Podręcznik

Metoda obwodów dołączonych (sprzężonych) służąca analizie wrażliwościowej małoprzyrostowej  obwodu może być łatwo zinterpretowana przy użyciu grafów Masona. Opis obwodu oryginalnego \(N\) przedstawia się w postaci grafu \(G\) odzwierciedlającego opisywany obwód. Graf dołączony \(\hat{G}\) jest tworzony na zasadzie transpozycji grafu oryginalnego, czyli zmianie kierunku przepływu sygnałów we wszystkich gałęziach grafu oryginalnego. Zauważmy, że przy takiej operacji węzeł źródłowy grafu oryginalnego zamienia się w węzeł spływu sygnałów, a węzeł wyjściowy grafu \(G\) (do którego sygnały wyłącznie dopływały) zamieniony został w węzeł źródłowy grafu \(\hat{G}\). Zasilanie tego węzła w grafie dołączonym należy zapewnić w postaci sygnału o wartości jednostkowej. Przy takim sposobie tworzenia grafu dołączonego zależność wrażliwościowa dowolnej wielkości \(X_{wy}\) traktowanej jako wielkość wyjściowa względem wagi wij, określona jest bardzo prostą zależnością 

W zależności tej waga \(w_{ij}\) oznacza wzmocnienie gałęzi grafu \(G\) łączącej węzeł o sygnale \(X_j\) z węzłem o sygnale \(X_i\) (gałąź skierowana od węzła \(X_j\) do węzła \(X_i\)). W grafie dołączonym wszystkie sygnały węzłów są oznaczone z daszkiem. Zauważmy, że wrażliwość sygnału wyjściowego grafu \(G\) względem wagi wij jest wyrażona jako iloczyn sygnałów węzłów z których startuje waga \(w_{ij}\) w grafie oryginalnym (\(X_j\)) i w grafie dołączonym (\({\hat{X}}_i\)). 
Podsumowując, algorytm wyznaczania wrażliwości systemu na podstawie grafu przepływu sygnałów Masona jest następujący:

1. Dla danego grafu \(G\) o węźle źródłowym \(X_{we}\) i węźle wyjściowym \(X_{wy}\) należy utworzyć graf dołączony według następujących zasad:

• wszystkie gałęzie grafu dołączonego i ich opis są takie same jak w grafie \(G\), ale o przeciwnym zwrocie
• węzłem źródłowym w grafie dołączonym staje się węzeł, który pełnił rolę węzła wyjściowego w grafie oryginalnym; należy przypisać mu jednostkową wartość źródłową. 

2. Wrażliwość sygnału \(X_{wy}\)  względem wzmocnienia dowolnej gałęzi wij grafu jest równa iloczynowi sygnałów węzłów z których startuje waga wij w grafie oryginalnym (\(X_j\)) i w grafie dołączonym (\({\hat{X}}_i\)).

Oznacza to, że dla wyznaczenia wrażliwości systemu na podstawie grafu wystarczy analiza dwu grafów: oryginalnego \(G\) oraz dołączonego \(\hat{G}\). Dla jednoznaczności w tworzeniu grafu dołączonego należy przestrzegać zasady, że sygnał wyjściowy skojarzony jest z punktem spływu w grafie \(G\) do którego dochodzi tylko jedna gałąź (jest to zawsze możliwe przez dołączenie jednostkowej gałęzi wyjściowej w grafie \(G\)).
 

Procedurę wyznaczania wrażliwości przy użyciu grafów przepływu sygnału zilustrujemy na przykładzie grafu przedstawionego na rys. 2.10a. Wzmocnienia gałęzi są określone w postaci: \(w_1, w_2, w_3, w_4, w_5\).

a)

b)

Rys. 2.10 Przykład: a) grafu oryginalnego systemu \(G\), b) grafu do niego dołączonego \(\hat{G}\), dla obliczenia wrażliwości.

Graf dołączony \(\hat{G}\) przedstawiony jest na rys. 2.10b. Wszystkie sygnały węzłów są oznaczone z daszkiem. Przy oznaczeniach wprowadzonych na rysunku obowiązują następujące wzory:

\(\frac{dX_{wy}}{dw_1}=X_{we}{\hat{X}}_1\)

\(\frac{dX_{wy}}{dw_2}=X_1{\hat{X}}_2\)

\(\frac{dX_{wy}}{dw_3}=X_2{\hat{X}}_3\)

\(\frac{dX_{wy}}{dw_4}=X_1{\hat{X}}_3\)

\(\frac{dX_{wy}}{dw_5}=X_3{\hat{X}}_1\)

Do ich pełnego określenia numerycznego należy wyznaczyć rozwiązanie obu grafów: \(G\) oraz \(\hat{G}\). Jest to zadanie bardzo proste przy wykorzystaniu reguły topologicznej Masona.

 Następny przykład dotyczy wyznaczenia wartości numerycznych wrażliwości transmitancji \(T=X_{wy}/X_{we}\), przy wykorzystaniu grafów. Rozważmy graf systemu przedstawiony na rys. 2.11a, przy znanych wartościach wzmocnień: \(a1=1, \ a2=2, \ a3=3, \ a4=4\). Przyjmując \(X_{we}=1\) zadanie wrażliwości transmitancji sprowadza się do obliczenia wrażliwości sygnału wyjściowego \(X_{wy}\) względem określonych wzmocnień gałęzi.

a)

b)

Rys. 2.11. Graf Masona (a) oraz graf dołączony do niego (b)

Z reguły Masona zastosowanej do grafu oryginalnego otrzymuje się następujące wartości sygnałów w węzłach tego grafu

\(X_1=a_1\frac{1}{1-a_2a_3}X_{we}=-\frac{1}{5}\)

\(X_2=\frac{a_1a_2}{1-a_2a_3}X_{we}=-\frac{2}{5}\)

\(X_{wy}=\frac{a_1a_2a_4}{1-a_2a_3}X_{we}=-\frac{8}{5}\)

Graf dołączony systemu przedstawiony jest na rys. 2.11b. Kierunki gałęzi grafu są przeciwne niż w grafie oryginalnym a ich wzmocnienia nie uległy zmianie. Z reguły Masona zastosowanej do tego grafu otrzymuje się następujące wartości sygnałów

\({\hat{X}}_1=\frac{a_2a_4}{1-a_2a_3}=-\frac{8}{5}\)

\({\hat{X}}_2=\frac{a_4}{1-a_2a_3}=-\frac{4}{5}\)

Stąd wrażliwości transmitancji T względem poszczególnych wag są równe:

\(\frac{dT}{da_1}=1\cdot{\hat{X}}_1=-\frac{8}{5}\)

\(\frac{dT}{da_2}=X_1{\hat{X}}_2=\frac{4}{25}\)

\(\frac{dT}{da_3}=X_2{\hat{X}}_1=\frac{16}{25}\)

\(\frac{dT}{da_4}=X_2\cdot1=-\frac{2}{5}\)

Sprawdzenie poprawności powyższych wyników można przeprowadzić metodą klasyczną różniczkując funkcję \(T\) określoną wzorem

\(T=\frac{a_1a_2a_4}{1-a_2a_3}\)

Na podstawie różniczkowania tej funkcji otrzymuje się

\(\frac{dT}{da_1}=\frac{a_2a_4}{1-a_2a_3}=-\frac{8}{5}\)

\(\frac{dT}{da_2}=\frac{a_1a_4(1-a_2a_3)+a_1a_2a_3a_4}{(1-a_2a_3)^2}=\frac{4}{25}\)

\(\frac{dT}{da_3}=\frac{a_1a_2^2a_4}{(1-a_2a_3)^2}=\frac{16}{25}\)

\(\frac{dT}{da_4}=\frac{a_1a_2}{(1-a_2a_3)^2}=-\frac{2}{5}\)

Jak widać występuje pełna zgodność wyników liczbowych wrażliwości obliczonej w sposób ściśle numeryczny według zasad grafów dołączonych i przez różniczkowanie zadanej funkcji transmitancji.