Podręcznik

6.5. Transformata falkowa

W tym ćwiczeniu skorzystamy z narzędzia Matlaba o nazwie „waveletAnalyzer”. Umożliwia ono przeprowadzenie bardzo wielu operacji z użyciem falek. My skoncentrujemy się na obejrzeniu niektórych funkcji falkowych oraz przeprowadzeniu dekompozycji falkowej sygnałów jednowymiarowych.

 

Po wybraniu opcji „WaweletDisplay” mamy możliwość obejrzenia i porównania wielu funkcji falkowych.  Na rys. 6.20. i 6.21. zostały zobrazowane funkcje falkowe Daubechies db2 i db6. Można zaobserwować kształt funkcji macierzystej i falkowej. Im rząd jest wyższy tym funkcja jest bardziej gładka. Przy dekompozycji falkowej należy dobrać kształt funkcji falkowej po kontem swoich potrzeb, albo do konkretnego sygnału. W dole rysunków przedstawione są współczynniki filtrów używanych do dekompozycji i rekonstrukcji falkowej. Widać, że liczba współczynników filtrów zależy od rzędu falki.

 

Rys. 6.20. Funkcje falkowe db2 oraz odpowiadające im filtry używane w procesie dekompozycji i rekonstrukcji

 

 

Rys. 6.21. Funkcje falkowe db6 oraz odpowiadające im filtry używane w procesie dekompozycji i rekonstrukcji

 

Kolejne przykłady przedstawiają dekompozycję falkową sygnałów jednowymiarowych. W pierwszym przykładzie analizowany jest sygnał skoku jednostkowego (rys. 6.21). Dekompozycja została wykonana z użyciem narzędzia  „Wawelet 1-D” . Zastosowaną falką była db2, rozkład przeprowadzono na pięciu poziomach. Mamy więc sygnał aproksymacji a5 (najniższa częstotliwość) oraz pięć sygnałów detali d5 do d1. Detal d1 reprezentuje składową o najwyższej częstotliwości,  a d5 o najniższej. W tym przypadku łatwo zaobserwować, że składowe dekompozycji przypominają kształtem zastosowaną falkę.

 

W drugim przykładzie sygnałem, który został poddany dekompozycji falkowej, jest sygnał zaprezentowany na rys. 6.23. Sygnał ten składa się z połączonych dwóch sygnałów sinusoidalnych. W miejscu połączenia występuje nieciągłość. Drugi sygnał sinusoidalny ma częstotliwość większą niż pierwszy. Zastosowano do dekompozycji falkę db2, a rozkład przeprowadzono na pięciu poziomach. W tym przypadku aproksymacja a5 reprezentuje w zasadzie pierwszy sygnał sinusoidalny o niższej częstotliwości. Natomiast drugi sygnał sinusoidalny został głównie zdekomponowany na detale d4 i d3. W miejscu nieciągłości występują wszystkie częstotliwości.

 

Rys. 6.22. Dekompozycja falkowa sygnału skoku jednostkowego

 

Rys. 6.23. Dekompozycja falkowa dwóch połączonych sinusoid z nieciągłością