Podręcznik

Metoda obwodów dołączonych (sprzężonych) służąca analizie wrażliwościowej małoprzyrostowej  obwodu może być łatwo zinterpretowana przy użyciu grafów Masona. Opis obwodu oryginalnego $N$ przedstawia się w postaci grafu $G$ odzwierciedlającego opisywany obwód. Graf dołączony $\hat{G}$ jest tworzony na zasadzie transpozycji grafu oryginalnego, czyli zmianie kierunku przepływu sygnałów we wszystkich gałęziach grafu oryginalnego. Zauważmy, że przy takiej operacji węzeł źródłowy grafu oryginalnego zamienia się w węzeł spływu sygnałów, a węzeł wyjściowy grafu $G$ (do którego sygnały wyłącznie dopływały) zamieniony został w węzeł źródłowy grafu $\hat{G}$. Zasilanie tego węzła w grafie dołączonym należy zapewnić w postaci sygnału o wartości jednostkowej. Przy takim sposobie tworzenia grafu dołączonego zależność wrażliwościowa dowolnej wielkości $X_{wy}$ traktowanej jako wielkość wyjściowa względem wagi wij, określona jest bardzo prostą zależnością 

W zależności tej waga $w_{ij}$ oznacza wzmocnienie gałęzi grafu $G$ łączącej węzeł o sygnale $X_j$ z węzłem o sygnale $X_i$ (gałąź skierowana od węzła $X_j$ do węzła $X_i$). W grafie dołączonym wszystkie sygnały węzłów są oznaczone z daszkiem. Zauważmy, że wrażliwość sygnału wyjściowego grafu $G$ względem wagi wij jest wyrażona jako iloczyn sygnałów węzłów z których startuje waga $w_{ij}$ w grafie oryginalnym ($X_j$) i w grafie dołączonym (${\hat{X}}_i$). 
Podsumowując, algorytm wyznaczania wrażliwości systemu na podstawie grafu przepływu sygnałów Masona jest następujący:

1. Dla danego grafu $G$ o węźle źródłowym $X_{we}$ i węźle wyjściowym $X_{wy}$ należy utworzyć graf dołączony według następujących zasad:

• wszystkie gałęzie grafu dołączonego i ich opis są takie same jak w grafie $G$, ale o przeciwnym zwrocie
• węzłem źródłowym w grafie dołączonym staje się węzeł, który pełnił rolę węzła wyjściowego w grafie oryginalnym; należy przypisać mu jednostkową wartość źródłową. 

2. Wrażliwość sygnału $X_{wy}$  względem wzmocnienia dowolnej gałęzi wij grafu jest równa iloczynowi sygnałów węzłów z których startuje waga wij w grafie oryginalnym ($X_j$) i w grafie dołączonym (${\hat{X}}_i$).

Oznacza to, że dla wyznaczenia wrażliwości systemu na podstawie grafu wystarczy analiza dwu grafów: oryginalnego $G$ oraz dołączonego $\hat{G}$. Dla jednoznaczności w tworzeniu grafu dołączonego należy przestrzegać zasady, że sygnał wyjściowy skojarzony jest z punktem spływu w grafie $G$ do którego dochodzi tylko jedna gałąź (jest to zawsze możliwe przez dołączenie jednostkowej gałęzi wyjściowej w grafie $G$).
 

Procedurę wyznaczania wrażliwości przy użyciu grafów przepływu sygnału zilustrujemy na przykładzie grafu przedstawionego na rys. 2.10a. Wzmocnienia gałęzi są określone w postaci: $w_1, w_2, w_3, w_4, w_5$.

a)

b)

Rys. 2.10 Przykład: a) grafu oryginalnego systemu $G$, b) grafu do niego dołączonego $\hat{G}$, dla obliczenia wrażliwości.

Graf dołączony $\hat{G}$ przedstawiony jest na rys. 2.10b. Wszystkie sygnały węzłów są oznaczone z daszkiem. Przy oznaczeniach wprowadzonych na rysunku obowiązują następujące wzory:

$\frac{dX_{wy}}{dw_1}=X_{we}{\hat{X}}_1$

$\frac{dX_{wy}}{dw_2}=X_1{\hat{X}}_2$

$\frac{dX_{wy}}{dw_3}=X_2{\hat{X}}_3$

$\frac{dX_{wy}}{dw_4}=X_1{\hat{X}}_3$

$\frac{dX_{wy}}{dw_5}=X_3{\hat{X}}_1$

Do ich pełnego określenia numerycznego należy wyznaczyć rozwiązanie obu grafów: $G$ oraz $\hat{G}$. Jest to zadanie bardzo proste przy wykorzystaniu reguły topologicznej Masona.

 Następny przykład dotyczy wyznaczenia wartości numerycznych wrażliwości transmitancji $T=X_{wy}/X_{we}$, przy wykorzystaniu grafów. Rozważmy graf systemu przedstawiony na rys. 2.11a, przy znanych wartościach wzmocnień: $a1=1, \ a2=2, \ a3=3, \ a4=4$. Przyjmując $X_{we}=1$ zadanie wrażliwości transmitancji sprowadza się do obliczenia wrażliwości sygnału wyjściowego $X_{wy}$ względem określonych wzmocnień gałęzi.

a)

b)

Rys. 2.11. Graf Masona (a) oraz graf dołączony do niego (b)

Z reguły Masona zastosowanej do grafu oryginalnego otrzymuje się następujące wartości sygnałów w węzłach tego grafu

$X_1=a_1\frac{1}{1-a_2a_3}X_{we}=-\frac{1}{5}$

$X_2=\frac{a_1a_2}{1-a_2a_3}X_{we}=-\frac{2}{5}$

$X_{wy}=\frac{a_1a_2a_4}{1-a_2a_3}X_{we}=-\frac{8}{5}$

Graf dołączony systemu przedstawiony jest na rys. 2.11b. Kierunki gałęzi grafu są przeciwne niż w grafie oryginalnym a ich wzmocnienia nie uległy zmianie. Z reguły Masona zastosowanej do tego grafu otrzymuje się następujące wartości sygnałów

${\hat{X}}_1=\frac{a_2a_4}{1-a_2a_3}=-\frac{8}{5}$

${\hat{X}}_2=\frac{a_4}{1-a_2a_3}=-\frac{4}{5}$

Stąd wrażliwości transmitancji T względem poszczególnych wag są równe:

$\frac{dT}{da_1}=1\cdot{\hat{X}}_1=-\frac{8}{5}$

$\frac{dT}{da_2}=X_1{\hat{X}}_2=\frac{4}{25}$

$\frac{dT}{da_3}=X_2{\hat{X}}_1=\frac{16}{25}$

$\frac{dT}{da_4}=X_2\cdot1=-\frac{2}{5}$

Sprawdzenie poprawności powyższych wyników można przeprowadzić metodą klasyczną różniczkując funkcję $T$ określoną wzorem

$T=\frac{a_1a_2a_4}{1-a_2a_3}$

Na podstawie różniczkowania tej funkcji otrzymuje się

$\frac{dT}{da_1}=\frac{a_2a_4}{1-a_2a_3}=-\frac{8}{5}$

$\frac{dT}{da_2}=\frac{a_1a_4(1-a_2a_3)+a_1a_2a_3a_4}{(1-a_2a_3)^2}=\frac{4}{25}$

$\frac{dT}{da_3}=\frac{a_1a_2^2a_4}{(1-a_2a_3)^2}=\frac{16}{25}$

$\frac{dT}{da_4}=\frac{a_1a_2}{(1-a_2a_3)^2}=-\frac{2}{5}$

Jak widać występuje pełna zgodność wyników liczbowych wrażliwości obliczonej w sposób ściśle numeryczny według zasad grafów dołączonych i przez różniczkowanie zadanej funkcji transmitancji.