Podręcznik

3. Transformata Fouriera (repetytorium)

3.9. Widma sygnałów harmonicznych i okresowych

Impuls Diraca możemy też określić w dziedzinie częstotliwości. Jeśli wyrażamy częstotliwość w Hz, właściwości takiego impulsu są takie same jak impulsu określonego w dziedzinie czasu.

Rysunek 17 Impuls Diraca w dziedzinie częstotliwości

Odwrotna transformata Fouriera zwraca wartość stałą

$F^{-1}\left[\delta(f)\right]=\int_{-\infty}^{\infty}{\delta(f)e^{j2\pi ft}df}=1$

(35)

Wynika z tego że d(f) można uważać za transformatę Fouriera sygnału o wartości stałej, choć taki sygnał nie jest całkowalny w nieskończonym przedziale czasu.
Z twierdzenia o przesunięciu widma (21) wynikają następujące równania:

$F^{-1}\left[\delta\left(f-f_0\right)\right]=\int ^{\infty }_{-\infty }δ(f-f_0)e^{j2πft}df=e^{j2πf_0t}$	$F[ej2πf0t]=δ(f-f0)$	(36)
$F^{-1}\left[\delta\left(f+f_0\right)\right]=\int ^{\infty }_{-\infty }δ(f+f_0)e^{j2πft}df=e^{-j2πf_0t}$	$F[e-j2πf0t]=δ(f+f0)$	(36)

W konsekwencji otrzymujemy wzory na widma sygnału kosinusoidalnego i sinusoidalnego o częstotliwości $f_0$ :

$F[ cos(2πf0t)] =F[\frac{ej2πf0t+e-j2πf0t}{2} ]=\frac{1}{2}[ δ(f-f_{0} )+δ(f+f_{0} )]$		(37)
$F[ cos(2πf0t)] =F[\frac{ej2πf0t-e-j2πf0t}{2} ]=\frac{1}{2}[ δ(f-f_{0} )-δ(f+f_{0} )]$

Prążki widmowe występują na częstotliwości $f_0$ i jej lustrzanym odbiciu $–f_0$ .
Ze względu na fakt, że sygnał okresowy można przedstawić szeregiem Fouriera, jako sumę sygnałów harmonicznych o częstotliwościach $F_{n} =n/T_{0}$ , gdzie n=0,1,2,3... a T₀ jest okresem (Rys. 18), widmo takiego sygnału składa się z prążków leżących na częstotliwościach ${\pm F}_n$ (Rys.19).

Rysunek 18 Sygnał okresowy jako suma sygnałów harmonicznych

Rysunek 19 Widmo sygnału okresowego (po dodatniej stronie osi częstotliwości)