Podręcznik
3. Transformata Fouriera (repetytorium)
3.11. Opis układów liniowych w dziedzinie częstotliwości
Układy liniowe o parametrach niezmiennych w czasie są opisane splotem (wzór 10): \(y(t)=x(t)\ast h(t), gdzie h(t)\) – odpowiedz impulsowa układu. Ze wzoru (24) wynika, że widmo sygnału wyjściowego jest iloczynem widma sygnału wejściowego i transformaty Fouriera odpowiedzi impulsowej:
| \(Y\left(f\right)=X\left(f\right)H(f)\) | (38) |
Funkcja \(H(f)\) jest nazywana charakterystyką częstotliwościową układu.
Równanie (38) można przepisać w taki sposób, aby odnosiło się ono do widm amplitudy, gęstości energii i gęstości mocy.
| \(|Y\left(f\right)|=|X\left(f\right)|\cdot |H\left(f\right)|\) | (39) |
| \({|Y\left(f\right)|}^2={|X\left(f\right)|}^2\cdot{|H\left(f\right)|}^2\) | (40) |
| \(G_y(f)=G_x(f)\ H(f)|^2\) | (41) |
Jeśli na wejście układu (filtru) podamy sygnał harmoniczny o częstotliwości \(f_0\), np. \(x(t)=Acos{(}2\pi f_0t+\phi)\) wówczas na wyjściu pojawi się sygnał harmoniczny o tej samej częstotliwości. Na jego amplitudę i fazę będzie miała wpływ wartość charakterystyki częstotliwościowej układu dla częstotliwości \(f_0\). (pomijamy tu stany przejściowe, wszak sygnał harmoniczny rozciąga się w nieskończoność na osi czasu). Amplituda zostanie pomnożona przez \(|H(f_0)|\) a faza przesunięta o \(arg(H(f0))\). Na wyjściu układu otrzymamy sygnał:
| \(y(t)=A|H(f_0)|cos{[}2\pi\ f_0t+\phi+arg{(}H(f_0))]\) | (42) |
Amplitudę i fazę początkową sygnału wejściowego można zapisać jako liczbę zespoloną \(Ae^{j\phi}\) (tzw. amplituda zespolona). Po przejściu przez filtr zostanie ona pomnożona przez \(H(f_0)=|H(f_0)|e^{jarg{(}H(f_0))}=|H(f_0)|e^{j\mathrm{\Psi}(f_0)}\). Amplitudę zespoloną i przebieg czasowy sygnału wyjściowego filtru pokazano na Rys. 20.
Rysunek 20 Metoda amplitud zespolonych
Obecnie proces filtracji przeprowadza się głównie w czasie dyskretnym, przetwarzając ciągi wartości chwilowych (próbek) sygnału. Z tego względu przedstawiono tu filtrację w czasie ciągłym w sposób uproszczony i w skrócie. Filtracja w czasie ciągłym jest jednak niezbędna do ograniczenia pasma sygnału przed procesem próbkowania i do przetworzenia szeregu próbek na sygnał ciągły.