Podręcznik

Przyjmijmy, że dwie cewki są położone blisko siebie w taki sposób, że strumień magnetyczny jednej cewki przenika również drugą. Całkowity strumień skojarzony z daną cewką (strumień skojarzony jest sumą strumieni $\varphi$ każdego zwoju cewki, co przy $z$ zwojach o identycznym strumieniu daje $\Psi=z\varphi$) jest wtedy sumą obu strumieni, jeśli ich kierunki są zgodne lub ich różnicą, jeśli kierunki strumieni są przeciwne. Strumienie obu cewek zapiszemy wówczas w postaci

Strumień $\Psi_{11}$ występujący w cewce pierwszej pochodzi od prądu tej cewki a strumień $\Psi_{12}$ jest wytworzony przez cewkę drugą i przenika przez cewkę pierwszą. Podobnie strumień $\Psi_{22}$ pojawiający się w cewce drugiej pochodzi od prądu tej cewki a strumień $\Psi_{21}$ pochodzący od prądu cewki pierwszej przenika przez cewkę drugą. Uwzględniając pojęcie indukcyjności wprowadzone w rozdziale pierwszym dla cewek liniowych definiuje się pojęcie indukcyjności własnej i wzajemnej w następujących postaciach

Indukcyjność wzajemna jest miarą z jaką prąd jednej cewki wpływa na zmianę strumienia drugiej. Dla środowisk o tej samej przenikalności magnetycznej $\mu$ wiążącej indukcję magnetyczną $B$ z natężeniem pola magnetycznego $H$ $(B=\mu\ H)$  obie indukcyjności wzajemne są sobie równe, to znaczy $M_{12}=M_{21}=M$. Dla dwu cewek sprzężonych magnetycznie definiuje się współczynnik sprzężenia jako średnią geometryczną współczynników sprzężenia obu cewek, przy czym współczynnik sprzężenia jednej cewki z drugą jest określany jako stosunek strumienia głównego cewki pochodzącego od prądu własnego do strumienia całkowitego cewki. Współczynnik sprzężenia cewek oznaczać będziemy literą $k$. Spełnia on następującą relację

Przy idealnym (pełnym) sprzężeniu cewek wartość współczynnika sprzężenia jest równa jeden $(k=1)$. Indukcyjność wzajemna jest wówczas średnią geometryczną indukcyjności własnych obu cewek. Przy braku sprzężenia magnetycznego między cewkami wartość $k=0$. W praktyce wartość k zmienia się od 0 do 1, nigdy nie osiągając dokładnie wartości 1.

Sprzężenie magnetyczne powoduje zmianę napięcia w cewce od zmian prądu innej cewki, sprzężonej z nią. Wzory określające odpowiednie napięcia na cewkach sprzężonych magnetycznie dane są wówczas w postaci (z założenia przyjęto stałe wartości indukcyjności)

Znak plus lub minus występujący we wzorze odpowiada sprzężeniu dodatniemu (znak plus) bądź ujemnemu (znak minus). Rodzaj sprzężenia zależy od kierunku prądu cewki względem początku uzwojenia. Rys. 1.1 przedstawia sytuacje odpowiadające sprzężeniu dodatniemu a rys. 1.2 ujemnemu.

Rys. 1.1. Ilustracja sprzężenia dodatniego dwu cewek

Rys. 1.2. Ilustracja sprzężenia ujemnego dwu cewek

Zauważmy, że przy istnieniu sprzężenia magnetycznego w cewce generowane jest napięcie na cewce nawet przy prądzie własnym cewki równym zeru. Oznacza to przenoszenie się energii z jednego obwodu do drugiego drogą magnetyczną.

Analiza obwodów ze sprzężeniami magnetycznymi w stanie ustalonym przy wymuszeniu sinusoidalnym może być przeprowadzona przy zastosowaniu metody symbolicznej, w której w miejsce różniczkowania wprowadza się działania na liczbach zespolonych. Dla wymuszenia sinusoidalnego wzory różniczkowe upraszczają się do zależności algebraicznych typu zespolonego, które podobnie jak dla indukcyjności własnych wyprowadzonych w rozdziale drugim można zapisać w postaci

Znak plus obowiązuje dla sprzężenia dodatniego (strumienie magnetyczne obu cewek sumują się) a znak minus dla sprzężenia ujemnego (strumienie magnetyczne obu cewek odejmują się). Jak widać z powyższych wzorów cewki sprzężone magnetycznie reprezentują sobą reaktancje, przy czym można tu wyróżnić dwa rodzaje reaktancji: reaktancję indukcyjną własną (zwaną dotąd reaktancją indukcyjną) i reaktancję indukcyjną wzajemną. Wprowadźmy następujące oznaczenia

$X_M=\omega\ M$    - reaktancja indukcyjna wzajemna

$Z_M=j\omega\ M$    - impedancja indukcyjna wzajemna.

Napięcie skuteczne zespolone na cewkach sprzężonych można wówczas opisać następującymi wzorami

w których $Z_{L1}$ oraz $Z_{L2}$ oznaczają impedancje indukcyjności własnych cewki pierwszej i drugiej, $Z_{L1}=j\omega\ L_1$, $Z_{L2}=j\omega\ L_2$. Dla wyznaczenia wartości skutecznej napięcia na cewce sprzężonej muszą być znane zarówno wartości skuteczne prądu jednej cewki jak i drugiej, sprzężonej z nią. Znak sprzężenia (plus lub minus) powoduje odejmowanie (sprzężenie ujemne) lub dodawanie (sprzężenie dodatnie) napięć pochodzących od sprzężenia.

Najważniejszym elementem analizy obwodów ze sprzężeniami magnetycznymi jest wyznaczenie prądów poszczególnych gałęzi w obwodzie. Bezpośrednie zastosowanie poznanych dotąd metod analizy obwodów (metoda węzłowa, oczkowa, Thevenina czy Nortona) wymaga w pierwszej kolejności wyeliminowania sprzężenia magnetycznego cewek, a więc pozbycia się wpływu prądu jednej cewki na napięcie cewki drugiej.

Eliminacja sprzężeń magnetycznych jest możliwa bezpośrednio na podstawie analizy struktury obwodu i uwzględnienia położenia początków uzwojeń cewek względem węzłów wspólnych (lub uznanych za wspólne przy braku ich bezpośredniego połączenia). W tym przypadku można wyróżnić dwa rodzaje połączeń:

• dwie cewki sprzężone magnetycznie mają jednakowo usytuowane początki uzwojeń względem węzła - takie cewki uważać będziemy za jednoimienne (rys. 1.3)
• dwie cewki sprzężone magnetycznie mają przeciwnie usytuowane początki uzwojeń względem węzła - takie cewki uważać będziemy za różnoimienne (rys. 1.4).

Rys. 1.3. Cewki jednoimienne

Rys. 1.4. Cewki różnoimienne

W przypadku cewek jednoimiennych eliminacja sprzężenia magnetycznego prowadzi do obwodu zastępczego przedstawionego na rys. 1.1.

Rys. 1.5. Eliminacja sprzężenia magnetycznego cewek jednoimiennych

W gałęziach zawierających cewki pojawiła się indukcyjność wzajemna ze znakiem minus, a w gałęzi wspólnej ze znakiem plus. Łatwo można pokazać, że przy takim sposobie eliminacji sprzężeń magnetycznych napięcia na zaciskach zewnętrznych 1, 2 i 3 przy niezmienionych prądach zewnętrznych w obu obwodach równają się sobie (co jest warunkiem równoważności). Schemat z rys. 1.6 odpowiada eliminacji sprzężenia w przypadku dwu cewek różnoimiennych.

Rys. 1.6. Eliminacja sprzężenia magnetycznego cewek różnoimiennych

W gałęziach zawierających cewki pojawiła się indukcyjność wzajemna ze znakiem plus a w gałęzi wspólnej ze znakiem minus. Łatwo udowodnić, że przy takim sposobie eliminacji sprzężeń napięcia na zaciskach zewnętrznych 1, 2 i 3 w obu obwodach (oryginalnym i po eliminacji sprzężenia) przy tych samych prądach zewnętrznych równają się sobie (co jest warunkiem równoważności).

Przy eliminacji sprzężeń magnetycznych przyjęty zwrot prądów nie ma żadnego wpływu na końcową postać obwodu bez sprzężeń. Ma na nią wpływ jedynie usytuowanie początków uzwojeń cewek względem wspólnego węzła, czyli jednoimienność lub różnoimienność cewek sprzężonych magnetycznie.

W obu przypadkach otrzymuje się obwody bez sprzężeń, równoważne oryginalnym jedynie pod względem prądowym. Napięcia w obu obwodach w części podlegającej przekształceniu są całkowicie różne. Rzeczywiste napięcia panujące na elementach podlegających transformacji powinny być określane bezpośrednio na podstawie obwodu oryginalnego i powinny uwzględniać sprzężenie magnetyczne (wzory 1.12 i 1.13).

Należy podkreślić, że przy wielu cewkach sprzężonych ze sobą, eliminacja pojedynczego sprzężenia między dwoma wybranymi cewkami może zachodzić niezależnie od pozostałych sprzężeń, co znakomicie ułatwia przeprowadzenie procesu eliminacji sprzężeń.

Wyidealizowanym typem transformatora jest tak zwany transformator idealny, w którym zakłada się pełne sprzężenie magnetyczne (k=1), brak strat (wszystkie rezystancje równe zeru) i pominięcie wszelkich zjawisk pasożytniczych. Symbol graficzny transformatora idealnego przedstawiono na rys. 1.10 (w schemacie tym założono sprzężenie dodatnie, choć może być ono równie dobrze ujemne, zależnie od konstrukcji transformatora).

Rys. 1.10. Symbol graficzny transformatora idealnego

Prądy i napięcia pierwotne i wtórne oznaczone są odpowiednio symbolami I₁, U₁, I₂, U₂. Oznaczenie n:1 oznacza stosunek liczby zwojów pierwotnych transformatora do liczby zwojów wtórnych. W schemacie tym pomija się zwykle symbol sprzężenia magnetycznego pozostawiając jedynie oznaczenie początków uzwojeń transformatora.

Transformator idealny jest w pełni opisany poprzez tak zwaną przekładnię zwojową, określającą stosunek napięcia pierwotnego do wtórnego (przekładnię napięciową) na podstawie liczby zwojów pierwotnych i wtórnych. Przekładnia napięciowa transformatora idealnego niezależnie od sposobu wykonania i od obciążenia, powinna być równa przekładni zwojowej określonej wzorem

Oznacza to, że relacja między napięciem pierwotnym i wtórnym jest następująca

Wobec założenia o braku strat w samym transformatorze idealnym moc dostarczona na zaciski pierwotne równa się mocy na zaciskach wtórnych, to jest $S_1=S_2$ (podobnie jest z mocą czynną i bierną). Przy oznaczeniu przekładni transformatora idealnego przez n, z warunku równości mocy wejściowej i wyjściowej, to znaczy $U_1I_1^*=U_2I_2^*$. Wynika stąd relacja między prądem pierwotnym i wtórnym transformatora. Mianowicie

Obie zależności (1.15) i (1.16) można zapisać w następującej postaci macierzowej

Powyższe równanie macierzowe nazywane jest równaniem łańcuchowym transformatora idealnego. Wykonanie transformatora idealnego w praktyce nie jest możliwe, jednak współczesne realizacje techniczne transformatorów bazujące na wykorzystaniu sprzężenia magnetycznego cewek (zwłaszcza transformatory z rdzeniem ferromagnetycznym) są bliskie ideału.

            Z zależności powyższych wynika, że impedancja wejściowa układu transformatora o przekładni zwojowej n zdefiniowanej wzorem (1.14) obciążonego po stronie wtórnej impedancją Z_o jest wyrażona wzorem

Jej wartość zmienia się z kwadratem przekładni zwojowej.

Rys. 1.11 przedstawia poglądowy schemat transformatora wykorzystującego zjawisko sprzężenia magnetycznego 2 cewek nawiniętych na wspólnym korpusie. Jest on zasilany napięciem U₁ i obciążony po stronie wtórnej impedancją Z_o.

Rys. 1.11. Poglądowy schemat transformatora

Uzwojenie, do którego jest zazwyczaj doprowadzone źródło energii elektrycznej, nazywamy uzwojeniem pierwotnym, natomiast uzwojenie, do którego jest dołączony odbiornik, nazywamy uzwojeniem wtórnym. Zaciski uzwojenia pierwotnego stanowią wejście układu, a zaciski uzwojenia wtórnego - wyjście. Odpowiednie napięcia i prądy w transformatorze nazywamy pierwotnymi lub wtórnymi. Wszystkie wielkości i parametry związane z uzwojeniem pierwotnym opatrzymy wskaźnikiem 1, a wielkości i parametry związane z uzwojeniem wtórnym – wskaźnikiem 2. Przekazywanie energii elektrycznej z jednego obwodu do drugiego następuje za pośrednictwem pola elektromagnetycznego (strumienia magnetycznego).

Do uzwojenia pierwotnego przyłożone jest napięcie sinusoidalnie zmienne o wartości chwilowej $u_1(t)$. Wartość chwilową prądu w uzwojeniu pierwotnym oznaczymy przez $i_1(t)$. Pod wpływem zmiennego w czasie prądu $i_1(t)$ w przestrzeni otaczającej uzwojenie powstaje zmienny strumień magnetyczny $\varphi$, będący superpozycją strumieni $\varphi_1$ i $\varphi_2$. Przy założeniu jego równomiernego rozkładu na przekroju $S$, strumień jest iloczynem indukcji magnetycznej $B$ i przekroju $S$, $\varphi=BS$. Strumień ten kojarzy się zarówno z uzwojeniem pierwotnym o liczbie zwojów $z_1$ wytwarzając strumień skojarzony $\Psi_1=z_1\varphi$, jak i uzwojeniem wtórnym o liczbie zwojów $z_2$ wytwarzając w nim strumień skojarzony $\Psi_2=z_2\varphi$. Zgodne z prawem indukcji elektromagnetycznej pod wpływem zmiennego w czasie strumienia magnetycznego indukuje się napięcie $u(t)$

Jeśli do uzwojenia wtórnego dołączymy odbiornik, to pod wpływem napięcia indukowanego w tym uzwojeniu popłynie prąd $i_2(t)$.

W zależności od środowiska w jakim zamyka się wytworzony wokół uzwojeń strumień magnetyczny rozróżniamy transformatory powietrzne (korpus transformatora wykonany z dielektryka o przenikalności magnetycznej względnej bliskiej jedności) i transformatory z rdzeniem ferromagnetycznym o bardzo dużych wartościach przenikalności magnetycznej względnej sięgających wielu tysięcy.

Transformator rzeczywisty realizuje się w układzie cewek magnetycznie sprzężonych, nawiniętych na korpusie (rdzeniu) wykonanym z materiału ferromagnetycznego, zapewniającego bliskie idealnemu sprzężenie magnetyczne (k≈1). Model uproszczony transformatora magnetycznego (bez uwzględnienia rezystancji uzwojeń) obciążonego impedancją Z_o jest przedstawiony na rys. 1.12.

Rys. 1.12. Realizacja idealnego transformatora w układzie dwu cewek magnetycznie sprzężonych

Indukcyjności własne uzwojeń oznaczone są przez L₁ i L₂ a indukcyjność wzajemna przez M, przy czym $M=k\sqrt{L_1L_2}$. Napięcie zasilające wywołuje w obwodzie pierwotnym prąd I₁, wytwarzający strumień magnetyczny. Energia obwodu pierwotnego przenosi się do obwodu wtórnego poprzez sprzężenie magnetyczne, zaznaczone symbolicznie jako indukcyjność wzajemna M. Pod wpływem zaindukowanego napięcia przy zamkniętym obwodzie wtórnym płynie prąd I₂, odkładając na impedancji odbiornika napięcie U₂.

Analizując transformator w stanie ustalonym przy wymuszeniu sinusoidalnym zastosujemy metodę symboliczną zespoloną. Z definicji sprzężenia magnetycznego obu cewek przy założonym zwrocie prądów i przyjęciu początków uzwojeń jak na rys. 1.12 wynikają następujące równania opisujące obwód

Znak minus występujący we wzorze na U₂ wynika z kierunku U₂ zaznaczonego na rysunku 1.12. Z równań (1.20) i (1.21) wynika następujący wzór określający napięcie wyjściowe

Dla właściwego działania transformatora jest wymagane, aby napięcie wyjściowe U₂ nie zależało od prądu obciążenia I₂. Wymaganie to może być spełnione, jeśli współczynnik występujący przy I₂ będzie równy zeru (lub pomijalnie mały). Zauważmy, że przy założeniu wyidealizowanego transformatora $k\approx1$ zachodzi $X_M^2\approx X_{L1}X_{L2}$. Warunek taki jest w przybliżeniu spełniony dla transformatorów o rdzeniu ferromagnetycznym. Oznacza to, że niezależnie od obciążenia relacja między napięciem pierwotnym i wtórnym dana jest wówczas w postaci

Jeśli uwzględnimy, że reaktancje cewek są proporcjonalne do liczby zwojów według relacji $X_{L1}=Kz_1^2$, $X_{L2}=Kz_2^2$, $X_M=Kz_1z_2$ gdzie K oznacza pewną stałą konstrukcyjną, to z zależności (1.23) wynika

Napięcie wtórne takiego transformatora jest zależne wyłącznie od przekładni zwojowej i napięcia wejściowego układu (znak minus nie odgrywa żadnej roli a jedynie oznacza przesunięcie fazowe 180o napięcia wyjściowego względem wejściowego). Ostatnia zależność pokazuje, że prąd obciążenia nie ma wpływu na wielkość napięcia wyjściowego. Jest to zatem realizacja podstawowej zależności charakterystycznej dla transformatora idealnego. Przy pominięciu strat w transformatorze moc na wejściu równa się mocy wyjściowej, stąd relacja między prądem pierwotnym i wtórnym spełnia również drugą zależność transformatora idealnego (wzór 1.16). Wynika stąd że transformator z rdzeniem ferromagnetycznym jest dobrym przybliżeniem transformatora idealnego.

Zgodnie z twierdzeniem Fouriera funkcję okresową f(t) o okresie T (częstotliwość f=1/T) można przedstawić w postaci szeregu utworzonego ze składowej stałej oraz funkcji sinusoidalnych o częstotliwościach kf,  jeśli funkcja ta spełnia warunki Dirichleta.

Niech dana będzie funkcja okresowa f(t) określona w przedziale 0-T, gdzie T oznacza okres tej funkcji. Załóżmy, że funkcja ta spełnia warunki Dirichleta, to znaczy, że w przedziale 0-T jest bezwzględnie całkowalna, czyli

ma skończoną liczbę maksimów i minimów a w przedziale 0-T co najwyżej skończoną liczbę punktów nieciągłości t_k, przy czym w każdym punkcie nieciągłości istnieją skończone granice prawostronna i lewostronna a wartość funkcji w tym punkcie przyjmuje się jako średnią arytmetyczną granicy lewo- i prawostronnej, to jest

Każda funkcja okresowa f(t) spełniająca wymienione wyżej warunki Dirichleta może być wyrażona za pomocą nieskończonego, zbieżnego szeregu Fouriera. Suma tego szeregu dla dowolnego punktu czasu t może być wyrażona w postaci

lub

Szereg po prawej stronie równań (2.3) i (2.4) nazywać będziemy szeregiem trygonometrycznym Fouriera. W szeregu tym wyróżnić należy następujące parametry

Należy podkreślić, że okres harmonicznej podstawowej jest identyczny z okresem przebiegu niesinusoidalnego f(t). Częstotliwości kolejnych harmonicznych są wielokrotnością częstotliwości harmonicznej podstawowej, czyli $\omega_k=k\omega$. Współczynniki rozwinięcia trygonometrycznego Fouriera wyznacza się z następujących wzorów

Chwila czasowa t₀ może być wybrana dowolnie a jej wybór nie ma wpływu na wynik transformacji. Obie postacie szeregu Fouriera (2.3) i (2.4) są sobie równoważne, jeśli spełnione są następujące warunki

W ogólności szereg Fouriera zawiera nieskończenie wiele harmonicznych. W praktyce większość harmonicznych maleje do zera przy zwiększającym się rzędzie tych harmonicznych. Stąd w obliczeniach uwzględnia się jedynie niewielką liczbę tych harmonicznych uzyskując zadowalające przybliżenie. Metodę rozkładu przebiegu niesinusoidalnego na szereg Fouriera zilustrujemy na przykładzie przebiegu prostokątnego.

W wielu zastosowaniach postać trygonometryczna (2.3) szeregu Fouriera nie jest wystarczająca i dlatego wprowadza się komplementarną postać wykładniczą, wykorzystującą przedstawienie funkcji trygonometrycznych poprzez funkcje wykładnicze. Korzysta się przy tym z definicji funkcji sinusoidalnej i kosinusoidalnej, zgodnie z którymi

Po zastosowaniu elementarnych przekształceń wzoru (2.4) otrzymuje się

Wprowadźmy oznaczenia

oraz

Ze względu na parzystość funkcji kosinusoidalnej i nieparzystość funkcji sinusoidalnej słuszne są następujące równości

Oznacza to, że

gdzie znak * oznacza sprzężenie liczby zespolonej. Uwzględnienie tej zależności we wzorze (2.12) prowadzi do wyniku

Jest to tak zwana postać wykładnicza szeregu Fouriera, w której wartości współczynników rozwinięcia X_k są zespolone w odróżnieniu od rzeczywistych wartości współczynników szeregu trygonometrycznego. Współczynniki te mogą być otrzymane z rozwinięcia trygonometrycznego bądź bezpośrednio z relacji

Wykres $\left|X_k\right|$ określony dla dyskretnych wartości k reprezentujących sobą dyskretne częstotliwości nazywany jest widmem amplitudowym funkcji $f(t)$. Ze względu na to, że współczynniki rozwinięcia wykładniczego spełniają warunek $\left|X_k\right|=\left|X_{-k}\right|$, widmo amplitudowe jest symetryczne względem osi rzędnych (wartości widma amplitudowego dla dodatnich i ujemnych częstotliwości są identyczne). Z kolei wykres $arg{X_{-k}}=-arg{X_k}$, czyli widmo fazowe jest symetryczne względem początku układu współrzędnych (wartości kąta fazowego dla częstotliwości ujemnych są przeciwne względem tych samych wartości dla częstotliwości dodatnich).

Rozwinięcie funkcji $f(t)$ w postać wykładniczą oznacza rozkład energii sygnału w zakresie częstotliwości dodatniej i ujemnej. Jeśli rzeczywista wartość amplitudy k-tej harmonicznej wynosi $F_k$, to k-ty prążek widma amplitudowego szeregu wykładniczego Fouriera przyjmie wartość $\frac{F_k}{2}$ dla częstotliwości dodatniej i identyczną wartość dla częstotliwości ujemnej.

Rozpatrzmy dwie funkcje f(t) i g(t) o tym samym okresie T spełniające warunki Dirichleta. Przedstawmy je w postaci wykładniczej Fouriera

w której pulsacja podstawowa $\omega$ jest określona poprzez okres funkcji $\omega=\frac{2\pi}{T}$. Przy takich założeniach twierdzenie Parsevala można sformułować następująco.

Twierdzenie Parsevala

Jeśli funkcje f(t) i g(t) są okresowe o tym samym okresie T i obie spełniają warunki Dirichleta, to wartość średnia z iloczynu tych funkcji za okres określona jest zależnością

w której f_k i g_k są współczynnikami rozwinięcia wykładniczego funkcji zadanych f(t) i g(t) a znak * oznacza operację sprzężenia liczby zespolonej.

Twierdzenie Parsevala określa wartość średnią za okres iloczynu dwu funkcji okresowych f(t) i g(t) o tym samym okresie. Z twierdzenia wynika, że wartość średnią tworzą jedynie iloczyny składników rozkładu wykładniczego o tym samym rzędzie (częstotliwości). Składniki sumy pochodzące od iloczynów składowych różnego rzędu są równe zeru. W szczególnym przypadku gdy f(t)=g(t) wzór Parsevala upraszcza się do postaci

gdyż mnożenie liczby zespolonej przez sprzężoną oznacza kwadrat modułu liczby zespolonej, $f_kf_k^\ast=\left|f_k\right|^2$. Ostatni wzór wiąże się bezpośrednio z obliczeniem wartości skutecznej przebiegu niesinusidalnego, rozwiniętego w szereg Fouriera.

W przypadku analizy obwodów o przebiegach niesinusoidalnych okresowych sygnał prądu i napięcia w obwodzie przedstawiany jest zwykle w postaci szeregu trygonometrycznego Fouriera

w których U_km oraz I_km są amplitudami k-tej harmonicznej odpowiednio napięcia u(t) i prądu i(t). Ψ_k jest fazą początkową k-tej harmonicznej napięcia a ϕ_k kątem przesunięcia fazowego k-tej harmonicznej prądu względem k-tej harmonicznej napięcia.

Korzystając z twierdzenia Parsevala (wzór 2.23) można łatwo udowodnić, że wartość skuteczna przebiegu składającego się z sumy wielu harmonicznych może być obliczona na podstawie wartości skutecznych każdej harmonicznej z osobna. Biorąc pod uwagę zależność (2.23) i uwzględniając relację między wartością maksymalną i skuteczną można pokazać, że wartość skuteczna przebiegu niesinusoidalnego jest pierwiastkiem z sumy kwadratów wartości skutecznych poszczególnych harmonicznych. W przypadku napięcia i prądu opisanych zależnościami (2.24) i (2.25) wzory na moduł wartości skutecznej przyjmują wtedy postać

w której U_k oraz I_k oznaczają wartości skuteczne zespolone odpowiednio napięcia i prądu k-tej harmonicznej. Wartość skuteczna (moduł) napięcia i prądu niesinusoidalnego jest równa pierwiastkowi kwadratowemu z sumy kwadratów modułów wartości skutecznych zespolonych wszystkich harmonicznych oraz składowej stałej.

W przypadku wystąpienia w przebiegu wielu harmonicznych ważnym wskaźnikiem odkształcenia tego przebiegu od sinusoidy jest współczynnik zawartości harmonicznych h. Współczynnik ten definiuje się jako stosunek wartości skutecznej przebiegu f(t) po usunięciu z niego składowej stałej i pierwszej harmonicznej do wartości skutecznej przebiegu po usunięciu z niego jedynie składowej stałej. Przy oznaczeniu wartości skutecznych odpowiednich harmonicznych przez F_k wzór na współczynnik zawartości harmonicznych można zapisać w postaci

Jeśli badany przebieg zawiera jedynie składową podstawową (pierwszą) to jak łatwo zauważyć współczynnik zawartości harmonicznych jest równy zeru, co oznacza brak odkształcenia krzywej od postaci sinusoidalnej.

Innym wskaźnikiem najczęściej używanym w praktyce jest całkowite zniekształcenie harmoniczne (THD – Total Harmonic Distortion) definiowane wzorem

$THD=\frac{\sqrt{\sum\limits _{k\neq 1}| U_{k}| ^{2}}}{| U_{1}| }$

odnoszące zniekształcenie (pierwiastek z sumy kwadratów modułów wartości skutecznych wszystkich harmonicznych wyższych niż podstawowa) do wartości harmonicznej podstawowej.

Niezależnie od charakteru zmienności w czasie przebiegów prądu i napięcia moc chwilowa w obwodzie jest wyrażona tym samym wzorem p(t)=u(t)i(t). Korzystając z tej zależności oraz uwzględniając twierdzenie Parsevala określającego wartość średnią z iloczynu dwu sygnałów niesinusoidalnych o tym samym okresie można udowodnić, że moc czynna P jako wartość średnia z iloczynu prądu i napięcia w obwodzie

przy wystąpieniu wielu harmonicznych jest równa sumie mocy czynnych poszczególnych harmonicznych, włączając w to składową stałą

Analogicznie jak dla przebiegów sinusoidalnych również przy przebiegach odkształconych istnieje pojęcie mocy biernej, jako sumy mocy biernych pochodzących od poszczególnych harmonicznych, czyli

Analogicznie do obwodów z przebiegami sinusoidalnymi również dla przebiegów niesinusoidalnych wprowadza się pojęcie modułu mocy pozornej jako iloczynu wartości skutecznej napięcia odkształconego przez wartość skuteczną prądu odkształconego, czyli

Należy zaznaczyć, że tak zdefiniowana wielkość oznacza moduł mocy pozornej a nie moc pozorną zespoloną. Z porównania wzorów (2.30), (2.31) i (2.32) wynika, że w odróżnieniu od przebiegów sinusoidalnych suma kwadratów mocy czynnej i mocy biernej nie jest równa kwadratowi mocy pozornej. Dla zachowania bilansu mocy wprowadza się w związku z tym nowy rodzaj mocy, zwanej mocą odkształcenia lub deformacji. Moc tę oznaczać będziemy literą D. Jej wartość musi być tak dobrana aby wszystkie rodzaje mocy bilansowały się. Przyjęto następujący związek między poszczególnymi rodzajami mocy

Oznacza to, że moc deformacji definiuje równanie

Stosunek mocy czynnej do mocy pozornej nazywamy, przez analogię do przebiegów sinusoidalnych, współczynnikiem mocy i określamy wzorem

Współczynnik mocy obwodu przy wymuszeniu niesinusoidalnym tylko z definicji przypomina współczynnik mocy obwodu przy wymuszeniu harmonicznym. W rzeczywistości jego interpretacja jest pozbawiona sensu fizycznego jaką posiada cos ϕ.

W przypadku wystąpienia w obwodzie RLC wymuszenia niesinusoidalnego obliczenie odpowiedzi w stanie ustalonym musi uwzględnić fakt istnienia wielu harmonicznych (teoretycznie dowolnej ich liczby) różniących się częstotliwością. Załóżmy, że do obwodu RLC przyłożono okresowe napięcie niesinusoidalne u(t) jak to przedstawiono na rys. rys. 2.5.

a)                                      b)

Rys. 2.5. Ilustracja zastosowania zasady superpozycji przy rozwiązywaniu obwodów o wymuszeniu napięciowym niesinusoidalnym: a) obwód o wymuszeniu niesinusoidalnym, b) superpozycja obwodów o wymuszeniach sinusoidalnych

Napięcie to można przedstawić w sposób przybliżony za pomocą skończonej sumy n harmonicznych

w której n jest największą wartością harmonicznej uwzględnionej w rozwinięciu Fouriera. Wobec liniowości obwodu można zastosować zasadę superpozycji i obliczyć prądy od poszczególnych źródeł oddzielnie (rys. 2.5b). Przy wymuszeniu typu napięciowego źródła eliminowane z obwodu zwiera się.

W przypadku wystąpienia w obwodzie źródeł wymuszających prądowych

postępuje się podobnie, analizując obwód dla każdej harmonicznej oddzielnie (rys. 2.6). Ponieważ źródła harmoniczne typu prądowego są połączone równolegle eliminacja danego źródła polega na rozwarciu jego zacisków.

a)                                      b)

Rys. 2.6 Ilustracja zastosowania zasady superpozycji przy rozwiązywaniu obwodów o wymuszeniu prądowym niesinusoidalnym: a) obwód o wymuszeniu niesinusoidalnym, b) superpozycja obwodów o wymuszeniach sinusoidalnych

Należy przy tym pamiętać, że każde źródło sinusoidalne występujące w superpozycji ma inną częstotliwość, będącą wielokrotnością częstotliwości podstawowej i wynoszącą $\omega_k=k\omega$. Ponieważ zarówno reaktancja pojemnościowa $X_C^{(k)}$ jak i indukcyjna $X_L^{(k)}$ jest funkcją częstotliwości, zatem reaktancje te dla harmonicznej rzędu k wynoszą odpowiednio

gdzie $X_L=\omega\ L$ jest reaktancją indukcyjną dla składowej harmonicznej podstawowej a $X_C=1/\omega\ C$ - reaktancją pojemnościową dla harmonicznej podstawowej. Dla każdej harmonicznej wymuszenia należy przeprowadzić oddzielną analizę odpowiedniego obwodu przy zastosowaniu jednej z poznanych wcześniej metod (metoda praw Kirchhoffa, oczkowa, węzłowa, Thevenina itp.). Wynikiem analizy są wartości prądów i napięć poszczególnych gałęzi obwodu oraz odpowiednie moce: czynna i bierna dla każdej harmonicznej. Po wyznaczeniu odpowiedzi dla każdej harmonicznej oddzielnie należy wyznaczyć wypadkowe wartości skuteczne odpowiednich prądów i napięć oraz mocy według wzorów podanych wcześniej w tym wykładzie. Sposób postępowania przy analizie obwodów z przebiegami niesinusoidalnymi zostanie zilustrowany na przykładzie.

Generatorem trójfazowym nazywamy układ trzech źródeł sinusoidalnych o tej samej częstotliwości, przesuniętych względem siebie o określony kąt fazowy i wytworzonych w jednym generatorze, zwanym generatorem trójfazowym. Poszczególne źródła generatora trójfazowego nazywać będziemy fazami i oznaczać literami A, B, C lub kolejnymi cyframi 1, 2, 3. Trzy źródła generatora mogą być połączone w ten sposób, że poszczególne napięcia fazowe tworzą układ gwiazdowy z jednym punktem wspólnym wszystkich faz lub układ trójkątny, w którym każda faza jest połączona z następną tworząc w efekcie trójkąt zamknięty napięć.

Przykład połączenia 3 faz generatora w jeden układ gwiazdowy przedstawiony jest na rys. 3.1.

Rys. 3.1. Układ faz generatora trójfazowego połączonego w gwiazdę

Punkt wspólny wszystkich trzech faz generatora oznaczony jest cyfrą 0. Poszczególnym napięciom fazowym przypisuje się wskaźniki A, B, C lub w przypadku oznaczenia liczbowego cyfry 1, 2, 3.

Układ napięć źródłowych generatora trójfazowego nazywać będziemy symetrycznym, jeśli napięcia kolejnych faz są przesunięte względem siebie o kąt $120^{\circ } \ \left(\frac{2}{3} \pi \right)$ a amplitudy ich są sobie równe. Wartości chwilowe poszczególnych napięć fazowych układu symetrycznego można wówczas zapisać w postaci

w której E_m oznacza amplitudę, ω pulsację wspólną dla wszystkich faz (przy generacji napięć trójfazowych w jednym generatorze jest to zapewnione automatycznie) a kąt $\Psi$ jest początkowym kątem fazowym napięcia w fazie A.

W normalnym systemie trójfazowym przyjmuje się tzw. kolejność wirowania zgodną, w której faza B opóźnia się względem fazy A o kąt 120^o a faza C (opóźniona względem fazy B o kolejny kąt 120^o) wyprzedza fazę A o kąt równy 120^o.

Rys. 3.2. Przebiegi czasowe napięć trójfazowych

Na rys. 3.2 przedstawiono przykładowe przebiegi czasowe napięć trójfazowych przy kącie początkowym $\Psi$ równym zeru. Napięcia są zmienne sinusoidalnie przy czym występują regularne przesunięcia o kąt 120^o między poszczególnymi sinusoidami.

Wobec sinusoidalnej postaci wymuszeń w analizie układów trójfazowych zastosujemy metodę symboliczną liczb zespolonych. Zgodnie z tą metodą napięcia sinusoidalne zastępuje się ich postacią zespoloną, która dla przyjętych funkcji sinusoidalnych może być zapisana następująco

W praktyce wobec nieustannej zmiany wartości napięć w czasie faza początkowa $\Psi$ może być przyjęta dowolnie. Najczęściej dla wygody zakładać będziemy, że jest równa zeru. Wykres wektorowy napięć trójfazowych opisanych zależnościami (3.4) - (3.6) dla kąta fazowego $\Psi\neq0$ przedstawiony jest na rys. 3.3.

Rys. 3.3. Wykres wektorowy napięć trójfazowych generatora

Punkt wspólny napięć, odpowiadający wspólnemu punktowi połączenia faz generatora oznaczony jest cyfrą 0. Na końcach napięć fazowych zaznaczone są oznaczenia faz (A, B, C). Napięcie fazowe generatora to napięcie między punktem końcowym wektora a punktem zerowym.

Wirowanie faz (zmiana pozycji wektora w czasie) w generatorze trójfazowym odbywa się w przyjętym układzie współrzędnych przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

Rys. 3.4. Wektory napięć trójfazowych wirujące w czasie

Rys. 3.4 pokazuje wektory napięć generatora trójfazowego symetrycznego wirujące w czasie. Wektory fazy B i C nadążają za wektorem A, przy czym przesunięcia fazowe między nimi są stałe i równe dokładnie 120^o. Ważną cechą trójfazowego generatora symetrycznego jest zerowanie się sumy napięć fazowych

 Wartość zerowa sumy wynika bezpośrednio z symetrii poszczególnych napięć. Mianowicie

$E_A+E_B+E_C=E_A+E_Ae^{-j120^o}+E_Ae^{j120^o}=E_A\left(1-0,5-j\frac{\sqrt3}{2}-0,5+j\frac{\sqrt3}{2}\right)=0$

Oprócz napięć fazowych wyróżnia się również układ napięć międzyfazowych, zwanych również liniowymi, czyli napięć panujących między punktami zewnętrznymi poszczególnych faz. Przy trzech napięciach fazowych można wyróżnić trzy napięcia międzyfazowe: E_AB, E_BC oraz E_CA, przy czym

Z definicji napięć międzyfazowych wynika, że niezależnie od symetrii ich suma jest zawsze równa zeru gdyż wszystkie trzy napięcia tworzą w sumie trójkąt zamknięty. Rys. 3.5 pokazuje układ napięć międzyfazowych generatora trójfazowego z przyjętymi oznaczeniami. Symbol E_AB oznacza, że strzałka wektora napięcia na wykresie jest skierowana w stronę pierwszego wskaźnika w oznaczeniu (u nas litera A).

Rys. 3.5. Układ napięć międzyfazowych na tle napięć fazowych

Z symetrii napięć fazowych wynika bezpośrednio symetria napięć międzyfazowych. Napięcia te są równe i przesunięte względem siebie o kąt 120^o, czyli

$E_{AB}=E_A-E_B$

$E_{BC}=E_{AB}e^{-j120^o}$

$E_{CA}=E_{AB}e^{j120^o}$

Układ napięć międzyfazowych symetrycznych tworzy więc trójkąt równoboczny. Wykorzystując relacje obowiązujące dla tego trójkąta łatwo jest udowodnić, że napięcie międzyfazowe jest $\sqrt3$ razy większe niż napięcie fazowe, co zapiszemy w ogólności jako

gdzie $|E_f|$ oznacza moduł napięcia fazowego a $|E_{mf}|$ moduł napięcia międzyfazowego.

Rozpatrzmy układ połączeń gwiazdowych odbiornika i generatora (gwiazda-gwiazda) z oznaczeniami prądów i napięć przedstawionymi na rys. 3.8.

Rys. 3.8. Układ trójfazowy gwiazdowy

Punkt 0 oznacza punkt wspólny faz generatora. Punkt N jest punktem wspólnym impedancji fazowych odbiornika. Zakładamy symetrię napięć fazowych generatora i dowolne wartości impedancji odbiornika. Przyjmijmy do analizy układ czteroprzewodowy z impedancją przewodu zerowego równa Z_N. Wartość impedancji Z_N może być dowolna, w szczególności zerowa (bezpośrednie zwarcie punktów wspólnych generatora i odbiornika) lub nieskończona (układ trójprzewodowy bez przewodu zerowego). Napięcie między punktem zerowym odbiornika i generatora oznaczymy przez U_N i nazywać będziemy napięciem niezrównoważenia.

Układ napięć trójfazowych odbiornika tworzą napięcia na poszczególnych jego fazach, czyli U_A,U_B,U_C. W efekcie w obwodzie trójfazowym o połączeniu gwiazda-gwiazda wyróżnia się dwa układy napięć trójfazowych gwiazdowych: generatora E_A,E_B,E_C i odbiornika U_A,U_B,U_C.

Dla obliczenia prądów w obwodzie należy wyznaczyć układ napięć odbiornikowych. Najlepiej dokonać tego wyznaczając napięcie U_N. Zastosujemy metodę potencjałów węzłowych przy założeniu, że punkt 0 jest węzłem odniesienia a poszukiwany potencjał węzłowy jest równy U_N. Zgodnie z metodą potencjałów węzłowych otrzymuje się

Stąd

gdzie wielkości oznaczone symbolem Y są admitancjami: $Y_A=\frac{1}{Z_A}$, $Y_B=\frac{1}{Z_B}$, $Y_C=\frac{1}{Z_C}$, $Y_N=\frac{1}{Z_N}$. Wyznaczenie wartości napięcia U_N pozwala obliczyć wartości napięć odbiornikowych. Z prawa napięciowego Kirchhoffa napisanego dla trzech oczek w obwodzie wynika

Przy znanych wartościach admitancji odbiornika obliczenie prądu polega na zastosowaniu prawa Ohma. Mianowicie

Suma prądów w węźle N jest równa zeru, zatem $I_A+I_B+I_C=I_N$. Moce wydzielone w odbiorniku trójfazowym oblicza się jako sumę mocy wydzielonych w poszczególnych fazach odbiornika, czyli

Moc wydzielona na impedancji przewodu zerowego oznacza moc strat. Jest ona równa

Otrzymane wyniki można zinterpretować na wykresie wektorowym prądów i napięć w obwodzie. Rys. 3.9 przedstawia przypadek obciążenia niesymetrycznego.

Rys. 3.9. Wykres wektorowy prądów i napięć obwodu trójfazowego przy obciążeniu niesymetrycznym

Widoczne są dwie gwiazdy napięć fazowych: generatora o środku w punkcie 0 i odbiornika o środku w punkcie N. Dla obu gwiazd obowiązuje jeden trójkąt napięć międzyfazowych. Przesunięcie potencjału punktu N względem 0 (napięcie U_N różne od zera) jest spowodowane niesymetrią odbiornika.

W pracy układu trójfazowego gwiazdowego można wyróżnić kilka szczególnych przypadków.

• Odbiornik symetryczny ($Z_A=Z_B=Z_C=Z$) z dowolną wartością impedancji przewodu zerowego

W tym przypadku napięcie niezrównoważenia $U_N=0$, a prąd przewodu zerowego $I_N=0$. Napięcia fazowe odbiornika są równe odpowiednim napięciom generatora: $U_A=E_A,\ U_B=E_B,\ U_C=E_C$. Przy równych wartościach impedancji fazowych wszystkie prądy fazowe są równe co do amplitudy i przesunięte w fazie o 120^o. Rys. 3.10 przedstawia wykres wektorowy prądów i napięć dla tego przypadku.

Rys. 3.10. Wykres wektorowy prądów i napięć w układzie trójfazowym symetrycznym

Odbiornik symetryczny jest jednym z częściej występujących przypadków w praktyce. Przykładami takich odbiorników są: silniki elektryczne trójfazowe czy piece grzejne trójfazowe (zwykle o dużej mocy).

• Odbiornik niesymetryczny przy zwartym przewodzie zerowym

W tym przypadku napięcie niezrównoważenia $U_N=0$, stąd napięcia fazowe odbiornika są równe odpowiednim napięciom fazowym generatora (identycznie jak w poprzednim przypadku), ale prąd przewodu zerowego $I_N\ne0$. Prądy fazowe odbiornika są wówczas określane bezpośrednio na podstawie układu napięć generatorowych. Suma tych prądów w ogólnym przypadku odbiornika niesymetrycznego jest różna od zera

Wykres wektorowy prądów i napięć w układzie trójfazowym niesymetrycznym przy zwarciu bezimpedancyjnym punktów wspólnych odbiornika i generatora przedstawiony jest na rys. 3.11.

Rys. 3.11. Wykres wektorowy prądów i napięć w układzie trójfazowym przy Z_N=0

• Zwarcie fazy odbiornika przy przerwie w przewodzie zerowym

W tym przypadku napięcie niezrównoważenia jest równe napięciu fazowemu fazy zwartej. Jeśli zwartą fazą odbiornika jest faza A (Z_A=0), wówczas U_N=E_A, a napięcia odbiornikowe poszczególnych faz są określone relacjami: $U_A=E_A-E_A=0,\mathrm{\mathrm{\ \ }}U_B=E_B-E_A,\mathrm{\mathrm{\ \ }}U_C=E_C-E_A$. Wobec zerowej wartości napięcia odbiornikowego fazy A i zerowej impedancji tej fazy prąd fazy zwartej nie może być określony z prawa Ohma (dzielenie zera przez zero). Określa się go z prawa prądowego Kirchhoffa napisanego dla węzła N, zgodnie z którym

Wykres wektorowy prądów i napięć w układzie trójfazowym dla przypadku zwarcia fazy A odbiornika przedstawiony jest na rys. 3.12.

Rys. 3.12. Wykres wektorowy prądów i napięć w układzie trójfazowym przy zwarciu fazy A odbiornika

Schemat elektryczny połączeń elementów obwodu trójfazowego o odbiorniku i generatorze połączonych w trójkąt (układ trójkąt-trójkąt) przedstawia rys. 3.13.

Rys. 3.13. Układ trójfazowy trójkątny

Przyjmijmy dla uproszczenia, że impedancje przewodów zasilających poszczególne fazy są zerowe. Oznacza to, że napięcia na fazach odbiornika (włączonych międzyfazowo) są napięciami międzyfazowymi generatora, to jest

Stąd przy zadanych wartościach impedancji odbiornika prądy fazowe tego odbiornika są określone wzorami

Prądy przewodowe zasilające obwód trójkątny odbiornika mogą być wyznaczone z zależności

Zauważmy, że wobec powyższych wzorów suma prądów przewodowych w układzie, niezależnie od wartości impedancji odbiornika jest równa zeru

Rys. 3.17 przedstawia wykres wektorowy prądów i napięć w układzie trójfazowym o połączeniu trójkątnym.

Rys. 3.17. Wykres wektorowy prądów i napięć w układzie trójfazowym o połączeniu trójkątnym

W przypadku pełnej symetrii generatora i odbiornika wszystkie układy napięć i prądów w układzie będą również symetryczne a przesunięcia między prądami oraz napięciami poszczególnych faz w odpowiednich układach będą równe 120^o. Interesująca jest wówczas relacja między prądami fazowymi oraz liniowymi układu. Z wykresu wektorowego przedstawionego na rys. 3.18 widać, że w przypadku symetrycznym moduły wszystkich prądów liniowych są sobie równe, podobnie jak moduły wszystkich prądów fazowych przy równych przesunięciach fazowych między wektorami o kąt 120^o. Z analizy przesunięć kątowych wynika, że kąt między wektorem prądu fazowego I_f oraz liniowego I_l jest równy 30^o. Z zależności trygonometrycznych wynika, że

skąd po prostych przekształceniach matematycznych otrzymuje się

W układzie symetrycznym prąd liniowy jest $\sqrt3$ razy większy niż prąd fazowy. Jest to identyczna relacja jaka istnieje między napięciami fazowymi i międzyfazowymi (liniowymi).

Przełączenie impedancji odbiornika z połączenia trójkątnego w gwiazdowe powoduje zmianę mocy wydzielonej w odbiorniku. Załóżmy dla uproszczenia, że obwód trójfazowy jest symetryczny o impedancji fazy równej Z. Schemat połączenia trójkątny i gwiazdowy impedancji przedstawiony jest na rys. 3.18.

Rys. 3.18. Układy połączeń impedancji Z odbiornika symetrycznego w a) trójkąt, b) gwiazdę

Jak łatwo pokazać dla układu trójkątnego moc czynna P układu jest równa

natomiast w układzie gwiazdowym wobec U_N = 0 mamy

Jak wynika z powyższych wzorów przy przełączeniu odbiornika symetrycznego z połączenia gwiazdowego w trójkątne pobór mocy czynnej wzrasta 3-krotnie. Przy tej samej wartości impedancji w obu połączeniach oznacza to $\sqrt3$-krotny wzrost prądu płynącego przez impedancję.

Z bilansu mocy w układzie trójfazowym wynika, że moc wytworzona w generatorze trójfazowym równa sumie mocy poszczególnych jego faz odnajduje się w postaci mocy wydzielonej w fazach odbiornika. W przypadku mocy chwilowej wydzielonej w odbiorniku mamy

Moc czynna P odbiornika jest całką po okresie T z mocy chwilowej. Stąd

Poszczególne składniki sumy odpowiadają mocy poszczególnych faz. Adaptując wzory na moc w układzie jednofazowym otrzymuje się

gdzie

Wzór określający całkowitą moc czynną w układzie trójfazowym można więc przedstawić w postaci

Moc czynna pobierana przez odbiornik trójfazowy jest równa sumie mocy czynnych poszczególnych faz. W przypadku ogólnym obwodu trójfazowego niesymetrycznego pomiar mocy czynnej wymaga użycia trzech watomierzy, z których każdy mierzy moc jednej fazy. Schemat połączeń trzech watomierzy w tym przypadku przedstawiono na rys. 3.19. Cewka prądowa każdego watomierza zasilana jest odpowiednim prądem fazowym a cewka napięciowa mierzy napięcie odpowiedniej fazy.

Rys. 3.19. Pomiar mocy czynnej za pomocą trzech watomierzy w układzie niesymetrycznym czteroprzewodowym

W przypadku układu symetrycznego ze względu na równość prądów i przesunięć kątowych w poszczególnych fazach odbiornika moc wskazywana przez każdy watomierz byłaby taka sama. Stąd do pomiaru mocy w tym układzie wystarczy użycie jednego watomierza spośród trzech pokazanych na rys. 3.19. Moc całkowita P układu trójfazowego jest wówczas potrojoną wartością wskazania tego watomierza. Wobec pełnej symetrii odbiornika watomierz może być włączony w dowolnej fazie. W każdym przypadku watomierz włączony w danej fazie mierzy prąd fazy i napięcie fazowe względem punktu neutralnego.

W przypadku odbiornika niesymetrycznego o trzech przewodach zasilających pomiar całkowitej mocy układu może być dokonany przy pomocy dwu watomierzy. Dla pokazania takiej możliwości przepiszemy wzór na moc chwilową układu

W układzie trójprzewodowym suma prądów przewodowych jest równa zeru, co znaczy, że

Eliminując prąd fazy C $i_C$ z zależności na moc chwilową, uzyskuje się

Moc czynna jako wartość średnia za okres z mocy chwilowej dla przebiegów sinusoidalnych może więc być wyrażona w postaci

W wyrażeniu tym prądy i napięcia dotyczą modułów wartości skutecznych zespolonych odpowiednich faz natomiast kąty $\varphi_1$ i $\varphi_2$ oznaczają przesunięcia fazowe między odpowiednio napięciem U_AC i prądem I_A oraz między napięciem U_BC i prądem I_B. Powyższa zależność umożliwia podanie schematu elektrycznego połączeń elementów pomiarowych obwodu. Schemat pomiaru mocy przy pomocy dwu watomierzy nosi nazwę układu Arona i podany jest na rys. 3.20.

Rys. 3.20. Układ Arona do pomiaru mocy za pomocą dwu watomierzy

Cewki prądowe watomierzy włączone są w dwie linie odbiornika trójfazowego, natomiast cewki napięciowe włączone są między daną fazę i fazę trzecią, w której nie ma włączonego watomierza.

Powyższy schemat pomiarowy jest słuszny zarówno dla układu niesymetrycznego jak i symetrycznego. W przypadku układu symetrycznego zastosowanie go do pomiaru mocy czynnej umożliwia uzyskanie także innych informacji o obwodzie trójfazowym, w szczególności mocy biernej oraz kąta przesunięcia fazowego.

Zauważmy, że w przypadku pełnej symetrii moduły i kąty przesunięcia fazowego prądów względem odpowiednich napięć fazowych w poszczególnych fazach są równe

Przy założeniu odbiornika gwiazdowego wykres wektorowy prądów i napięć obwodu przedstawiony jest na rys. 3.21.

Rys. 3.21. Wykres wektorowy prądów i napięć symetrycznego układu trójfazowego

Z analizy zależności kątowych na tym rysunku wynika, że

Stąd wzór na moc wskazywaną przez oba watomierze upraszcza się do postaci

Suma obu wskazań watomierzy jest więc równa

Jak widać suma wskazań obu watomierzy jest potrojoną wartością mocy jednej fazy, co wobec symetrii odbiornika jest potwierdzeniem poprawności działania układu Arona.

Odejmując od siebie wskazania obu przyrządów udowodnimy, że różnica wskazań jest proporcjonalna do mocy biernej układu. Mianowicie

Biorąc pod uwagę, że moc bierna jednej fazy jest równa $Q_f=\left|U_f\right|\left|I\right|sin{\varphi}$ z ostatniej zależności wynika następujący wzór

a moc bierna całkowita układu trójfazowego symetrycznego jest równa

Tak więc zastosowanie dwu watomierzy zamiast jednego, w przypadku symetrii odbiornika, ma tę zaletę, że dostarcza informacji jednocześnie o mocy czynnej i mocy biernej układu. Dodatkowo, jeśli uwzględnimy, że kąt przesunięcia fazowego jest w pełni określony przez moc czynną i bierną według wzoru

na podstawie wskazań watomierzy można bezpośrednio określić kąt przesunięcia fazowego między prądami i napięciami fazowymi w układzie

Stąd na podstawie pomiaru mocy dwoma watomierzami jest możliwe określenie trzech wielkości jednocześnie: mocy czynnej, mocy biernej oraz kąta przesunięcia fazowego między prądami i napięciami w obwodzie.

W dotychczasowych rozważaniach układów trójfazowych ograniczyliśmy się do analizy układów o symetrycznym zasilaniu, czyli takich w których amplitudy wszystkich napięć fazowych są równe, a przesunięcia kątowe między poszczególnymi fazami 120^o. W rzeczywistych układach ze względu na niezerową impedancję przewodów zasilających przy różnych prądach fazowych powstają różnice w napięciach fazowych generatora zasilających linię. Oznacza to zróżnicowanie zarówno amplitud poszczególnych napięć jak i przesunięć fazowych w stosunku do 120^o. Stąd założenie symetrii napięć generatora w układach rzeczywistych nie musi być zawsze spełnione. Drugi aspekt niesymetrii dotyczy samych prądów i napięć na elementach odbiornika trójfazowego. Nawet przy symetrycznym zasilaniu ale założeniu niesymetrii odbiornika powstaje sytuacja, w której zarówno prądy jak i napięcia na gałęziach obwodu są niesymetryczne. Stąd powstaje potrzeba stworzenia metodyki analizy układów trójfazowych niesymetrycznych, zwłaszcza pod kątem stworzenia miar odkształcenia od symetrii. Takim narzędziem są składowe symetryczne.

Metoda składowych symetrycznych polega na tym, że stosując odpowiednie przekształcenia liniowe zastępuje się układ trzech wektorów trójfazowych niesymetrycznych przez równoważne mu trzy układy trzech wektorów symetrycznych. Niesymetryczne źródło zasilania trójfazowego zostaje zastąpione przez układ trzech źródeł trójfazowych, z których jedno jest o kolejności wirowania zgodnej (kolejność identyczna jak w układach rozważanych dotąd), drugie o kolejności przeciwnej i trzecie o kolejności zerowej (brak przesunięcia między wektorami fazowymi). Ilustracja takiego rozkładu jest przedstawiona na rys. 9.1

Rys. 4.1. Ilustracja metody rozkładu niesymetrycznego układu napięć trójfazowych na sumę trzech układów napięć trójfazowych symetrycznych

Układowi 3 napięć niesymetrycznych trójfazowych przyporządkować można równoważny układ trzech źródeł trójfazowych, reprezentujących składową zerową (brak przesunięcia między napięciami fazowymi), składową zgodną (napięcie fazy B opóźnia się względem fazy A a napięcie fazy C wyprzedza napięcie fazy A) oraz składową przeciwną (napięcie fazy B wyprzedza napięcie fazy A natomiast napięcie fazy C opóźnia się względem napięcia fazy A). Ilustracja takiego przekształcenia pokazana jest na rys. 9.2

Rys. 4.2. Przekształcenie równoważne generatora napięć niesymetrycznych na trzy generatory napięć symetrycznych

Symbolem a oznaczono wektor jednostkowy obrotu o kąt 120^o

Można łatwo pokazać, że słuszna jest następująca zależność

Równoważność obu układów napięć z rys. 9.2 wymaga, aby spełnione były następujące równości

gdzie E₀, E₁, E₂ oznaczają składowe kolejności odpowiednio zerowej, zgodnej i przeciwnej (faza A odpowiedniego układu). Zapis macierzowy powyższej zależności przyjmuje postać

Z zależności tej na podstawie danych wartości rzeczywistych napięć fazowych E_A, E_B, E_C otrzymać można składowe symetryczne E₀, E₁, E₂. Dokonując odwrócenia macierzy w powyższej zależności otrzymuje się

Identyczny rozkład na składowe symetryczne przypisać można niesymetrycznemu układowi prądów oraz impedancji przez prostą zamianę symbolu E na symbol prądu I oraz impedancji Z. W przypadku prądów rozkład na składowe symetryczne dany jest wzorem

Zależność opisująca rozkład na składowe symetryczne impedancji jest z kolei następująca

Identyczne zależności przyporządkować można wielkościom międzyfazowym. W tym przypadku wskaźniki fazowe A, B, C zastępuje się wskaźnikami międzyfazowymi odpowiednio AB, BC oraz CA. Przykładowo, w przypadku rozkładu napięć międzyfazowych na składowe symetryczne mamy

Zależności opisujące rozkład na składowe symetryczne są identyczne dla napięć, prądów i impedancji międzyfazowych. Niezależnie od tego wynik uzyskany z takiego rozkładu różni się znacznie od siebie, szczególnie w przypadku występowania symetrii. Różnice pokażemy na przykładzie.

Składowe symetryczne napięć, prądów i impedancji zdefiniowane wzorami (4.7) – (4.10) mają interesujące własności charakteryzujące niesymetrię wielkości trójfazowych. Podstawowe własności można sformułować następująco.

• W układzie symetrycznym zgodnym napięć (prądów) składowa zerowa i przeciwna znikają, a składowa zgodna jest równa napięciu (prądowi) fazy podstawowej. Dowód powyższej własności przedstawiony został w przykładzie 4.1.
• W układzie symetrycznym przeciwnym napięć (prądów) składowa zerowa i zgodna znikają, a składowa przeciwna jest równa napięciu (prądowi) fazy podstawowej. Dowód powyższej własności przy prostej zamianie kolejności zgodnej na przeciwną w napięciach oryginalnych wynika z rozważań zawartych w przykładzie 4.1.
• Wystąpienie w rozkładzie na składowe symetryczne napięć lub prądów o kierunku wirowania zgodnym składowej zerowej i przeciwnej świadczy o niesymetrii układu badanych napięć lub prądów.

• W układzie symetrycznym zerowym impedancji (wszystkie trzy impedancje równe sobie) składowa zgodna i przeciwna znikają, a składowa zerowa jest równa impedancji zadanej. Dowód powyższej własności przedstawiony został w przykładzie 4.2

• W układzie trójfazowym trójprzewodowym składowa zerowa prądów liniowych jest równa zeru. Wynika to z faktu, że suma prądów liniowych w obwodzie trójprzewodowym jest z definicji równa zeru (prąd przewodu zerowego wobec jego braku musi być równy zeru), to znaczy $I_A+I_B+I_C=3I_0=0$.
• W układzie trójfazowym czteroprzewodowym prąd w przewodzie zerowym jest równy potrójnej wartości składowej zerowej, $I_N=3I_0$. Własność ta wynika bezpośrednio z prawa prądowego Kirchhofa, zgodnie z którym $I_N=I_A+I_B+I_C=3I_0$.

• Składowa symetryczna zerowa układu napięć międzyfazowych jest równa zeru. Dowód powyższej własności wynika z faktu, że suma napięć międzyfazowych niezależnie od symetrii jest z definicji równa zeru (układ napięć międzyfazowych tworzy trójkąt zamknięty), to znaczy $E_{AB}+E_{BC}+E_{CA}=3E_0=0$.
• Składowa zgodna i przeciwna napięć międzyfazowych w przypadku zerowania się jednego z napięć mają takie same moduły, równe napięciu fazowemu układu trójfazowego.

Dowód tej własności wynika bezpośrednio z definicji rozkładu. Zauważmy, że przy braku jednego napięcia międzyfazowego dwa pozostałe są sobie równe i przeciwnie skierowane. Jeśli przyjmiemy, że U_BC=0 oraz U_AB=E_mf, U_CA=-E_mf, gdzie E_mf oznacza napięcie międzyprzewodowe to ze wzorów na składowe symetryczne otrzymuje się

$E_1=\frac{1}{3}\left(E_{AB}+aE_{BC}+a^2E_{CA}\right)=\frac{1}{3}E_{mf}\left(1-a^2\right)=\frac{1}{3}E_{mf}\left(1,5+j\frac{\sqrt3}{2}\right)=\frac{1}{3}E_{mf}\sqrt3e^{j30^o}=E_fe^{j30^o}$

$E_2=\frac{1}{3}\left(E_{AB}+a^2E_{BC}+aE_{CA}\right)=\frac{1}{3}E_{mf}\left(1-a\right)=\frac{1}{3}E_{mf}\left(1,5-j\frac{\sqrt3}{2}\right)=\frac{1}{3}E_{mf}\sqrt3e^{-j30^o}=E_fe^{-j30^o}$

Jak z powyższego widać obie składowe rozkładu (zgodna i przeciwna) są równe co do modułu wartości napięcia fazowego E_f i symetrycznie przesunięte względem fazy zerowej o kąt ±30^o. Konstrukcję graficzną składowych symetrycznych dla tego przypadku przedstawiono na rys. 4.3

Rys. 4.3. Konstrukcja graficzna składowych zgodnej i przeciwnej układu napięć międzyprzewodowych przy braku jednego z napięć

• W maszynach elektrycznych składowa zgodna prądów wywołuje pole wirujące zgodnie z kierunkiem prędkości obrotowej maszyny a układ przeciwny prądów - pole wirujące przeciwne do tej prędkości. Duża niesymetria w układzie trójfazowym objawiająca się przewagą składowej przeciwnej może więc spowodować zmianę kierunku wirowania maszyny.
• Składowa przeciwna występująca w maszynie elektrycznej wirującej w kierunku zgodnym indukuje w maszynie prądy o podwójnej częstotliwości. Stąd wywiera ona niekorzystny wpływ na pracę maszyny (zwiększony efekt grzania maszyny).

Rozkład napięć i impedancji na składowe symetryczne umożliwia bezpośrednie wyznaczenie składowych symetrycznych prądów w obwodzie bez konieczności rozwiązywania obwodu dla wielkości rzeczywistych. Zależności zachodzące między składowymi symetrycznymi napięć, prądów i impedancji wynikają z tak zwanego prawa Kirchhoffa dla składowych symetrycznych. Prawo to odnosi się do układu gwiazdowego. Przyjmijmy, że składowe symetryczne odpowiednio napięć fazowych, prądów fazowych i impedancji fazowych oznaczymy w postaci E₀, E₁, E₂ (napięcia), I₀, I₁, I₂ prądy) oraz Z₀, Z₁, Z₂ (impedancje). Wtedy prawo Kirchhoffa zapiszemy w następującej formie

Przy skończonej impedancji przewodu zerowego wystąpią wszystkie harmoniczne prądów fazowych. Jeśli przewód zerowy nie istnieje ($Z_N=\infty$) wówczas z definicji prąd składowej zerowej jest równy zeru i powyższy układ równań redukuje się do rzędu drugiego (równanie pierwsze jako nieokreślone odrzuca się)

Należy podkreślić, że równanie Kirchhoffa dla składowych symetrycznych stanowi interesujący z punktu widzenia teoretycznego związek między składowymi symetrycznymi napięć, prądów i impedancji. Jest wygodną formą bezpośredniego wyznaczenia składowych symetrycznych prądu. Nie należy go jednak traktować jako metody wyznaczania rzeczywistych prądów w obwodzie trójfazowym przy niesymetrycznym zasilaniu, gdyż zwykła teoria obwodów trójfazowych (bez rozkładu na składowe symetryczne) znacznie szybciej i prościej prowadzi do wyniku.

W obwodzie trójfazowym czteroprzewodowym (tylko w takim układzie składowa zerowa może być różna od zera) włączenie amperomierza bezpośrednio do przewodu zerowego pozwoliłoby zmierzyć sumę prądów liniowych, czyli również składową zerową tych prądów. Taki sposób nie jest jednak stosowany ze względu na to, że wymagałby ingerencji w pracujący system. W zamian stosuje się metody nieinwazyjne polegające na zastosowaniu przekładników prądowych, których włączenie do sieci nie wymaga żadnych przełączeń w obwodzie głównym. Przekładnik prądowy transformuje prąd pierwotny na prąd wtórny proporcjonalny do prądu pierwotnego ze współczynnikiem proporcjonalności k. Jeśli prąd pierwotny przekładnika jest równy I₁ to prąd I₂ płynący po stronie wtórnej przekładnika jest równy I₂=kI₁. Schemat układu filtru składowej zerowej prądów liniowych przedstawiony jest na rys. 4.4.

Rys. 4.4. Układ filtru składowej symetrycznej zerowej prądów liniowych

Jak łatwo pokazać uzwojenia wtórne przekładników tworzą połączenie równoległe a prąd płynący przez miernik jest równy sumie prądów liniowych przeskalowanych przez przekładnię k przekładnika. W związku z powyższym wskazanie przyrządu jest równe

Zwykłe przeskalowanie przyrządu pomiarowego prądu I_p pozwala na uzyskanie wskazania równego składowej zerowej prądów liniowych.

Filtr składowej zerowej napięć fazowych (rys. 4.5) wykorzystuje również przekładniki, tym razem napięciowe, przetwarzające napięcie pierwotne na napięcie wtórne zgodnie z relacją U₂=kU₁, gdzie k jest przekładnią przekładnika. Dzięki zastosowaniu przekładnika możliwe jest obniżenie napięć pierwotnych do poziomu niskiego a jednocześnie galwaniczne odizolowanie toru pomiarowego od obwodu głównego.

Rys. 4.5 Filtr składowej zerowej napięć fazowych

Woltomierz pomiarowy włączony jest na sumę napięć wtórnych przekładnika. Suma napięć składowej zgodnej i przeciwnej jest równa zeru ze względu na ich symetrię. Pozostaje jedynie wskazanie od składowej zerowej. Woltomierz mierząc sumę napięć

mierzy jednocześnie składową zerową, gdyż składowa zerowa jest równa 1/3 tej sumy. W związku z tym składowa zerowa napięć fazowych jest proporcjonalna do wskazania woltomierza, to jest

Spośród wielu istniejących rozwiązań filtru składowych zgodnych i przeciwnych prądu omówimy układ uniwersalny, który w zależności od doboru parametrów może pełnić rolę bądź filtru składowej zgodnej bądź przeciwnej. Schemat układu filtru przedstawiony jest na rys. 4.6.

Rys. 4.6 Schemat filtru składowej zgodnej i przeciwnej prądów liniowych

W filtrze zastosowane są również przekładniki prądowe. Załóżmy, że uwzględniamy impedancję Z_p amperomierza pomiarowego. Dodatkowym założeniem jest zasilanie trójprzewodowe odbiornika trójfazowego, dla którego słuszna jest relacja $I_A+I_B+I_C=0$. Na podstawie prawa napięciowego Kirchhoffa dla oczka zaznaczonego na rysunku możemy napisać

Prądy I_ZA oraz I_ZC można wyznaczyć z prądowego prawa Kirchhoffa jako

Podstawiając powyższe zależności do napięciowego prawa Kirchhoffa otrzymuje się

Prądy przewodowe podlegające rozkładowi na składowe symetryczne, wobec zerowania się składowej zerowej, można zapisać w postaci

Po podstawieniu tych wyrażeń do wzoru na prąd I_p otrzymuje się

Wzór powyższy wskazuje na to, że prąd pomiarowy przy odpowiednim doborze impedancji może być proporcjonalny zarówno do składowej zgodnej jak i przeciwnej. Jeśli chcemy mierzyć składową zgodną prądów, należy wyzerować czynnik stojący przy prądzie składowej przeciwnej, to jest

Wystarczy w tym celu dobrać impedancje w taki sposób, aby

Istnieje wiele rozwiązań tego równania. Wystarczy przyjąć na przykład

Oznacza to, że przy wyborze impedancji Z_A i Z_C określonych powyższymi wzorami (impedancja Z_C jest rezystancją a impedancja Z_A połączeniem szeregowym rezystancji R/2 i indukcyjności o reaktancji $X_L=\sqrt3\frac{R}{2}$) amperomierz wskaże prąd proporcjonalny do składowej zgodnej prądów liniowych, przy czym

Po uproszczeniu wzoru otrzymuje się

Jeśli zaniedbamy impedancję wewnętrzną amperomierza pomiarowego otrzymamy

Wskazanie amperomierza występującego w filtrze (moduł mierzonego prądu) jest więc równe modułowi składowej zgodnej prądów liniowych układu, z uwzględnieniem przekładni k przekładnika prądowego.

W analogiczny sposób można otrzymać filtr składowej przeciwnej prądów. W tym celu należy wyzerować czynnik przy składowej zgodnej prądów we wzorze (4.23), czyli

Warunek ten może być spełniony przy wyborze

Oznacza to, że dla uzyskania filtru składowej przeciwnej należy wybrać impedancję Z_C równą rezystancji R natomiast Z_A będącą połączeniem szeregowym rezystancji R/2 oraz reaktancji pojemnościowej $X_C=\sqrt3\frac{R}{2}$. Prąd mierzony przez amperomierz będzie teraz równy

Po uproszczeniu wzoru otrzymuje się

Jeśli zaniedbamy impedancję wewnętrzną amperomierza pomiarowego otrzymamy

Wskazanie amperomierza filtru (moduł wartości skutecznej zespolonej) jest więc równe modułowi składowej przeciwnej prądów liniowych układu, z uwzględnieniem przekładni k przekładnika prądowego.