{-AY_1Y_3}{Y_{s1}Y_{s2}-Y_3^2+AY_5Y_{s1}+AY_3Y_4}\)

Przy potraktowaniu wzmacniacza jako idealnego o nieskończonym wzmocnieniu ( \(A\rightarrow \infty\)) wzór powyższy upraszcza się do postaci

\(T_\infty=\frac{-Y_1Y_3}{Y_5\left(Y_1+Y_2+Y_3+Y_4\right)+Y_3Y_4}\)

stanowiącej często punkt wyjściowy przy projektowaniu filtrów elektrycznych.

Jako następny przykład rozpatrzymy obwód \(RC\) z trzema wzmacniaczami operacyjnymi o wzmocnieniach \(A\), przedstawiony na rys. 2.7, realizującymi funkcję transmitancji napięciowej  \(T( s) =\frac{U_{wy}}{U_{we}}\).
 

Rys. 2.7. Struktura obwodu RC z trzema wzmacniaczami operacyjnym

Graf Masona odpowiadający temu obwodowi przedstawiony jest na rys. 2.8. Zawiera on pięć pętli, wśród których występują pętle rozłączne po dwie i po trzy.

Rys. 2.8. Graf Masona odpowiadający obwodowi z rys. 2.9

Stosując regułę Masona otrzymuje się następującą postać transmitancji napięciowej.

\(T( s) =\frac{A^{3}\frac{G_{1}}{Y_{s2}}\frac{G_{3}}{Y_{s4}}\frac{G_{4}}{Y_{s6}}}{M( s)}\)

gdzie mianownik transmitancji \(M(s)\) dany jest wzorem

\(\begin{array}{l} M( s) =1+\left(\frac{1}{2} A+\frac{A_{s} C_{1}}{Y_{s4}} +\frac{A_{s} C_{2}}{Y_{s6}} +\frac{A^{2} G_{2} G_{3}}{Y_{s2} Y_{s4}} +\frac{\frac{1}{2} A^{3} G_{3} G_{4}}{Y_{s4} Y_{s6}}\right) +\\ +\left(\frac{\frac{1}{2} A^{2} sC_{1}}{Y_{s4}} +\frac{\frac{1}{2} A^{2} sC_{2}}{Y_{s6}} +\frac{A^{2} s^{2} C_{1} C_{2}}{Y_{s2} Y_{s4}} +\frac{A^{3} sG_{2} G_{3} C_{2}}{Y_{s2} Y_{s4} Y_{s6}}\right) +\frac{\frac{1}{2} A^{3} s^{2} C_{1} C_{2}}{Y_{s2} Y_{s4} Y_{s6}} \end{array}\)

W praktyce przyjmuje się zwykle wzmacniacz operacyjny jako element idealny o wzmocnieniu \(A\rightarrow \infty \) . Przy takim założeniu transmitancja upraszcza się do postaci funkcji bikwadratowej typu dolnoprzepustowego

\(T( s) =\frac{G_{1} G_{3} G_{4}}{0,5s^{2} C_{1} C_{2}( G_{1} +G_{2}) +sG_{2} G_{3} C_{2} +0,5G_{3} G_{4}( G_{1} +G_{2})}\)

Grafy Masona przypisywane w sposób bezpośredni strukturze obwodowej operują sygnałami napięciowymi. W przypadku, gdy wielkością wyjściową jest prąd gałęziowy należy go wyrazić poprzez napięcia węzłowe. Przykład takiego postępowania przedstawimy budując graf dla układu zwanego FDNR (ang. Frequency Dependent Negative Resistor). Struktura tego układu przedstawiona jest na rys. 2.9a.

a)

b)

Rys. 2.9. Struktura układu FDNR (a) oraz przyporządkowany mu graf Masona (b)

Układ FDNR realizuje dwójnik o admitancji \(Y(s)=Ds^2\), w której \(D\) jest współczynnikiem liczbowym. Biorąc pod uwagę definicję admitancji wejściowej \(Y( s) =\frac {I_{we}}{U_{we}}\) graf Masona należy zbudować przy założeniu, że wymuszeniem jest napięcie \(U_{we}\) a odpowiedzią prąd wejściowy \(I_{we}\). Uwzględniając nieskończoną impedancję wejściową idealnego wzmacniacza operacyjnego prąd ten można wyrazić jako

\(I_{we}=sC(U_{we}-V_1)\)

(2.23)

Graf Masona dla tego obwodu buduje się w sposób analogiczny do przedstawionych wcześniej, uzupełniając go o węzeł Iwe dla którego reprezentację graficzną określa wzór (2.23) uzależniający ten prąd od \(U_{we}\) i \(V_1\). Pełna postać tego grafu przedstawiona jest na rys. 1.9b. Korzystając z reguły Masona otrzymuje się wyrażenie określające transmitancję \(Y(s)\) odpowiadającą dowolnej wartości wzmocnienia \(A\).

\(Y(s)=\frac{sC_1\mathrm{\Delta}+A^2sC_1\frac{G_3}{G_2+G_3}-A^2sC_1\frac{G_4}{G_4+sC_5}}{\mathrm{\Delta}}\)

(2.24)

przy postaci wyznacznika głównego Δ opisanej wzorem

\(\mathrm{\Delta}=1+A\frac{G_3}{G_2+G_3}+A\frac{G_2}{G_2+G_3}+A^2\frac{G_2}{G_2+G_3}\frac{G_4}{G_4+sC_5}\)

(2.25)

Zakładając wzmocnienie wzmacniaczy \(A\rightarrow \infty \)  wyrażenie na \(Y(s)\) upraszcza się do

\(Y(s)=s^2\frac{C_1C_5G_3}{G_2G_4}=s^2\frac{C_1C_5R_2R_4}{R_3}\)

(2.26)

Z porównania wzoru definicyjnego \(Y(s)=Ds^2\) z powyższym wyrażeniem jest oczywiste, że przy założeniu idealności wzmacniacza operacyjnego współczynnik \(D\) układu FDNR jest określony zależnością

\(D=\frac{C_1C_5R_2R_4}{R_3}\)

(2.27)

Przy poczynionych założeniach dotyczących wzmacniacza operacyjnego stała \(D\) zależy wyłącznie od parametrów elementów pasywnych (rezystancji i pojemności) obwodu. W stanie ustalonym przy wymuszeniu sinusoidalnych (\(s=jω\)) admitancja \(Y(s)\) określona wzorem (2.26) reprezentuje sobą ujemna konduktancję \(G=-ω^2C_1C_5R_2R_4/R_3\) o wartości uzależnionej od częstotliwości (stąd nazwa FDNR).