Drukuj książkęDrukuj książkę

Podręcznik

Strona: SEZAM - System Edukacyjnych Zasobów Akademickich i Multimedialnych
Kurs: Grafika komputerowa 3D
Książka: Podręcznik
Wydrukowane przez użytkownika: Gość
Data: czwartek, 18 czerwca 2026, 09:19

Spis treści

1. Podstawy teorii barw

Rysunek 1. Rozkład widmowy światła.

Z fizycznego punktu widzenia światło jest sumą energii fal elektromagnetycznych. Długości fal światła widzialnego zawarte są w przedziale od 380nm (dla fioletu) do 780nm (dla czerwieni), co obrazuje rozkład widma na Rys. 1, będący efektem rozszczepienia światła białego. To oznacza, że światło białe jest mieszaniną wszystkich barw z tego spectrum. Ilość energii przypadającej dla każdej długości fali jest reprezentowana przez widmowy rozkład energii P(λ) (Rysunek 1). 


Rysunek 2. Typowy rozkład energii widmowej P(λ) światła.

Światło barwne wywołuje o wiele bogatsze wrażenia wzrokowe niż światło achromatyczne. Ze światłem barwnym związane są trzy podstawowe pojęcia: odcień barwy, nasycenie i jasność. Rozpatrzmy po kolei każde z nich.

Odcień barwy - dotyczy samego koloru, tzn. związany jest z takimi pojęciami jak czerwony, żółty, zielony, pomarańczowy.

Nasycenie - właściwość wrażenia wzrokowego umożliwiająca ocenę udziału barwy chromatycznej, czystej, we wrażeniu ogólnym. Różnicuje ono barwy nasycone i nienasycone (do barw nienasyconych możemy zaliczyć pastele). Określa procentowy udział bieli w barwie (barwy wydają się bledsze, im większy jest udział światła białego w mieszaninie). Przy zmniejszaniu nasycenia barwy do zera, niezależnie od odcienia barwy uzyskamy barwę białą.

Jasność - oznacza achromatyczny opis odbieranej jasności przy obserwacji obiektu odbijającego światło. Jasność jest właściwością wrażenia wzrokowego powodującą, że ciało albo powierzchnia wydaje się przepuszczać lub odbijać większą lub mniejszą część światła padającego. Przy zmniejszaniu jasności niezależnie od odcienia barwy uzyskamy barwę czarną.

Często można się spotkać z czwartym określeniem tzn. z jaskrawością. Jaskrawość związana jest z przypadkiem, gdy nie mamy do czynienia z obiektami odbijającymi światło, ale światło emitującymi.


Rysunek 3. Progi czułości oka w zakresie fal światła widzialnego

Cechą charakterystyczną receptorów odbierających światło jest to, iż czułość receptorów odbierających światło niebieskie jest znacznie mniejsza niż czułość receptorów światła czerwonego i zielonego. Wynika to z tego, że oko ludzkie jest dostosowane do otaczającego nas źródła światła - Słońca, emitującego maksymalną ilość promieniowania w zakresie światła żółtego, tj. ok. 550 nm.

Oko ludzkie może rozróżnić do kilkudziesięciu tysięcy różnych barw zawartych w przestrzeni barw. Aby takie rozróżnienie było możliwe, należy porównywać ze sobą barwy nieznacznie różniące się od siebie.
W przeciwnym przypadku mózg ludzki zarejestruje obie barwy jako identyczne (nawet jeśli ich rzeczywiste barwy znacznie się różnią). Przyczyna tkwi w tym, że człowiek określa kolory na podstawie wywoływanych przez te kolory wrażeń wzrokowych, a nie na podstawie ilościowego wyznaczenia rzeczywistych barw.

W badaniach tego typu sprawdzane są najmniejsze różnice barw, które są dostrzegalne przez oko ludzkie. Porównywalne barwy różnią się od siebie nieznacznie pod względem:

  • Luminancji (jasności)
  • Odcienia barwy 
  • Nasycenia.

Pozwala to określić tzw. progi czułości oka ludzkiego.

Rozdzielczość oka w sensie widzenia barw (progi czułości):

  • Różnica luminancji (jasności) - określa ilość odcieni szarości, które oko ludzkie jest w stanie rozróżnić. Człowiek rozróżnia te odcienie jako jaśniejsze lub ciemniejsze. Rozróżnialnych jest około 40-50 poziomów szarości.
  • Różnica odcieni - określa ilość odcieni, które oko jest w stanie rozróżnić przy w pełni nasyconej barwie. Różnica ta wynosi około 4nm, co powoduje, że jest rozróżnialnych około 150 różnych odcieni.
  • Różnica nasycenia - określa ilość rozróżnianych poziomów nasycenia barwy. Testy takie są prowadzone przy ustalonej wartości jasności i odcienia. Wartość ta zależy przede wszystkim od długości fali dominującej (czyli odcienia) i samego nasycenia. Rozróżnialnych jest około 25 poziomów nasycenia barwy dla odcieni fioletowych lub czerwonych, czyli na krańcach widma. W środku widma ta ilość spada do 20-15 w związku z tym, że w tym zakresie oko posiada większą rozdzielczość w stosunku do odcienia barw.

Modele HSB/HSL/HSV - addytywne modele barw, w których barwy zostały zdefiniowane poprzez ich atrybuty, tzn.: kolor, jasność i nasycenie. Nazwa pochodzi od nazw atrybutów definiujących barwę, tzn.: ang. Hue - odcień, ang. Saturation - nasycenie, ang. Brightnes - jaskrawość, ang. Lightness - jasność, ang. Value - wartość jasności.

Model HLS obejmuje przestrzeń barw zbliżoną do podwójnego stożka, w którym barwy widmowe są rozmieszczone wokół wspólnej podstawy stożków.


Rysunek 5. Model HLS

Na zakończenie zajmijmy się modelem RGB, bezpośrednio odpowiadającym mieszaniu barw trzech rodzajów świecących pikseli na matrycy monitora czy telewizora.


Rysunek 4 – Aplikacja nr 1. Model RGB. Każdą ze składowych R, G, B można zmieniać w zakresie od 0 do 255.
Warto się przyjrzeć, jak wygląda zapis wybranej barwy w modelu HSV i w układzie szestnastkowym (HEX).
Kliknięcie w kolorowe okienko przenosi nas do okna z innymi metodami wyboru barwy.

Rysunek 6. Subpiksele na monitorze LCD.

 

 

 

 

 

 

 

1.1. Modele RGB i CMYK

Rysunek 9. Modele  przestrzeni barw: a) addytywny -  RGB  i  b) subtraktywny -  CMY 

 

Rysunek 7. Model RGB.

Rysunek 8. Sześcian RGB

Rysunek 10. Zasada działania modelu CMY. Światło białe pada na żółtą powierzchnię, która pochłania barwę niebieską.
Światło odbite zawiera już tylko składowe czerwoną i zieloną, obserwator widzi barwę żółta.

Jeśli  teraz zmieszamy farbę Yellow (która pochłania światło niebieskie) z farbą Cyan (która pochłania swiatło czerwone) i z farbą Magenta (która pochłania światło zielone), to otrzymamy farbę, która nie odbija żadnego światła, czyli farbę czarną. I to właśnie obrazuje model CMY.

Rysunek 12. Trójchromatyczne składowe widmowe.

Rysunek 11. Funkcje składowe CIE RGB.
https://en.wikipedia.org/wiki/CIE_1931_color_space#/media/File:CIE1931_RGBCMF.svg

 

http://people.westminstercollege.edu/faculty/ccline/courses/resources/light/D-Color/T-CIE-Color%20Space.pdf

 

Rysunek 13. Wykres chromatyczności CIE i RGB gamut oraz punkt światła białego E.
https://en.wikipedia.org/wiki/CIE_1931_color_space#/media/File:CIE1931xy_CIERGB.svg

 

2. Modelowanie oświetlenia powierzchni

Modelowanie oświetlenia powierzchni

2.1. Odbicie rozproszone

Najprostszym sposobem uzyskania wrażenia oświetlonej, trójwymiarowej powierzchni jest modelowanie odbicia rozproszonego. Odbiciem rozproszonym charakteryzują się powierzchnie matowe, bez połysku, odbijające promień padającego światła w najrozmaitszych kierunkach, co jest spowodowane występującymi na nich mikronierównościami:

Rysunek 14. Odbicie promieni światła na mikronierównościach powierzchni

 

Intensywność światła rozpraszanego zależna jest wyłącznie od kierunku padania światła na powierzchnię: im bardziej prostopadle pada promień światła na powierzchnię, tym silniej jest ono odbijane:


 

Rysunek 15. Intensywność odbicia rozproszonego maleje wraz ze wzrostem kąta padania światła na powierzchnię

 

Intensywność odbicia rozproszonego jest przy tym niezależna od kierunku patrzenia, czyli od położenia obserwatora. Do obliczenia odbicia rozproszonego potrzebne są zatem dwa wersory, czyli wektory o długości jednostkowej, określające kierunek padania promienia i kierunek normalnej do powierzchni. Pierwszy z tych wersorów wyznacza się jako wersor skierowany z danego punktu powierzchni do źródła światła (oznaczany zwykle jako L - od słowa light). Jeśli źródło światła leży w nieskończonej odległości od oświetlonej powierzchni (np. jest to światło słoneczne), mamy do czynienia z tzw. kierunkowym źródłem światła, dla którego wersor L ma stały zwrot i kierunek:

Rysunek 16. Wersor L jest zawsze skierowany do źródła światła

 

Drugim wersorem jest wersor normalny do powierzchni, znany już z wykładu o modelowaniu 3D. Nadal będziemy go oznaczać jako N. Intensywność odbicia rozproszonego, zależna od kąta padania światła na powierzchnię, jest więc funkcją kąta pomiędzy tymi dwoma wersorami.

Zgodnie z prawem fizyki, znanym jako prawo Lamberta, intensywność odbicia rozproszonego jest funkcją cosinusa kąta między wersorami N oraz L:

 

\(I_d=I_pk_d\cos{\theta}\)

 

Rysunek 17. Wersory niezbędne do wyznaczenia intensywności odbicia rozproszonego

gdzie:

Ip - intensywność światła padającego

Id - intensywność światła odbitego (rozpraszanego - ang. diffuse)

kd - współczynnik odbicia rozproszonego, zawarty w przedziale <0, 1>, określający, jaka część światła padającego jest rozpraszana.

Ponieważ N oraz L są wersorami (czyli mają długość jednostkową), to wartość cosinusa kąta między nimi można - zgodnie z regułami matematyki - zastąpić ich iloczynem skalarnym, czyli:

 

\(I_{d} =I_{p} k_{d}( N\cdot L)\)

 

W ten sposób otrzymujemy niezwykle prosty wzór, pozwalający na szybkie w obliczeniach uzyskanie wrażenia oświetlonej powierzchni 3D. Wpływ współczynnika odbicia rozproszonego kd na intensywność odbitego światła zilustrowano na Rys. 18.

 

Rysunek 18. Wpływ współczynnika odbicia rozproszonego na wygląd oświetlonej powierzchni

 

Symulując odbicie rozproszone możemy spotkać się z sytuacją, gdy rzuty dwóch równoległych płaszczyzn będą się nakładać w obrazie. Nie będzie można ich wówczas rozróżnić, gdyż obie będą miały ten sam wersor normalny. W celu ominięcia tej niedogodności  wprowadzono współczynnik tłumienia źródła światła, pozwalający wyznaczać intensywność odbicia w zależności od odległości \((d_{L})\)
 oświetlonego obiektu od źródła światła. Najczęściej używa się wzoru

 

\(I_{d} =f( d_{L}) I_{p} k_{d}( N\cdot L)\)

 

gdzie współczynnik tłumienia \(f( d_{L})\)  jest liczony z zależności empirycznej:

 

\(f\left(d_L\right)=min\left(\frac{1}{c_1+c_2d_L+c_3d_L^2}\ ,\ 1\right)\)

 

Wzór ten zapewnia, że współczynnik tłumienia nie przekroczy wartości 1, niezależnie od sposobu liczenia wielkości \(d_{L}\) . Wielkość ta jest odległością powierzchni od źródła światła; najlepiej jest liczyć ją w sposób względny, tak by na powierzchni znajdującej się najbliżej źródła światła tłumienie nie następowało.

 

Uogólnieniem modelu Lamberta, lepiej oddającym  własności odbijające mikronierówności, jest model odbicia rozproszonego Orena-Nayara http://en.wikipedia.org/wiki/Oren%E2%80%93Nayar_reflectance_model

 

 

2.2. Odbicie lustrzane

Przeciwieństwem powierzchni matowych, rozpraszających światło, są powierzchnie idealnie lustrzane (zwierciadlane). Odbijają one promień światła tylko w jednym kierunku, zgodnie z powszechnie znanym prawem fizyki:

Rysunek 19. Powierzchnia idealnie błyszcząca: kąt padania równa się kątowi odbicia. R jest wersorem  promienia odbitego.

Jeśli więc powierzchnia jest idealnym lustrem, to spośród wielu promieni wychodzących ze źródła światła do obserwatora stojącego w wybranym punkcie trafia tylko jeden z nich; obserwator widzi więc na takiej powierzchni tylko jeden (!) jasny punkt - ten, w którym spełniona jest równość kątów padania i odbicia (Rys. 10.11). Jeśli obserwator się przesunie, ten jedyny jasny punkt przesunie się wraz z nim.

 

Powierzchnie rzeczywiste nie są nigdy idealnymi lustrami i odbijają cały stożek promieni wokół promienia idealnie odbitego: im mniej błyszcząca powierzchnia, tym większy kąt rozwarcia tego stożka:

 

Rysunek 20.Powierzchnie lustrzane o różnym stopniu połysku: a) powierzchnia bardziej błyszcząca; b) powierzchnia mniej błyszcząca

 

Na powierzchni błyszczącej, ale nie będacej idealnym lustrem obserwator widzi więc nie jeden jasny punkt, ale błyszczącą plamkę świetlną, tzw. odblask (ang. highlight), który przesuwa się wraz z obserwatorem i daje wrażenie połysku na powierzchni:

Rysunek 21. Odblask na powierzchni ma wielkość zależną od stopnia połysku i przesuwa się wraz obserwatorem

 

 

2.2.1 Metoda Phonga

Intensywność odbicia lustrzanego jest więc maksymalna wówczas, gdy obserwator stoi na kierunku promienia odbitego, zaś bardzo szybko maleje, gdy obserwator oddala się od tego kierunku. Zależność tę modeluje się zgodnie ze wzorem empirycznym zaproponowanym przez Bui-Tuong Phonga w 1975 r.:

 

\(I_s=I_pk_s{cos}^n\alpha\)

 

gdzie:

Ip - intensywność światła padającego

Is - intensywność odbicia lustrzanego (ang. specular)

ks - współczynnik odbicia lustrzanego, zawarty w przedziale <0, 1>, określający, jaka część światła padającego jest odbijana

n - stopień połysku powierzchni.

Zamiast cosinusa kąta pomiędzy wersorem promienia odbitego R a wersorem skierowanym do obserwatora V można obliczyć ich iloczyn skalarny, analogicznie jak poprzednio:

 

\(​​​​​​I_{s} =I_{p} k_{s}( V\cdot R)^{n}\)

 

Sam zaś wersor promienia odbitego R wyznacza się z zależności:

 

\(\mathbf{R} =\mathbf{2N} (\mathbf{N} \cdot \mathbf{L} )-\mathbf{L}\)

 

Rysunek 22. Wersory niezbędne do wyznaczenia intensywności odbicia lustrzanego metodą Phonga

Wykładnik potęgi w tym wzorze nazywany jest współczynnikiem połysku - im większa jego wartość, tym powierzchnia bardziej zbliżona jest do idealnego lustra, któremu odpowiada nieskończenie wielka wartość tego współczynnika:

Rysunek 23. Wpływ współczynnika połysku na wartość potęgi funkcji cosinus

Przykłady powierzchni o różnym stopniu połysku, zamodelowanych zgodnie z tymi zależnościami, obrazuje rysunek 24:

Rysunek 24. Wpływ współczynnika połysku i współczynnika odbicia lustrzanego na wygląd oświetlonej powierzchni

 

2.2.2 Ulepszona metoda Phonga

Tzw. ulepszona metoda Phonga polega na wykorzystaniu wersora H leżącego na dwusiecznej kąta pomiędzy wersorami skierowanymi do źródła światła i do obserwatora:

\(I_s=I_pk_s\left(\mathbf{N}\cdot\mathbf{H}\right)^n\)

gdzie:

\({\mathbf{H}}=\frac{\mathbf{L}+\mathbf{V}}{\left|\mathbf{L}+\mathbf{V}\right|}\)

Rysunek 25, Wersory niezbędne do wyznaczenia intensywności odbicia lustrzanego ulepszoną metodą Phonga

Metoda nie jest dokładnym odpowiednikiem poprzedniej (kąt między wersorami N i H jest na ogół połową kąta między wersorami Vi R) ale równie dobrze symuluje powierzchnię lustrzaną, a jej ulepszenie odczuwalne jest wówczas, gdy źródło światła i obserwator są w nieskończoności - wtedy wersor H jest stały. Dlatego w tej właśnie postaci najczęściej modeluje się połysk na powierzchni.

Modelując oświetlenie rzeczywistej powierzchni należy uwzględnić zarówno odbicie rozproszone, jak i lustrzane. Aby zaś obiekt dał się odróżnić od tła, uwzględnia się dodatkowo tzw. światło otoczenia:

 

\(I_0=I_ak_a\)

gdzie:

Ia - intensywność światła otoczenia (ang. ambient), stała dla wszystkich obiektów modelowanej sceny

ka - współczynnik odbicia światła otoczenia, zawarty w przedziale <0, 1>, określający, jaka część światła otoczenia jest odbijana.

Łączny model odbicia światła zawiera wszystkie te trzy składowe:

 

\(I=I_ak_a+I_pk_d\left(\mathbf{N}\cdot\mathbf{L}\right)+I_pk_s\left(\mathbf{N}\cdot\mathbf{H}\right)^n\)

 

Rysunek 26 – Aplikacja nr 2. Odbicie rozproszone, lustrzane i otoczenia na powierzchni kuli o wybranej barwie.
Powierzchnię można oświetlać z różnych kierunków, przesuwając myszką symboliczne białe słoneczko.

 

Należy podkreślić, że symulując odbicie rozproszone bierze się pod uwagę barwę obiektu, zatem obliczenia składowej rozproszonej wykonuje się dla każdej składowej barwy osobno. Natomiast odbicie zwierciadlane przyjmuje na ogół barwę światła padającego. Powyższe zasady można też zastosować do kilku źródeł światła - uzyskuje się wówczas dodatkowe efekty, ale trzeba dbać (wykonując odpowiednie przeskalowania), aby wynikowa jasność światła odbitego od powierzchni nie przekroczyła maksymalnej możliwej jasności piksela. Poniższa animacja, napisana w WebGL, obrazuje te możliwości:

Rysunek 27 – Aplikacja nr 3. Obiekt oświetlony trzema różnobarwnymi źrodłami światła.
Odblask na powierzchni ma barwę światła padającego.

 

3. Animacja z użyciem szkieletów

Najbardziej zaawansowanym zagadnieniem w animacji jest animacja postaci- niezwykle obszerna dziedzina wymagająca wielu wyspecjalizowanych funkcji. Jednym z nich jest modelowanie szkieletów, połączone z nakładaniem mięśni i skóry. Dzięki zaawansowanym narzędziom animując zginanie nogi nie musimy martwić sie o ułożenie skóry, czy ubrania - program uwzględni wszystkie zależności.

 

Szkielet jest hierarchicznym systemem kości (obiektów reprezentowanych w największym uproszczeniu odcinkami) połączonych ze sobą stawami (przegubami)) o określonej liczbie stopni swobody (np. możliwych przesunięć i obrotów). Szkielet po zdefiniowaniu systemu kości i ich wzajemnych zależności poddaje się oblekaniu skórą (tzw. skining), co polega na przypisaniu szkieletowi wierzchołków definiujących obiekty geometryczne związane z tymi szkieletami. W efekcie tego poruszenie kości wywołuje przemieszczenie tychże wierzchołków, dzięki czemu skóra ulega deformacji odpowiednio do ruchu szkieletu.

 

Animacja postaci wymaga zastosowania nie tylko systemu kinematyki prostej (FK - Forward Kinematics), w której ruch kości nadrzędnej jest przenoszony na ruch kości podrzędnych, ale przede wszystkim znacznie bardziej złożonego w obliczeniach systemu kinematyki odwrotnej (IK - Inverse Kinematics). Oznacza to, że w hierarchicznej strukturze kości ruchy kości podrzędnych są przeliczane na ruch kości stojących wyżej w hierarchii - np. ruchy stopy powodują odpowiednie ruchy kolan i kości udowych. Obliczenia muszą uwzględniać wszelkie ograniczenia nałożone na zakres ruchów poszczególnych elementów szkieletu, płaszczyzny ich ruchów itp.

Definiowanie szkieletów stosuje się w grafice komputerowej nie tylko w stosunku do postaci ludzi i zwierząt, ale także do animacji wszelkich przedmiotów, którym chce się nadać ruchy naśladujące ruchy istot żywych. Zasady kinematyki odwrotnej stosowane są też przy symulacji ruchów różnego rodzaju mechanizmów, np. robotów.

 

Rysunek 76. Kubuś Puchatek z systemem kości  - praca Pawła Pioruna

 

Prezentowane tutaj przykłady animacji postaci z systemem kości zostały wykonane w Blenderze przez studentów Wydziału Mechatroniki; raporty wraz z filmami umieszczone są w osobnym katalogu dołączonym do Modułu 2.

 

Rysunek 77. Pokemon Eevee z systemem kości
- praca Aleksandry Zając

Rysunek 78. Postać z Rhino z systemem kości
- praca Zuzanny Urbańskiej

 

 

 

 

4. Usuwanie punktów i ścian niewidocznych

Usuwanie punktów i ścian niewidocznych (lub odwrotnie: określanie, które są widoczne) jest fundamentalną potrzebą w grafice komputerowej, wystarczająco wyjaśnioną na poniższych rysunkach:

 

Rysunek 28. Określanie powierzchni widocznych

 

 

Rysunek 29. Kolejny przykład określania powierzchni widocznych

 

 

4.1. Usuwanie ścian tylnych

Jeśli obiekt jest wielościanem lub siatką wielościanową, nie ma potrzeby wykonywania obliczeń ani renderowania ścian niewidocznych dla obserwatora.

 

Rysunek 30. Zasada usuwania ścian tylnych - wszystkie ściany z oznaczonymi wersorami normalnymi są zwrócone tyłem do obserwatora, więc mogą być  od razu usunięte.

 

Najprostszą metodą identyfikacji tylnej ściany jest sprawdzenie warunku określonego przez iloczyn skalarny:

 

V • N < 0

 

W przypadku gdy ten warunek jest spełniony, ściana jest zwrócona tyłem do obserwatora, jest więc dla obserwatora niewidoczna.

4.2. Algorytm z z-buforem

Algorytm z z-buforem, nazywany też często buforem głębokości (ang. depth buffer), opracowany przez Catmulla, jest najprostszym algorytmem usuwania punktów niewidocznych, toteż jest powszechnie stosowany w realizacji sprzętowej (i również bardzo prosty w implementacji programowej). Może być używany do renderingu dowolnego obiektu, jeżeli dla każdego punktu rzutu można obliczyć barwę i wartość z. Algorytm z z-buforem nie wymaga, aby obiekty były wielokątami.

Algorytm z z-buforem wymaga korzystania obok pamięci obrazu z z-bufora, czyli tablicy o takiej samej liczbie pozycji, jak pamięc obrazu; w z-buforze pamiętana jest wartość z dla każdego piksela.

W fazie początkowej z-bufor jest wypełniany minimalną głębokością, co odpowiada zapamiętaniu wartości z dla tylnej ściany obcinającej scenę, czyli dla najdalej od obserwatora połozonego elementu sceny, a do bufora obrazu jest wpisywana barwa tła. Największa wartość, jaka może być wpisana w z-buforze, reprezentuje z dla przedniej ściany obcinającej. Obiekty są przeglądane punkt po punkcie, np. wielokąty są przeglądane wierszami, powierzchnie są przeglądane wzdłuż linii stałego parametru. Kolejność przeglądania obiektów, wielokątów jest dowolna. Jeżeli rozpatrywany punkt (x, y) nie leży dalej od obserwatora niż punkt, którego barwa i głębokość są zapisane w buforach, to nowa barwa i głębokość zastępują stare wartości.

 

Rysunek 31. Zasada działania z-bufora; wszystkie punkty zaznaczone na czerwono zamalowują ten sam piksel ekranu.

 

W pamięci obrazu i w z-buforze są zapisywane informacje związane z największą wartością z napotkaną dotychczas dla każdego (x, y). Dlatego obiekty (wielokąty) pojawiają się na ekranie w kolejności, w jakiej są przetwarzane.

Warto podkreślić, że jeśli przyjmiemy inny niż przyjęty na Rys. 31 układ współrzędnych, w którym oś z będzie skierowana w głąb ekranu, wówczas należy odpowiednio zmodyfikować algorytm: z- bufor wypełnić największą możliwą wartością z i relację "większy niż " zamienić na relację "mniejszy niż".

 

Prześledźmy działanie z-bufora na poniższym rysunku, przy założeniu, że przetwarzane obiekty są trójkątami. W górnej części rysunku z lewej strony mamy pusty z-bufor. Pośrodku znajduje się tablica z określonymi wartościami z trójkąta. Po prawej stronie otrzymamy z-bufor po przeprowadzeniu operacji dodania trójkąta do z-bufora. W dolnej części z lewej strony mamy wynikowy z-bufor z górnej części. Pośrodku tablica z określonymi wartościami z drugiego trójkąta. Po prawej stronie mamy wynik dodania go do z-bufora:

 

Rysunek 32. Zasada działania z-bufora na przykładzie dwóch trójkątów

Jeżeli przetwarzamy wielokąty, to można uprościć obliczanie z dla każdego punktu w przeglądanym wierszu korzystając z faktu, że wielokąt jest płaski. Zazwyczaj w celu obliczenia z powinniśmy rozwiązać równanie płaszczyzny:

\(Ax+By+Cz+D=0\)

dla zmiennej z ma postać

 

\(z=\frac{-D-Ax-Bz}{C}\)

 

Jeżeli w punkcie (x, y) z powyższego równania otrzymamy z1, to w punkcie 

(x +∆ x, z)

wartość z wynosi

\(z_1-\frac{A}{C}(∆x)\)

W przypadku, gdy znamy z(x, y), to do obliczenia

 z(x + 1, y)

będziemy musieli wykonać tylko jedno odejmowanie, ponieważ iloraz  

\(\frac{A}{C}=const\ \ \ \ \ i\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ∆x=1\)

W celu obliczenia pierwszej wartości z w następnym przeglądanym wierszu należy wykonać podobne obliczenie przyrostowe, zmniejszając z o 

   \(\frac{B}{C}\)

dla każdego

 

 

 

W przypadku, gdy płaszczyzna nie została określona, albo gdy wielokąt nie jest płaski, to wówczas z(x, y) można określić interpolując współrzędne z wierzchołków wielokąta wzdłuż par krawędzi, a potem wzdłuż każdego przeglądanego wiersza.

Rysunek 33.. Interpolacja wartości z wzdłuż krawędzi wielokąta i wierszy przeglądania.

W powyższej sytuacji za jest interpolowane między z1 i z2, zb między z1 i z3 a zp między za i zb.

Poszczególne punkty wyznaczymy z poniższych zależności:

 

\(z_a=z_1-\left(z_1-z_2\right)\frac{y_1-y_s}{y_1-y_2}\)

\(z_b=z_1-(z_1-z_3)\frac{y_1-y_s}{y_1-y_3}\)

\(z_p=z_b-(z_b-z_a)\frac{x_b-x_p}{x_b-x_a}\)

 

Możemy tu także wykorzystać obliczenia przyrostowe. Zauważmy, że barwa piksela nie musi być obliczana, jeżeli warunkowe określanie widoczności piksela nie jest spełnione. Zatem jeżeli obliczenia związane z cieniowaniem są czasochłonne, można zwiększyć efektywność wykonując zgrubne sortowanie obiektów. Sortowanie pozwoli posegregować je według kryterium od najbliższego do najdalszego, a następnie będzie można najpierw wyświetlać najbliższe obiekty. Czas zajmowany przez obliczenia z użyciem z-bufora jest w przybliżeniu niezależny od liczby wielokątów w obiektach. Dzieje się tak, ponieważ średnio liczba pikseli pokrytych przez każdy wielokąt zmniejsza się wraz ze wzrostem liczby wielokątów w bryle widzenia.

 

Na zakończenie pouczająca aplikacja (Rysunek 34), która pokazuje efekty wyświetlania obiektów z z-buforem i bez:

 

Rysunek 34 - Aplikacja nr 4 ilustrująca efekty działania algorytmu z z-buforem.
Efekty 3D zobaczymy po włączeniu oświetlenia i przemieszczeniu obiektów.

 

 

 

5. Cieniowanie siatek wielościanowych

Z rozdziału 1 wynika, że dowolną pocieniowaną powierzchnię możemy uzyskać obliczając wersor normalny do powierzchni w każdym widocznym punkcie i stosując odpowiedni model oświetlenia w tym punkcie. Uzyskanie takiego efektu może być jednak bardzo kosztowne, zwłaszcza jeśli chcemy pocieniowaną powierzchnię poddawać przekształceniom w czasie rzeczywistym (obroty itp.). Jeżeli powierzchnia złożona jest z wielokątów, cieniowanie jej można uprościć i przyśpieszyć stosując metody interpolacji.

 

5.1. Cieniowanie płaskie

Najprostszy model cieniowania wielokąta, określany często jako cieniowanie płaskie (ang. flat) polega na wyświetlaniu go ze stałą wartością intensywności. Rozwiązanie to jest poprawne przy spełnieniu poniższych warunków:

  • Źródło światła jest w nieskończoności, zatem iloczyn N·L jest stały na całej powierzchni wielokąta. 
  • Obserwator jest w nieskończoności, zatem N·V jest stałe na całej powierzchni.
  • Wielokąt reprezentuje powierzchnię modelowaną i nie jest aproksymacją powierzchni krzywoliniowej.

W przypadku aproksymacji powierzchni krzywoliniowej za pomocą siatki wielokątowej cieniowanie płaskie ukazuje wyraźnie strukturę tej siatki; co więcej, można odnieść wrażenie, że wielokąty nie są płaskie, a wgłębione pośrodku (Rys. 35).

 

Rysunek 35. Cieniowanie płaskie.

 

Ten tzw. efekt muszelkowatości jest wynikiem występowania zjawiska Macha , które uwypukla zmianę jasności na każdej krawędzi, w miejscu występowania nieciągłości amplitudy lub pochodnej. Efekt ten uwidacznia się na krawędzi między dwiema ścianami, tzn. ciemna ściana wygląda ciemniej, a jasna jaśniej.

 

Rysunek 36. Przykład rzeczywistej i postrzeganej jasności dla efektu pasm Macha.

 

 

5.2. Cieniowanie Gourada

Jeżeli zależy nam, by ukryć siatkową strukturę powierzchni, można zastosować prostą zasadę interpolowania jasności, znaną jako cieniowanie Gourauda (Rys. 37).

 

Rysunek 37. Cieniowanie Gourauda.

 

Obiekty wyglądają na gładkie, chociaż można zauważyć jasne, mało widoczne pręgi na stożku; są one pasmami Macha powodowanymi przez szybkie, chociaż nie nieciągłe zmiany nachylenia krzywej jasności.  cieniowanie Gourauda nie eliminuje więc całkowicie takich zmian jasności, ale wydatnie je zmniejsza. 

 

W procesie cieniowania wymagana jest znajomość normalnej dla każdego wierzchołka  siatki wielokątowej, które możemy obliczyć bezpośrednio z analitycznego opisu powierzchni. W przypadku, gdy normalne dla wierzchołków nie są zapisane z siatką i nie mogą być określone bezpośrednio dla bieżącej powierzchni, Gouraud zaproponował, aby je aproksymować na zasadzie uśredniania normalnych do powierzchni wszystkich ścian wielokątowych, dla których rozpatrywany  wierzchołek jest wspólny.

 

Rysunek 38. Uśredniona normalna Nv

 

Zatem uśredniona normalna Nv jest równa (dla przedstawionego przypadku):

 

\({\mathbf{N}}=\frac{\mathbf{N}_\mathbf{1}+\mathbf{N}_\mathbf{2}+\mathbf{N}_\mathbf{3}+\mathbf{N}_\mathbf{4}}{\left|\mathbf{N}_\mathbf{1}+\mathbf{N}_\mathbf{2}+\mathbf{N}_\mathbf{3}+\mathbf{N}_\mathbf{4}\right|}\)

 

W kolejnym kroku cieniowania Gourauda należy znaleźć jasności w wierzchołkach wykorzystując do tego normalne w wierzchołkach za pomocą wybranego modelu oświetlenia. Ostatecznie każdy wielokąt jest cieniowany na zasadzie interpolacji liniowej między wierzchołkami wzdłuż każdej krawędzi, a następnie między krawędziami wzdłuż każdego przeglądanego wiersza,  w taki sam sposób jak przy interpolowaniu wartości z w algorytmie z z-buforem. 

 

Rysunek 39. Interpolowanie jasności wzdłuż krawędzi wielokąta i przeglądanych wierszy.

Poszczególne jasności wyznacza się za pomocą równań:

\(I_a=I_1-(I_1-I_2)\frac{y_1-y_s}{y_1-y_2}\)

\(I_b=I_1-(I_1-I_3)\frac{y_1-y_s}{y_1-y_3}\)

\(I_p=I_b-(I_b-I_a)\frac{x_b-x_p}{x_b-x_a}\)

 

 

 

 

 

5.3. Cieniowanie Phonga

Gdybyśmy wykorzystali cieniowanie Gourauda w połączeniu z modelem odbicia lustrzanego, mogłoby dojśc do gubienia odblasków pochodzących od źródeł światła. Dopiero metoda Phonga zapewnia poprawne odwzorowanie odblasków oraz eliminację efektu Macha.

Cieniowanie Phonga określane jest również jako cieniowanie z interpolacją wektora normalnego. W metodzie tej zamiast jasności interpolowany jest wektor normalny N do powierzchni. Wektory normalne są interpolowane wzdłuż krawędzi wielokąta na podstawie normalnych w wierzchołkach, obliczonych w razie potrzeby w sposób omówiony dla przypadku cieniowania Gourauda.

 

Rysunek 40. a) Cieniowanie Gourauda; b) cieniowanie Phonga - dla tego samego modelu oświetlenia (model Phonga, czyli powierzchnia błyszcząca)

 

Interpolacja wzdłuż krawędzi może być dokonana za pomocą obliczeń przyrostowych. Wszystkie trzy składowe wektora normalnego są inkrementowane przy przejściu od przeglądanego wiersza do następnego przeglądanego wiersza. Dla każdego piksela wzdłuż przeglądanego wiersza interpolowana normalna jest normalizowana. Na koniec wykonuje się nowe obliczenie jasności za pomocą dowolnego modelu oświetlenia.

Cieniowanie Phonga daje istotne polepszenie w stosunku do cieniowania Gourauda. Wynika to z lepszego  reprodukowania odblasków na błyszczącej powierzchni.

 

 

 

5.4. Porównanie metod

Rozpatrzmy sytuację, w której n występującemu w członie cosnα cieniowania Phonga oświetlenia przypiszemy dużą wartość i dla jednego wierzchołka określimy bardzo mały kąt α, natomiast dla każdego z sąsiednich wierzchołków kąt α jest duży. Wynikają z tego następujące wnioski:

  • Jasność związana z wierzchołkiem, dla którego kąt α określiliśmy jako niewielki, będzie odpowiednia dla odblasku, a dla innych jasności pojawią się wartości, nie odpowiadające odblaskowi.
  • Po zastosowaniu metody cieniowania Gourauda jasność wzdłuż wielokąta jest liniowo interpolowana między jasnością odblasku a mniejszymi jasnościami sąsiednich wierzchołków, rozprzestrzeniając odblask po powierzchni wielokąta.

Przy wykorzystaniu normalnych interpolowanych liniowo do obliczenia czynnika cosnα w każdym pikselu, mamy do czynienia z ostrym spadkiem jasności odblasku (Rys. 41 b).

 

Rysunek 41. Odblask w lewym wierzchołku:  a) Cieniowanie Gourauda, b) cieniowanie Phonga

W przypadku, gdy odblask nie trafi na wierzchołek, cieniowanie Gourauda może je całkowicie pominąć. Dzieje się tak, ponieważ żaden punkt wewnętrzny nie może być jaśniejszy od najjaśniejszego wierzchołka, od którego zaczyna się interpolacja.

Natomiast w metodzie cieniowania Phonga możliwe jest prawidłowe odwzorowanie odblasku wewnątrz wielokąta.

Rysunek 42. Odblask wewnątrz wielokąta: a) Cieniowanie Gourauda, b) cieniowanie Phonga.

Innym przykładem jest Aplikacja nr 5 (Rysunek 43). Każda ściana wirującego czworościanu jest wyświetlana stopniowo przechodzącymi w siebie barwami, wynikającymi z interpolacji barw w wierzchołkach.

Rysunek 43. Cieniowanie czworokąta oświetlonego trzema kolorowymi źródłami światła  metodą Gourauda i Phonga - do wyboru.

Wykorzystanie dla modelu oświetlenia interpolacji wektora normalnego daje większe korzyści wizualne niż wykorzystanie interpolacji jasności, przy pominięciu współczynnika odbicia zwierciadlanego. Zaletą zastosowania interpolacji wektora normalnego jest w większości przypadków redukcja problemu pasm Macha. Jednakże w wyniku takiego postępowania znacznie zwiększa się koszt cieniowania w bezpośredniej implementacji, ponieważ interpolowana normalna musi być normalizowana za każdym razem, gdy jest używana w modelu oświetlenia.

Wyznaczone normalne związane z wierzchołkami mogą nie reprezentować dokładnie geometrii powierzchni. Rozpatrzmy poniższy książkowy przykład. Jeżeli obliczymy normalne związane z wierzchołkami na zasadzie uśredniania normalnych do powierzchni mających wspólny wierzchołek, to wszystkie normalne związane z wierzchołkiem będą do siebie równoległe. W efekcie otrzymamy niewielką zmianę jasności sąsiednich powierzchni albo jej brak w przypadku cieniowania dla odległego źródła światła. Rozwiązaniem problemu może być dalsza dekompozycja wielokątów przed obliczeniem normalnej związanej z wierzchołkiem.

Rysunek 44. Wszystkie normalne związane z wierzchołkami są do siebie równoległe

 

 

 

6. Nakładanie cieni

  1. Wyznaczenie cieni rzucanych przez obiekt (poprzez rzutowanie powierzchni zwróconych przodem do źródła światła) oraz zacienionych fragmentów obiektów - zależne tylko od położenia źródła światła. Zacienione wieloboki wyznacza się jako zwrócone tyłem do źródła światła. Są osobno oznaczane i dołączane do struktury opisującej obiekt.
  2. Wyznaczenie obrazu obiektu widzianego z pozycji obserwatora, z usunięciem wieloboków niewidocznych.
 Zasada ogólna: powierzchnie widoczne ze źródła światła nie są w cieniu, natomiast te, które nie są widoczne, znajdują się w cieniu.

 

Rysunek 45. Metoda z bryłą cienia

 

Rysunek 46. Przykłady generowania cieni w  Rhinoceros.

 

Rysunek 47. a) ray traced shadows; b) soft shadows; c) area shadow maps.

 

 

 

 

7. Odwzorowywanie tekstur

Odwzorowanie tekstury może służyć do modyfikacji pewnych właściwości obiektu, takich jak:

  • Kolor powierzchni
  • Wektor normalny powierzchni
  • Współczynnik połysku powierzchni
  • Współczynnik przezroczystości
  • Cienie, przesunięcie powierzchni
  • Lokalne układy współrzędnych

Współrzędne tekstury są w takich przypadkach związane ze współrzędnymi obiektu.

Tekstura może byc też wykorzystywana do opisu oświetlenia sceny. Nie jest wówczas związana z żadnym obiektem sceny, ale z umowną sferą o nieskończonym promieniu, w której centrum znajduje się scena. Ten rodzaj tekstury nazywany jest odwzorowaniem środowiska.

Przy wykorzystywaniu tekstur w systemach komputerowej generacji obrazu pojawiają się następujące problemy, które dalej zostaną omówione:

  • Problem generowania wzorca tekstury
  • Problem odwzorowania geometrycznego tekstury
  • Problem filtrowania tekstury

Istnieją dwa sposoby opisu tekstury w systemach komputerowej generacji obrazu, tzn.:

proceduralny - w postaci funkcji matematycznej lub zestawu parametrów dla określonej klasy funkcji

jawny - w postaci tablicy wartości funkcji tekstury

Szeroko rozpowszechnionymi klasami funkcji stosowanymi do proceduralnego generowania tekstur są szeregi fal sinusoidalnych, funkcje fraktalne czy procesy stochastyczne. Każda funkcja opisana proceduralnie może być stablicowana dla określonej części dziedziny funkcji i z określoną precyzją (tzw. gęstością próbek).

Po wygenerowaniu tekstury powstaje problem jej poprawnego odwzorowania na obraz obiektu na ekranie. W procesie odwzorowania tekstury na obraz obiektu możemy wyróżnić dwa etapy:

Parametryzację - etap polegający na określeniu przekształcenia przestrzeni tekstury w przestrzeń obiektu

Projekcję - etap polegający na odwzorowaniu obiektów na przestrzeń ekranu

Powszechnie stosowane odwzorowanie przestrzeni tekstury 2D na powierzchnię obiektu wykonywane jest najczęściej zgodnie ze schematem:

 

Rysunek 48. Odwzorowanie tekstury od piksela do mapy (tablicy) tekstury

 

Przeglądanie w przestrzeni ekranu, nazywane także odwzorowaniem odwrotnym, jest najczęściej stosowaną metodą, w której dla każdego piksela w przestrzeni ekranu jest wyznaczany jego obraz źródłowy w przestrzeni tekstury. Jest on następnie filtrowany dając wartość tekstury dla danego piksela. Przy stosowaniu tej metody wymaga się znajomości odwzorowania odwrotnego, tzn. z przestrzeni ekranu do przestrzeni tekstury, niezbędnego do wyznaczenia obrazu źródłowego piksela. Ponadto niezbędny jest bezpośredni dostęp do tablicy tekstury.

Odwzorowanie odwrotne można również wykonać na etapie parametryzacji, przechodząc z przestrzeni tekstury do przestrzeni obiektu.

 

Rys. 11.7. Tablica opisująca teksturę, złożona z tzw. tekseli (elementów tekstury) o współrzędnych (s,t)

 

Ten rodzaj odwzorowania, powszechnie znany pod nazwą "bump mapping" jest szczególnie efektowny, a zarazem bardzo prosty od strony algorytmicznej. Efekt pofałdowań na powierzchni uzyskuje się wyłącznie poprzez zaburzenia wersora normalnego do powierzchni - wynikająca stąd zmiana odbicia rozproszonego i ew. lustrzanego wystarcza do uzyskania wrażenia wklęsłych i wypukłych miejsc na powierzchni.

Rysunek 49. Zasada symulowania wypukłości na płaskiej powierzchni

Dla powierzchni P(u, v)  definiuje się funkcję zaburzającą T(u, v), tzw. mapę wypukłości. Funkcja ta określa zaburzenia powierzchni w kierunku wektora normalnego:

 

\(P"( u,v) =P( u,v) +T( u,v)\frac{N}{|N|}\)

 

Po wyznaczeniu wektora normalnego dla tak zaburzonej powierzchni i pominięciu mało znaczących członów otrzymuje się prostą zależność:

 

\(N^{\prime }( u,v) =\mathbf{N} +\frac{\partial T}{\partial u} \ \frac{\mathbf{N} \times \partial \mathbf{P} /\partial v}{| \mathbf{N}| } +\frac{\partial \mathbf{T}}{\partial v} \ \frac{\mathbf{N} \times \partial \mathbf{P} /\partial u}{| \mathbf{N}| }\)

 

Funkcją zaburzającą T (u,v ) może być dowolna funkcja, dla której da się policzyć pochodne. Jeśli wzór wypukłości jest zdefiniowany niematematycznie, za pomocą tablicy, to wartości pośrednie wyznacza się stosując biliniową interpolację, a pochodne funkcji zaburzającej - metodą różnic dzielonych. W szczególności funkcją zaburzającą może być dowolna mapa bitowa, pełniąca podwójną rolę - jako wzór płaski i jako mapa zaburzeń. Działanie algorytmu bump mapping można przeanalizować w następującej  aplikacji:

 

Rysunek 50. Odwzorowywanie wypukłości na powierzchni kuli.

 

 

7.1. Displacement mapping

Bardziej zaawansowaną metodą odwzorowania wypukłości jest metoda displacement mapping, czyli  odwzorowywania przemieszczeń. Wierzchołki renderowanej geometrii (siatki wierzchołków) podlegają modyfikacji zgodnie z mapą przemieszczeń – co pozwala kształtować rzeczywiste wypukłości, zasłaniające się wzajemnie, rzucające cienie itp. – jest to technika znacznie kosztowniejsza niż bump mapping, ale znacznie podnosząca realistyczny wygląd sceny.

Oba zaprezentowane powyżej aplety dawały możliwość tzw. filtrowania tekstur. Bez tej możliwości trudno uzyskać poprawne efekty w sytuacji, gdy wiele tekseli (elementów mapy tekstury) trafia w wyniku odwzorowania w jeden i ten sam obszar obiektu. Dzieje sie tak na przykład przy rzutowaniu perspektywicznym; Kolejny aplet ukazuje najbardziej typową sytuację:

 

Rysunek 51. Różne rodzaje filtrowania tekstur dostępne w OpenGL

 

Rysunek 52. Kolor teksturowanego piksela jest wynikiem obliczenia wartości średniej ważonej kolorów czterech elementów tekstury, które znajdują się najbliżej środka teksturowanego piksela.
Współczynniki wagowe poszczególnych tekseli wyznaczane są w zależności od ich odległości od analizowanego piksela.

 

Może też zdarzyć się sytuacja odwrotna: gdy jeden teksel pokrywa kilka pikseli na ekranie Powyższe efekty odwzorowywania nazywają się, odpowiednio, zmniejszaniem (minifikacją) i powiększaniem (magnifikacją) tekstur:

Rysunek 53, Powiększanie (magnifikacja) i zmniejszanie (minifikacja) tekstur

 

Istnieją też sytuacje, dla których zastosowanie pojedynczej tekstury dla wszystkich obiektów w scenie może powodować pewne problemy jej renderowania. Przykładem takiej sceny może być scena animowana, gdzie rozmiary i kształty obiektów zmieniają się wraz ze zmianą pozycji obserwatora w scenie (jego odległości i kąta patrzenia). Ponieważ tekstury są powiązane z obiektami na które są nakładane, to efekt teksturowania musi być zgodny z zachowaniem obiektów sceny. I tak w miarę zmniejszania się obiektu na ekranie, mapowana tekstura staje się mniej wyraźna i widoczna. Zatem obiekt oddalony od obserwatora, nie musi być wyświetlany z dużą dokładnością (rozdzielczością), ponieważ i tak nie zostanie to zauważone. Z drugiej strony rysowanie odległych obiektów teksturą o dużej rozdzielczości zmniejsza szybkość renderowania sceny.
Aby umożliwić równie szybkie teksturowanie wszystkich obiektów sceny niezależnie od ich rozmiaru i położenia (w stosunku do obserwatora), stosowane są tzw. mipmapy. Termin mippochodzi z łacińskiego "multum in parvo", co oznacza "wiele w małym", w tym wypadku - wiele danych w małej przestrzeni. Mipmapy tworzą zbiór tekstur charakteryzujących się tym, że każda następna (o mniejszym rozmiarze) ma mniejszą rozdzielczość tzn. zawiera mniej informacji o obrazie tekstury. Określają one zestaw tablic przedstawiających ten sam obraz. Mipmapy są tak skonstruowane, że informacje o obrazie zostają upakowane w jak najmniejszym obszarze pamięci, tworząc tzw. piramidę mipmap:

 

Rysunek 54. Piramida mipmap.

 

Podejście takie realizowane jest przez bibliotekę OpenGL, która automatycznie wybiera mniejszą teksturę z piramidy, jesli tylko obraz obiektu się zmniejsza.

Zaawansowany efekt korzystania z tekstur w bibliotece OpenGL przedstawia ostatni, najbardziej rozbudowany aplet przedstawiający układ słoneczny. Aplet prezentuje wiele z poprzednio omówionych zagadnień:

  • Oświetlenie (słońce jest źródłem punktowym światła)
  • Teksturowanie
  • Filtrowanie (mipmapy)
  • Przezroczystość (pierścienie planet)

Rysunek 55 Układ słoneczny.

8. Oświetlenie globalne

Oświetlenie globalne

8.1. Ray casting, czyli rzucanie promieni

Ray casting, czyli metoda "rzucania promieni" to jeszcze jedna, dość oczywista metoda pozwalająca na usuwanie punktów niewidocznych, czyli wyświetlanie tylko widocznych punktów danej sceny 3D. Metoda polega na tym, że od obserwatora, umieszczonego w wybranym punkcie, prowadzi się w kierunku sceny promienie przechodzące przez każdy piksel ekranu. Dla każdego promienia wyznaczany jest najbliższy obserwatorowi punkt przecięcia tego promienia z jednym z obiektów sceny, które ten promień przebija, i punkt ten jest wyświetlany w odpowiedniej barwie, właściwej dla tego obiektu i zależnej od wersora normalnego do powierzchni w danym punkcie przebicia jej promieniem. Jeśli promień przechodzący przez jakis piksel nie przetnie żadnego obiektu, piksel ten wyświetlany jest w kolorze tła.

 

Rysunek 56. Metoda rzucania promieni; obiekty są ponumerowane i zaznaczone schematycznie.

 

Metoda wymaga stosowania algorytmów przecięcia obiektów z prostoliniowym promieniem. Jest więc oczywiste, że złożoność obliczeniowa algorytmu rośnie wraz ze złożonością opisu matematycznego obiektów renderowanej sceny. Najprostsze w obliczeniach jest szukanie punktów przecięcia prostej z płaszczyzną czy kulą, bardziej pracochłonne jest poszukiwanie przecięć z wielościanami i siatkami wieloboków, zaś w przypadku powierzchni parametrycznych konieczne jest stosowanie iteracyjnych metod rozwiązywania nieliniowych równań określających współrzędne punktu przebicia. Ponieważ metoda musi być wykonywana dla każdego piksela ekranu, wymaga stosowania najbardziej efektywnych metod. Możliwość wykorzystania pracy wieloprocesorowej jest tu szczególnie istotna: każdy procesor wykonuje obliczenia tylko dla wybranego fragmentu ekranu. Algorytmiczne metody przyspieszenia obliczeń zostaną podane w ogólnym zarysie w następnym rozdziale.

Metoda rzucania promieni nadaje się również do wyświetlania brył CSG: punkt najbliższy obserwatorowi wyznacza się porządkując punkty przebicia brył składowych wzdłuż promienia i rozwiązując wzdłuż tego promienia jednowymiarowe operacje boolowskie.

 

 

8.2. Ray tracing, czyli śledzenie promieni

Metoda śledzenia promieni jest uogólnieniem metody rzucania promieni. Również i tu promienie prowadzone są od obserwatora przez każdy piksel ekranu, ale śledzenie ich biegu nie kończy się w momencie przebicia pierwszego napotkanego po drodze obiektu, tylko trwa nadal, bo promień odbity od danego obiektu może trafić w kolejny obiekt, odbić się znowu itd. Dzięki odwrotnemu śledzeniu promieni, od oka do źródła światła, a nie ze źródła światła do oka, rozpatrywane są tylko te promienie światła, które docierają do oka odbiorcy i tworzą obraz na ekranie komputera. Unika się w ten sposób niemożliwej do zrealizowania w praktyce analizy wszystkich promieni wychodzących ze źródła światła, z których tylko bardzo nieliczne docierają do obserwatora.

Rozpatrzmy działanie algorytmu po kolei.

Pierwszym etapem w algorytmie śledzenia promieni jest generacja promieni w punkcie obserwacji i poprowadzenie ich przez każdy piksel ekranu w kierunku sceny, analogicznie jak w metodzie ray casting. Te promienie są nazywane promieniami pierwotnymi (ang.: primary ray).

 

Rysunek 57. Generowanie promieni pierwotnych.

 

Kolejnym etapem, podobnie jak w metodzie poprzedniej, jest znajdowanie punktów zderzenia się promienia z obiektami na scenie - testowany jest każdy obiekt. W przypadku gdy do przecięcia nie dochodzi, promień wychodzi poza scenę i piksel na ekranie przybiera kolor tła. Jeżeli zaś przecięcie nastąpi, spośród możliwych punktów przecięcia wybierany jest punkt najbliższy obserwatorowi. W miejscu zderzenia się promienia z obiektem powstają promienie wtórne (ang.: secondary rays), które w zależności od właściwości obiektu (przezroczystość, współczynnik odbicia) biegną dalej zgodnie z zachowaniem praw odbicia i załamania.

Promienie wtórne traktowane są jak promienie pierwotne: również są testowane z innymi obiektami znajdującymi się na scenie i podobnie jak promienie pierwotne mogą być źródłem kolejnych promieni wtórnych. Proces generowania promieni wtórnych trwa, dopóki wszystkie promienie nie wyjdą poza scenę (trafią w umowne tło) lub algorytm nie osiągnie odpowiedniego poziomu rekurencji (określonego uprzednio w algorytmie). Ta metoda, polegająca na tworzeniu i śledzeniu promieni wtórnych, jest nazywana rekursywną metodą śledzenia promieni (ang.: recursive raytracing), lecz w skrócie mówi się o niej po prostu jako o metodzie śledzenia promieni.

 

Rysunek 58. Promienie pierwotne i wtórne.

 

Rekurencję zawartą w algorytmie śledzenia promieni ilustruje poniższy schemat algorytmu: funkcja TraceRay wywołuje samą siebie aż do osiągnięcia maksymalnej głębokości rekurencji. Pokazano tu najważniejsze kroki obliczeniowe metody:

function TraceRay(R: ray; depth: integer): kolor;
...
begin 
wyznacz P - najbliższy punkt przecięcia promienia R z obiektem; 
Jeśli nie ma żadnego punktu przebicia:
TraceRay :=kolor_tła 
else begin 
  oblicz color jako światło otoczenia; 
  znajdź wersor normalny do powierzchni obiektu w tym punkcie; 
  oblicz lokalne oświetlenie punktu P przez wszystkie źródła światła i dodaj do color; 

  if depth<maxDepth then begin   {depth określa głębokość rekurencji} 
    ...   
    ... 
    {jeśli obiekt jest choćby częściowo lustrzany, wykonaj poniższe operacje:} 
    wyznacz R_ray jako promień odbity w punkcie P;
    R_color:= TraceRay(R_ray, depth+1); 
    color:=color + ksR_color;
    ...
    {jeśli obiekt jest choćby częściowo przeroczysty, wykonaj poniższe operacje:} 
    wyznacz T_ray jako promień załamany w punkcie P;
    T_color:= TraceRay(T_ray, depth+1);
    color:=color + ktT_color; 
    ...
 end; 
 TraceRay :=color;
end; 

Zatem oświetlenie obiektu w danym punkcie pochodzi nie tylko z lokalnego oświetlenia tego punktu przez źródła światła (które jak pamiętamy z poprzedniego rozdziału wyznacza się jako odbicie rozproszone i lustrzane), ale dodaje się do niego oświetlenie pochodzące z promieni wtórnych, które znowu jest sumą oświetlenia lokalnego i oświetlenia pochodzącego z kolejnych promieni wtórnych itd. W ten sposób uzyskuje się efekty wzajemnych, wielokrotnych odbić obiektów, czego nie da się uzyskać bez rekurencyjnego algorytmu.

 

Przy obliczaniu oświetlenia lokalnego w danym punkcie prowadzi się promienie testujące i wyznacza ich wersory do każdego źródła światła. Jeśli promień taki natrafi na obiekt całkowicie nieprzezroczysty, dane żródło światła nie bierze udziału w obliczeniach oświetlenia lokalnego. Jeśli natrafi na obiekt cżęściowo przezroczysty, udział danego źródła światła w lokalnym oświetleniu powierzchni jest odpowiednio zmniejszany. W ten sposób metoda śledzenia promieni prowadzi do wyznaczania cieni na obiektach, wynikających z zasłaniania ich przez inne obiekty.

Ostatecznie więc uzyskuje się więc tą metodą efektowne obrazy obiektów o różnym stopniu przezroczystości, wzajemnie i wielokrotnie się w sobie odbijających, wraz z cieniami, które na siebie nawzajem rzucają: