Podręcznik

Rozważania dotyczące analizy stanów nieustalonych metodą operatorową zakładały badanie zjawisk zachodzących w obwodach na skutek przełączeń. W ogólnym przypadku zakładaliśmy wystąpienie niezerowych warunków początkowych wynikających ze stanu obwodu przed komutacją. Badania dotyczyły dowolnych prądów lub napięć w obwodzie. Z punktu widzenia praktycznego szczególnie ważny jest przypadek zerowych warunków początkowych i obliczania jedynie wybranego prądu lub napięcia w obwodzie traktowanego jako sygnał wyjściowy. W takim przypadku wygodnie jest wprowadzić pojęcie transmitancji operatorowej.

Weźmy pod uwagę obwód złożony z dowolnych elementów pasywnych RLCM i źródeł sterowanych nie zawierających wewnątrz żadnych źródeł niezależnych. Wyróżnijmy w tym obwodzie jedną parę zacisków uważanych za wejściowe, do których przykładamy źródło wymuszające oraz drugą parę zacisków wyjściowych, z których zbieramy prąd (zaciski zwarte) lub napięcie (zaciski rozwarte).

Transmitancja operatorowa określa związek między transformatą operatorową sygnału wyjściowego (odpowiedzi), którą tutaj oznaczymy w ogólności przez Y(s) oraz transformatą operatorową wymuszenia (sygnału wejściowego), oznaczoną ogólnie przez X(s). Transmitancja operatorowa jest zwykle oznaczana w postaci T(s) lub H(s), przy czym oba oznaczenia są stosowane zamiennie. Transmitancją operatorową nazywać będziemy stosunek transformaty sygnału wyjściowego (prądu lub napięcia) do transformaty sygnału wejściowego układu (źródła napięciowego lub prądowego) przy zerowych warunkach początkowych

W zależności od sygnału wejściowego i wyjściowego układu wyróżnić można cztery rodzaje transmitancji operatorowych: transmitancja napięciowa, prądowa, napięciowo-prądowa i prądowo-napięciowa. Przyjmijmy oznaczenie bramy wejściowej cyfrą 1 a bramy wyjściowej cyfrą 2 jak to pokazano na rys. 1.1.

Rys. 1.1. Oznaczenia układu przy definicji transmitancji

Transmitancja napięciowa dotyczy stosunku dwu napięć zewnętrznych układu. Sygnałem wejściowym jest źródło napięciowe, a sygnałem wyjściowym napięcie na dowolnym elemencie uznane za napięcie wyjściowe. Jest ona definiowana w postaci

W definicji transmitancji napięciowej zakłada się, że napięcie wyjściowe układu mierzone jest w stanie jałowym tzn. przy $Z_0=\infty$ (bez obciążenia zacisków wyjściowych, $I_2=0$).

Transmitancja prądowa dotyczy stosunku dwu prądów zewnętrznych układu, z których jeden jest prądem wymuszającym a drugi prądem gałęzi uznanym za prąd wyjściowy i jest definiowana w postaci

W definicji tej transmitancji zakłada się, że prąd wyjściowy I₂ jest mierzony w części bezimpedancyjnej gałęzi wyjściowej  Z₀ = 0 odpowiadającej U₂ = 0.

Transmitancja napięciowo-prądowa przyjmuje napięcie na dowolnym elemencie obwodu jako sygnał wyjściowy Y(s). Sygnałem wejściowym X(s) jest wymuszenie prądowe. Jest zatem zdefiniowana w postaci

Napięcie U₂ mierzone jest w stanie jałowym ($Z_0=\infty$) obwodu.

Transmitancję prądowo-napięciową definiuje się jako stosunek prądu wyjściowego do napięcia wejściowego (sygnałem wejściowym X(s) jest napięcie wymuszające a sygnałem wyjściowym Y(s) prąd dowolnego elementu w obwodzie)

Szczególnym przypadkiem transmitancji napięciowo-prądowej jest impedancja wejściowa układu, w definicji której przyjmuje się, że prąd i napięcie dotyczą tej samej bramy wejściowej. Jej definicja jest przyjmowana w postaci

Definicja impedancji wejściowej układu zakłada dowolny stan obciążenia Z₀. Należy jednak zwrócić uwagę, że każda zmiana impedancji obciążenia zmienia impedancję wejściową. Stąd definiując impedancję wejściową należy sprecyzować, przy jakim obciążeniu jest ona wyznaczana.

W identyczny sposób można zdefiniować impedancję wyjściową, w której prąd i napięcie dotyczą bramy wyjściowej układu Odwrotność impedancji wejściowej (lub wyjściowej) nazywana jest admitancją wejściową (wyjściową), która może być zinterpretowana jako szczególny przypadek transmitancji prądowo-napięciowej.

Przy wyznaczaniu transmitancji operatorowej obwodu zawierającego rezystancje, indukcyjności, indukcyjności sprzężone i pojemności wykorzystuje się model operatorowy poszczególnych elementów R, L, C i M wprowadzony w lekcji poprzedniej. Przy założeniu zerowych warunków początkowych dla indukcyjności i pojemności modele tych elementów nie zawierają źródeł a jedynie impedancje operatorowe Z(s). Zestaw impedancji operatorowych dla elementów pasywnych przedstawiono w tablicy 1.1

Tablica 1.1 Impedancje operatorowe przyporządkowane elementom pasywnym

Dla obwodów pasywnych zawierających elementy R, L, C i M obliczenie transmitancji operatorowej polega na zastąpieniu elementu rzeczywistego poprzez ich impedancje operatorowe a następnie wykorzystując dowolną metodę analizy (metoda praw Kirchhoffa, węzłowa, oczkowa, Thevenina, Nortona) należy wyznaczyć odpowiedź operatorową w funkcji wymuszenia. Wobec liniowości obwodu każda jego odpowiedź (dowolny prąd i dowolne napięcie) jest liniową funkcją wymuszenia. Obliczając transmitancję dzieli się odpowiedź przez wymuszenie, w wyniku czego zmienna będąca wymuszeniem ulega redukcji i w efekcie transmitancja zależy wyłącznie od parametrów RLC obwodu oraz źródeł sterowanych, będąc jednocześnie funkcją zmiennej zespolonej s. Metodę wyznaczania transmitancji operatorowej zilustrujemy na przykładzie obwodu LC przedstawionego na rys. 1.3.

W ogólnym przypadku obwodu elektrycznego liniowego zawierającego rezystory, cewki i kondensatory oraz źródła sterowane dowolna transmitancja operatorowa ma postać funkcji wymiernej o stopniu licznika równym m i stopniu mianownika równym n

Współczynniki a_i mianownika oraz b_i licznika są funkcjami parametrów elementów obwodu i dla ich konkretnych wartości przyjmują wartości rzeczywiste. Najwyższy stopień wielomianu jest równy (w szczególnych przypadkach mniejszy) liczbie elementów reaktancyjnych (cewek i kondensatorów) obwodu. Najczęściej w obwodach występujących w praktyce stopień mianownika jest nie mniejszy niż stopień licznika.

Pojęcie impedancji operatorowej jest uogólnieniem impedancji zespolonej elementów stosowanej w metodzie symbolicznej przy analizie stanów ustalonych w obwodzie zawierającym wymuszenia sinusoidalne. Łatwo pokazać to zakładając $s=j\omega$ we wzorach określających odpowiednie impedancje operatorowe. Dla elementów indukcyjnych i pojemnościowych przy założeniu $s=j\omega$ otrzymuje się następujące zależności

Impedancje $Z(j\omega)$ reprezentują impedancje symboliczne elementów RLC, obowiązujące w analizie stanów ustalonych przy wymuszeniach sinusoidalnych. Założenie $s=j\omega$ upraszcza zatem opis obwodu w stanie nieustalonym do opisu obwodu w stanie ustalonym przy założeniu wymuszenia sinusoidalnego.

Jak zostało pokazane w lekcji dziesiątej obwody liniowe RLC mogą być opisane w dziedzinie zmiennych stanu poprzez równanie stanu, którego postać macierzowa jest następująca

Zmienna x jest wektorem zmiennych stanu, u wektorem wymuszeń napięciowych i prądowych występujących w obwodzie, A jest macierzą stanu a B – macierzą wymuszeń. Jeśli zbiór sygnałów wyjściowych obwodu oznaczymy w postaci wektora y, to można je wyrazić jako kombinację liniową zmiennych stanu oraz wymuszeń. Oznacza to, że wektor wyjściowy y może być zapisany w postaci macierzowej

Wielkości C i D występujące we wzorze stanowią również macierze o odpowiednich wymiarach.

W stosunku do opisu macierzowego (1.11) i (1.12) zastosujemy przekształcenie Laplace’a. Przy założeniu zerowych warunków początkowych i uwzględnieniu własności przekształcenia dotyczącej transformaty pochodnej, z równania (1.11) otrzymuje się

Stąd

Poddając również drugie równanie stanu (1.12) przekształceniu Laplace’a otrzymuje się

Po uwzględnieniu zależności (1.14) otrzymuje się

Przy uwzględnieniu jednego wejścia (wymiar wektora u równy jeden) i jednego wyjścia (wymiar wektora y równy także jeden) wektor wyjściowy Y(s) staje się skalarem Y(s), podobnie jak wymuszenie U(s). Transmitancja operatorowa jest więc określona w postaci

We wzorze tym macierz D uprościła się do skalara. Zauważmy, że mianownik transmitancji operatorowej jest równy wielomianowi charakterystycznemu macierzy A, to jest

Pierwiastki tego mianownika (bieguny układu) są tożsame z wartościami własnymi macierzy stanu A. Wzór (1.17) stanowi związek między opisem stanowym układu a opisem operatorowym transmitancyjnym.

Opis obwodu w dziedzinie zmiennej zespolonej s pozwala badać jego zachowanie przy pobudzeniu dowolnym wymuszeniem. Szczególnie ważne są właściwości dynamiczne obwodów (stan nieustalony) przy pobudzeniu za pomocą pewnych wymuszeń standardowych. Do takich wymuszeń należy impuls Diraca $\delta(t)$ oraz funkcja skoku jednostkowego $1(t)$.

Odpowiedzią impulsową układu nazywamy jego odpowiedź czasową na wymuszenie w postaci impulsu Diraca przy zerowych warunkach początkowych obwodu. Dla wyznaczenia odpowiedzi impulsowej wykorzystuje się pojęcie transmitancji operatorowej T(s). Transformata funkcji impulsowej Diraca jest równa 1, zatem obliczając odpowiedź obwodu przyjmiemy wymuszenie X(s)=1. Bezpośrednio z definicji transmitancji wynika

Odpowiedź impulsowa układu jest transformatą odwrotną Laplace’a sygnału Y(s). Stąd

Z powyższej zależności wynika, że odpowiedź impulsowa jest transformatą odwrotną Laplace’a transmitancji operatorowej T(s) układu.

Odpowiedzią skokową układu nazywamy odpowiedź czasową tego układu na wymuszenie w postaci skoku jednostkowego 1(t) przy zerowych warunkach początkowych obwodu. Biorąc pod uwagę, że transformata Laplace’a funkcji jednostkowej 1(t) jest równa 1/s otrzymuje się

Odpowiedź skokowa jest transformatą odwrotną Laplace’a sygnału Y(s). Stąd

Odpowiedź skokowa układu jest więc transformatą odwrotną Laplace’a transmitancji operatorowej T(s) tego układu, podzielonej przez zmienną zespoloną s. Podobnie jak odpowiedź impulsowa odpowiedź skokowa jest określona w pełni przez transmitancję operatorową T(s) układu.

Opis układów liniowych za pomocą transmitancji operatorowej bądź równoważny mu opis równaniami stanu pozwala badać cechy jakościowe układu na podstawie analizy położenia jego biegunów (wartości własnych macierzy stanu). Do najważniejszych cech układu należą pojęcie stabilności oraz charakter odpowiedzi układu w stanie przejściowym na skutek przyłożenia wymuszenia zewnętrznego.

Stabilność układu jest rozumiana w sensie ograniczonej co do wartości odpowiedzi na wymuszenie o skończonej wartości, dla dowolnej chwili czasowej t. Układ nazywać będziemy stabilnym, jeśli jego odpowiedź czasowa na skończoną wartość pobudzenia będzie ograniczona co do wartości w dowolnej chwili czasowej t. Stabilność wymaga, aby przy zaniku pobudzenia odpowiedź układu w stanie ustalonym przy $t\rightarrow\infty$ była ograniczona co do wartości (stabilność w sensie zwykłym) lub zerowa (stabilność w sensie asymptotycznym). Oznacza to, że dla układów stabilnych odpowiedź w stanie przejściowym powinna zanikać do zera lub co najmniej nie narastać, pozostając na ustalonym poziomie.

Stabilność układu może więc być oceniana na podstawie odpowiedzi impulsowej. Jeśli odpowiedź ta zanika do zera lub pozostaje na stałym poziomie przy $t\rightarrow\infty$ układ jest stabilny. Jeśli natomiast odpowiedź impulsowa ma charakter narastający w czasie – układ jest niestabilny. Zauważmy, że odpowiedź impulsowa jest transformatą odwrotną Laplace’a transmitancji operatorowej

Jeśli bieguny układu oznaczymy przez s_i gdzie i = 1, 2, ..., n, wówczas w przypadku biegunów jednokrotnych na podstawie metody residuów odpowiedź impulsowa może być wyrażona wzorem

Wzór ten dowodzi, że jeśli wszystkie bieguny układu są położone wyłącznie w lewej półpłaszczyźnie zmiennej zespolonej s, $R(s_i)\le0$, wówczas odpowiedź impulsowa zanika z czasem do zera lub pozostaje ograniczona co do amplitudy (gdy część biegunów lub wszystkie znajdą się na osi urojonej).

Sytuacja jest nieco bardziej złożona, gdy część biegunów jest wielokrotna. Dla uproszczenia ograniczymy się tylko do biegunów dwukrotnych. Załóżmy, że liczba takich dwukrotnych biegunów jest równa m. W takim przypadku zastosowanie wzorów na residuum przy obliczaniu transformaty odwrotnej prowadzi do wyniku

Przy niezerowej wartości części rzeczywistej biegunów położonych w lewej półpłaszczyźnie odpowiedź przejściowa układu przy $t\rightarrow\infty$ będzie zanikać do zera (układ stabilny asymptotycznie). Przy położeniu biegunów na osi urojonej $R(s_i)=0$ układ może być stabilny (choć nie asymptotycznie), jeśli są to bieguny pojedyncze lub niestabilny, jeśli bieguny są wielokrotne. Utrata stabilności na skutek położenia bieguna wielokrotnego na osi urojonej wynika z pojawienia się we wzorze na odpowiedź impulsową czynnika proporcjonalnego do czasu. Zauważmy, że przy spełnieniu warunku $Re(s_k)=0$ i założeniu bieguna zespolonego $s_k=j\omega$ wyrażenie $B_kte^{s_kt}$ może być rozwinięte do postaci $B_kte^{s_kt}=B_kt\left(cos{\omega}t+jsin{\omega}t\right)$. Wobec ograniczonych wartości funkcji sinus i cosinus czynnik ten przy $t\rightarrow\infty$ narasta nieograniczenie, co prowadzi do utraty stabilności.

W konsekwencji warunkiem stabilności układu jest położenie biegunów w lewej półpłaszczyźnie, a w przypadku biegunów wielokrotnych wyłączenie ich z osi urojonej.

Rys. 1.4. Zależność stabilności układu od położenia biegunów

Na rys. 1.4 zilustrowano wpływ położenia biegunów na stabilność układu. Oś urojona rozgraniczająca obszar stabilny od niestabilnego jest obszarem warunkowo stabilnym (stabilny w sensie zwykłym przy biegunach jednokrotnych i niestabilny przy biegunach wielokrotnych).

Interesujący jest również wpływ położenia biegunów na charakter odpowiedzi impulsowej układu liniowego. Rys. 1.5 przedstawia odpowiedzi impulsowe układu drugiego rzędu przy różnych położeniach biegunów.

Rys. 1.5 Odpowiedzi impulsowe układu drugiego rzędu przy różnych położeniach biegunów

W zależności od wartości biegunów mamy do czynienia ze stanem aperiodycznym (bieguny położone na osi rzeczywistej) oraz oscylacyjnym (bieguny zespolone). Zanikanie odpowiedzi impulsowej do zera świadczy o stabilności asymptotycznej układu. Odpowiedź o ograniczonej amplitudzie nie zanikająca z czasem świadczy o stabilności zwykłej układu. Odpowiedź narastająca z czasem jest cechą układu niestabilnego.

Charakterystyką częstotliwościową układu nazywać będziemy zależność wartości sygnału wyjściowego tego układu od częstotliwości przy jednostkowym wymuszeniu sinusoidalnym przyłożonym na wejście układu. Charakterystykę tę można wyznaczyć bezpośrednio na podstawie transmitancji operatorowej T(s), oznaczanej również w postaci H(s). Nosi ona nazwę transmitancji widmowej układu. Oznaczmy transmitancję widmową w postaci T(jω). Łatwo pokazać, że jest ona zdefiniowana jako transmitancja operatorowa dla s=jω, to znaczy

Transmitancja widmowa reprezentuje sobą liczbę zespoloną będącą funkcją pulsacji $\omega$. Przedstawiając ją w postaci wykładniczej, to jest $T(j\omega)=\left|T(j\omega)\right|e^{j\varphi(\omega)}$ można zdefiniować dwa rodzaje charakterystyk częstotliwościowych:

• charakterystyka amplitudowa przedstawia sobą zależność modułu transmitancji widmowej $T(j\omega)$ od pulsacji $\omega$ (częstotliwości $f$), to jest $\left|T(j\omega)\right|$
• charakterystyka fazowa określa zależność argumentu transmitancji widmowej $T(j\omega)$ od pulsacji (częstotliwości) to jest $\varphi(\omega)$. Charakterystyka fazowa reprezentuje sobą przesunięcie fazowe między sygnałem wejściowym a wyjściowym dla danej pulsacji $\omega$.

Charakterystyki częstotliwościowe przedstawia się zwykle na wykresie modułu lub fazy w zależności od pulsacji (częstotliwości). Jeśli wielkości podlegające wykreślaniu różnią się znacznie pod względem wartości (np. zmieniają się w zakresie od 1 do 10⁶) wygodnie jest wprowadzić skalę logarytmiczną zwykle o podstawie 10. Dotyczy to określonego zakresu częstotliwości. W przypadku charakterystyki amplitudowej skalę logarytmiczną przelicza się na decybele (dB) definiując logarytmiczną charakterystykę amplitudową

Na rys. 2.1 przedstawiono przykładowo charakterystykę amplitudową (rys. 2.1a) oraz logarytmiczną charakterystykę amplitudową (rys. 2.1b) odpowiadającą tej samej transmitancji danej wzorem

$T(s)=\frac{0.003s^4+0.082s^2+0.287}{s^4+0,945s^3+1,487s^2+0,778s+0,322}$

Rys. 2.1. Postać liniowa (a) oraz logarytmiczna (b) charakterystyki amplitudowej odpowiadającej transmitancji T(s)

Każdy rodzaj przedstawienia charakterystyki amplitudowej podkreśla inne szczegóły w jej przebiegu. Charakterystyka logarytmiczna podkreśla stosunkowo niewielkie w skali globalnej zmiany dynamiczne w tak zwanym paśmie zaporowym, gdzie amplituda sygnału jest bardzo mała w stosunku do pasma przepustowego, podczas gdy skala liniowa uwypukla globalny charakter przebiegu tracąc drobne szczegóły w zakresie częstotliwości gdzie wartości sygnałów są małe.

Jeśli badany zakres częstotliwości jest bardzo szeroki (np. od 1Hz do 1MHz) wygodnie jest wprowadzić skalę logarytmiczną również dla częstotliwości. Charakterystykę fazową wykreśla się zwykle w skali liniowej dla fazy i liniowej lub logarytmicznej dla częstotliwości (pulsacji).

Transmitancja idealnego układu całkującego definiowana jest w postaci

Układ nosi nazwę całkującego, gdyż operator 1/s w dziedzinie częstotliwości zespolonej Laplace’a oznacza całkowanie funkcji w dziedzinie czasu. Charakterystykę częstotliwościową układu całkującego opisuje zależność

Wykres charakterystyki amplitudowej

 oraz fazowej

dla układu całkującego przy k>0 przedstawiono na rys. 2.4.

Rys. 2.4 Charakterystyki częstotliwościowe układu całkującego: a) amplitudowa, b) fazowa

Charakterystyka amplitudowa jest typu hiperbolicznego, a charakterystyka fazowa stała (przesunięcie fazowe stałe i równe -90^o niezależnie od częstotliwości).

Transmitancja układu różniczkującego dana jest w postaci

Układ nosi nazwę różniczkującego, gdyż operator s w dziedzinie częstotliwości zespolonej oznacza różniczkowanie funkcji w dziedzinie czasu. Charakterystyka częstotliwościowa  opisana jest zależnością

Charakterystyka amplitudowa jest funkcją liniową

a charakterystyka fazowa stała, niezależnie od częstotliwości

Wykres obu charakterystyk układu różniczkującego przy k>0 przedstawiono na rys. 2.5.

Rys. 2.5 Charakterystyki częstotliwościowe układu różniczkującego: a) amplitudowa, b) fazowa

Przesuwnik fazowy jest układem przesuwającym fazę napięcia wyjściowego względem wejściowego bez zmiany amplitudy sygnału. Transmitancję przesuwnika fazowego określa zależność

Charakterystyka częstotliwościowa przesuwnika określona jest następującą relacją

gdzie kąt $\phi(\omega)$ określony jest wzorem $\phi(\omega)=arctg{\left(\frac{\omega}{a}\right)}$. Powyższa zależność potwierdza, że przesuwnik fazowy nie zmienia amplitudy sygnału wejściowego $\left|T(j\omega)\right|=1$ a wpływa jedynie na przesunięcie fazowe między sygnałem wejściowym i wyjściowym. Charakterystyka fazowa przesuwnika określona jest zależnością

Na rys. 2.6 przedstawiono wykres charakterystyki fazowej przesuwnika o transmitancji (2.11) w funkcji pulsacji dla wartości a=1.

Rys. 2.6. Charakterystyka fazowa przesuwnika w funkcji pulsacji

Przesunięcie fazowe układu jest funkcją częstotliwości i zmienia się od zera do wartości 180^o. Wartość przesunięcia fazowego dla konkretnej wartości częstotliwości można regulować poprzez zmianę współczynnika a transmitancji. Na rys. 2.7 przedstawiono wykres przedstawiający zmianę kąta przesunięcia fazowego układu dla pulsacji jednostkowej przy zmianie wartości współczynnika a.

Rys. 2.7. Charakterystyka fazowa przesuwnika w funkcji wartości współczynnika a

Ogólna postać transmitancji drugiego rzędu może być przedstawiona w postaci

W przypadku wykorzystania tej transmitancji w teorii filtrów wielomiany licznika i mianownika zakłada się zazwyczaj w specjalnej postaci. W przypadku mianownika przyjmuje się

Wielkość ω₀ jest pulsacją środkową (rezonansową) filtru a Q dobrocią. Postać licznika transmitancji jest uzależniona od rodzaju filtru. Tutaj rozpatrzymy przykładowo trzy podstawowe rodzaje filtrów i ich transmitancje. Są to

• Filtr dolnoprzepustowy

Wielkość A_DP jest wzmocnieniem filtru w paśmie przepustowym i mierzona jest dla s = 0.

• Filtr środkowoprzepustowy

Wielkość A_SP jest wzmocnieniem filtru w paśmie przepustowym i mierzona jest dla pulsacji s = jω₀.

• Filtr górnoprzepustowy

Wielkość A_GP jest wzmocnieniem filtru w paśmie przepustowym i mierzona jest dla pulsacji równej s = ∞.

Charakterystyki częstotliwościowe filtrów otrzymuje się po wstawieniu s = jω do transmitancji operatorowej odpowiadającej danemu rodzajowi filtru. Moduł zależności wyznacza charakterystykę amplitudową a kąt fazowy – charakterystykę fazową.

Po wstawieniu zależności s = jω do wzoru na transmitancję T_DP(s) otrzymuje się charakterystykę filtru dolnoprzepustowego w postaci

Jest to funkcja zespolona pulsacji. Moduł tej funkcji stanowi charakterystykę amplitudową a faza – charakterystykę fazową układu. Charakterystyki te wyrażone są w postaci

• charakterystyka amplitudowa

• charakterystyka fazowa

Na rys. 2.8a przedstawiono typowe charakterystyki amplitudowe a na rys. 2.8b charakterystyki fazowe filtru dolnoprzepustowego drugiego rzędu dla dwu różnych dobroci: $Q>1/\sqrt2$ oraz $Q\le1/\sqrt2$.

Rys. 2.8. Charakterystyki częstotliwościowe filtru bikwadratowego dolnoprzepustowego o pulsacji środkowej ω₀ = 1: charakterystyka amplitudowa i fazowa.

Dla dobroci $Q>1/\sqrt2$ charakterystyka amplitudowa jest niemonotoniczna i osiąga maksimum dla pulsacji

Dla dobroci $Q\le1/\sqrt2$ przebieg charakterystyki amplitudowej staje się monotoniczny (pulsacja ω_m przyjmuje wartość nierzeczywistą – urojoną). Przy $Q=1/\sqrt2$ charakterystyka jest maksymalnie płaska.

Pulsacja ω_m (jeśli jest określona) jest różna od pulsacji środkowej ω₀. Jak z charakterystyk częstotliwościowych widać pulsacja środkowa odpowiada wartości przy której przesunięcie fazowe układu jest równe –90 stopni. Może być więc łatwo wyznaczona z charakterystyki fazowej. Dobroć układu można z kolei prosto wyznaczyć wykorzystując postać charakterystyki amplitudowej. Obliczając ją dla dwu wartości częstotliwości: zerowej i środkowej otrzymuje się

Wyznaczenie dobroci na podstawie charakterystyk częstotliwościowych polega więc na określeniu wartości charakterystyki amplitudowej dla dwu częstotliwości: zerowej i środkowej a następnie podstawieniu tych wartości do powyższego wzoru.

Po wstawieniu zależności s = jω do wzoru na transmitancję T_SP(s) otrzymuje się charakterystykę częstotliwościową filtru środkowoprzepustowego w postaci

Jest to funkcja zespolona pulsacji. Moduł tej funkcji stanowi charakterystykę amplitudową a faza – charakterystykę fazową układu. Charakterystyki te wyrażone są w postaci

• charakterystyka amplitudowa

• charakterystyka fazowa

Na rys. 2.9a przedstawiono typowe charakterystyki amplitudowe a na rys. 2.9b charakterystyki fazowe filtru środkowoprzepustowego drugiego rzędu dla dwu różnych dobroci, przy czym Q₁ > Q₂

Rys. 2.9 Charakterystyki częstotliwościowe filtru środkowoprzepustowego drugiego rzędu o pulsacji środkowej ω₀ = 1: charakterystyka amplitudowa i fazowa.

Z charakterystyk częstotliwościowych widać, że pulsacja środkowa odpowiada wartości maksymalnej charakterystyki amplitudowej. Dobroć filtru określa stosunek pulsacji środkowej ω₀ do 3 decybelowego pasma przenoszenia Δω₀ (zakres częstotliwości którego krańce wyznaczają wartości charakterystyki amplitudowej przyjmujące $1/\sqrt2$ wartości maksymalnej)

Interpretacja 3 decybelowego pasma przenoszenia przedstawiona jest na rys. 2.10.

Rys. 2.10 Interpretacja 3 decybelowego pasma przenoszenia

Po wstawieniu zależności s = jω do wzoru na transmitancję T_GP(s) otrzymuje się charakterystykę częstotliwościową filtru górnoprzepustowego w postaci

Jest to funkcja zespolona pulsacji. Moduł tej funkcji stanowi charakterystykę amplitudową a faza – charakterystykę fazową układu. Charakterystyki te wyrażone są wzorami

• charakterystyka amplitudowa

• charakterystyka fazowa

Na rys. 2.11a przedstawiono typowe charakterystyki amplitudowe a na rys. 2.11b charakterystyki fazowe filtru górnoprzepustowego drugiego rzędu dla dwu różnych dobroci: $Q>1/\sqrt2$ oraz $Q\le1/\sqrt2$.

Rys. 2.11 Charakterystyki częstotliwościowe filtru górnoprzepustowego o pulsacji środkowej ω₀ = 1: charakterystyka amplitudowa i fazowa.

 Dla dobroci $Q_1>1/\sqrt2$ charakterystyka amplitudowa jest niemonotoniczna i osiąga maksimum dla pulsacji

Dla dobroci $Q_1\le1/\sqrt2$ przebieg charakterystyki amplitudowej staje się monotoniczny i maksimum funkcji nie występuje. Przy $Q_1=1/\sqrt2$ charakterystyka jest maksymalnie płaska.

Pulsacja ω_m (jeśli jest określona) jest różna od pulsacji środkowej ω₀. Jak z charakterystyk częstotliwościowych widać pulsacja środkowa odpowiada wartości przy której przesunięcie fazowe układu jest równe 90 stopni. Może być więc łatwo wyznaczona z charakterystyki fazowej. Dobroć układu można z kolei prosto wyznaczyć wykorzystując postać charakterystyki amplitudowej. Obliczając ją dla dwu wartości częstotliwości: częstotliwości maksymalnej (teoretycznie nieskończonej) i środkowej otrzymuje się

Wyznaczenie dobroci na podstawie charakterystyk częstotliwościowych polega więc na określeniu wartości charakterystyki amplitudowej dla dwu częstotliwości: maksymalnej (teoretycznie nieskończonej) i środkowej a następnie podstawieniu do powyższego wzoru.

Najbardziej ogólnym przypadkiem jest układ opisany transmitancją operatorową T(s) n-tego rzędu o postaci ogólnej zadanej wzorem

Transmitancja widmowa T(jω) takiego układu wyznaczana jest z transmitancji operatorowej T(s) przez podstawienie s = jω. W wyniku otrzymuje się

Transmitancja widmowa przedstawia sobą funkcję zespoloną pulsacji ω i może być zapisana w postaci ogólnej jako

Część rzeczywista A(ω) i urojona B(ω) są funkcjami zarówno współczynników a_i, b_i licznika i mianownika transmitancji operatorowej, jak i aktualnej wartości pulsacji ω. Charakterystyka amplitudowa przedstawia sobą moduł transmitancji widmowej określony wzorem

Charakterystyka fazowa jest fazą transmitancji widmowej i wyznaczana jest z zależności

Powyższe zależności tworzą podstawę badania charakterystyk częstotliwościowych układów opisanych transmitancją operatorową T(s) zadawaną przez użytkownika.

Wykorzystując podane wcześniej zależności częstotliwościowe można wykreślić charakterystyki amplitudowe (liniową i logarytmiczną wyrażoną w decybelach) oraz charakterystykę fazową w stopniach.

Czwórnik jest elementem czterozaciskowym, mającym dwie pary uporządkowanych zacisków, z których jedna para jest wejściem a druga para wyjściem Oznaczenie czwórnika z zaznaczonymi zwrotami prądów i napięć końcówkowych jest przedstawione na rys. 3.1.

Rys. 3.1. Oznaczenie czwórnika z zaznaczonymi zwrotami prądów i napięć

 W odniesieniu do wejścia i wyjścia czwórnika musi być spełniony warunek równości prądów:

jak to zaznaczono na rysunku. Sygnały prądu i napięcia po stronie wejściowej oznaczać będziemy ze wskaźnikiem 1, a po stronie wyjściowej – ze wskaźnikiem 3. Przyjmiemy umownie, że oba prądy: na wejściu i wyjściu są zwrócone do prostokąta oznaczającego czwórnik.

W zależności od elementów tworzących obwód, czwórnik może być liniowy (gdy wszystkie elementy obwodu są liniowe) lub nieliniowy. W dalszych rozważaniach ograniczymy się wyłącznie do czwórników liniowych. Czwórnik nazywać będziemy pasywnym, jeśli nie wytwarza energii a jedynie pobiera ją ze źródła zasilającego i przetwarza w określony sposób. Czwórnik złożony z samych elementów pasywnych R, L, C i M jest zawsze czwórnikiem pasywnym. Czwórnik pasywny jest zdolny do gromadzenia i rozpraszania energii pobranej ze źródła, może ją również oddawać na zewnątrz, jednak w dowolnej chwili czasowej t energia ta nie może przewyższać energii pobranej. Czwórnik, który nie spełnia powyższych warunków jest czwórnikiem aktywnym (generatorem energii).

Jeżeli za zmienne niezależne przyjmie się napięcia obu bram U₁ oraz U₂ czwórnik przyjmie opis admitancyjny, który można wyrazić w postaci

Macierz $\mathbf{Y}$ jest nazywana macierzą admitancyjną a parametry tej macierzy mają interpretację admitancji operatorowych.

Jeżeli za zmienne niezależne przyjmie się prądy obu bram I₁ oraz I₂, czwórnik przyjmie opis impedancyjny, który można wyrazić w postaci

Macierz $\mathbf{Z}$ jest nazywana macierzą impedancyjną a parametry tej macierzy mają interpretację impedancji operatorowych. Łatwo jest udowodnić, że macierze impedancyjna i admitancyjna są powiązane relacją

Przy opisie hybrydowym za zmienne niezależne wybiera się prąd wejściowy i napięcie wyjściowe czwórnika. Równanie hybrydowe przyjmuje się w postaci

w której H jest macierzą hybrydową. Jak widać z opisu hybrydowego parametr H₁₁ ma interpretację impedancji a H₂₂ admitancji. Parametry H₁₂ i H₂₁ są bezwymiarowe i wyrażają stosunek odpowiednio dwu napięć i dwu prądów w obwodzie.

Opis hybrydowy odwrotny czwórnika definiuje się w postaci

Stanowi on odwrotność opisu hybrydowego macierzą $\mathbf{H}$. Obie macierze powiązane są następująca relacją $\mathbf{G}=\mathbf{H}^{-1}$

Równanie łańcuchowe czwórnika uzależnia prąd i napięcie na wejściu czwórnika od prądu i napięcia na jego wyjściu

W równaniu tym, inaczej niż w pozostałych opisach, przyjmuje się prąd I₂ wypływający z czwórnika, w związku z czym przy założonym na wstępie zwrocie prądu do czwórnika w opisie pojawia się prąd wyjściowy ze znakiem minus. Elementy macierzy łańcuchowej $\mathbf{A}$ nazywane są parametrami łańcuchowymi czwórnika.

Równanie łańcuchowe odwrotne czwórnika uzależnia prąd i napięcie na wyjściu czwórnika od prądu i napięcia na jego wejściu

Ostatni rodzaj opisu czwórnikowego (równanie łańcuchowe odwrotne) jest rzadko stosowany. Macierz $\mathbf{B}$ występująca w tym opisie nazywana jest macierzą łańcuchową odwrotną.

Każdy z przedstawionych typów macierzy jednoznacznie opisuje czwórnik. Wybór któregoś z nich jest uwarunkowany strukturą obwodu, sposobem połączenia czwórników, łatwością wyznaczenia parametrów, itp. Przejście z jednego opisu do drugiego polega na przegrupowaniu zmiennych i wyznaczeniu odpowiednich relacji między tymi zmiennymi.

Duża liczba stosowanych opisów macierzowych czwórnika wynika również z faktu, że dla niektórych czwórników pewne opisy mogą nie istnieć. Najbardziej uniwersalne pod tym względem są opisy hybrydowe wykorzystujące macierz $\mathbf{H}$ lub $\mathbf{G}$, które można otrzymać dla większości obwodów elektrycznych.

Weźmy pod uwagę transmitancję napięciową, jako stosunek napięcia wyjściowego do napięcia wejściowego w dziedzinie operatorowej przy założeniu zerowego prądu obciążenia czwórnika ($I_2(s)=0$)

Z równania łańcuchowego, wobec $I_2(s)=0$ otrzymujemy

Stąd

O transmitancji napięciowej decyduje jeden parametr łańcuchowy A₁₁ czwórnika. W identyczny sposób uzyskać można relację wiążącą transmitancję napięciową z parametrami dowolnego opisu czwórnikowego. Przykładowo na podstawie opisu admitancyjnego z równania drugiego czwórnika, wobec I₂=0, wynika

Stąd

Wyrażenie na transmitancję dowolnego typu można w podobny sposób uzyskać korzystając z wybranego opisu czwórnikowego układu i zakładając odpowiedni warunek na zmienne wyjściowe (prąd I₂ i napięcie U₂).

Określenie funkcji impedancji wejściowej układu czwórnika wymaga ustalenia przy jakiej impedancji obciążenia badany jest czwórnik. Załóżmy w ogólności obciążenie czwórnika impedancją Z_o. Z równań łańcuchowych czwórnika otrzymuje się

gdzie Y_o oznacza admitancję obciążenia (odwrotność impedancji Z_o, Y_o=1/Z_o). Z powyższych równań otrzymuje się

Impedancja wejściowa czwórnika obciążonego jest funkcją wszystkich parametrów łańcuchowych tego czwórnika. Pewne uproszczenia powstają w stanach szczególnych obciążeń. Na przykład w stanie jałowym na zaciskach wyjściowych ($Y_o=0$)

oraz w stanie zwarcia na wyjściu ($Y_o=\infty$)

impedancja wejściowa zależy wyłącznie od dwóch parametrów łańcuchowych. Identyczne zależności określające impedancje wejściową otrzymać można na podstawie dowolnego opisu czwórnikowego.

Połączenie łańcuchowe, zwane również kaskadowym czwórników to takie połączenie, w którym zaciski wejściowe jednego czwórnika są przyłączone do zacisków wyjściowych poprzedniego. Przykład połączenia łańcuchowego dwu czwórników przedstawiony jest na rys. 3.3.

Rys. 3.3. Połączenie łańcuchowe czwórników

Łatwo jest pokazać, że macierz łańcuchowa $\mathbf{A}$ czwórników połączonych kaskadowo jest równa iloczynowi macierzy łańcuchowych poszczególnych czwórników tworzących to połączenie

Przy większej liczbie czwórników połączonych kaskadowo macierz łańcuchowa wypadkowa jest równa iloczynowi macierzy łańcuchowych wszystkich czwórników branych w kolejności ich występowania w łańcuchu.

Należy zwrócić uwagę, że przy mnożeniu macierzy istotna jest kolejność tych macierzy, gdyż w ogólności $\mathbf{A}_1\mathbf{A}_2\neq\mathbf{A}_2\mathbf{A}_1$.

Dwa czwórniki są połączone szeregowo, jeśli spełnione są warunki:

• prąd wejściowy jednego czwórnika jest równy prądowi wejściowemu drugiego a prąd wyjściowy jednego czwórnika jest równy prądowi wyjściowemu drugiego
• napięcie wejściowe (wyjściowe) połączenia jest równe sumie napięć wejściowych (wyjściowych) każdego czwórnika.

Na rys. 3.4 przedstawiono układ dwu czwórników połączonych szeregowo, spełniający powyższe warunki.

Rys. 3.4. Połączenie szeregowe czwórników

 Łatwo jest pokazać, że w połączeniu szeregowym czwórników macierz impedancyjna $\mathbf{Z}$ połączenia jest równa sumie macierzy impedancyjnych każdego czwórnika. Oznacza to, że

Przy większej liczbie czwórników połączonych szeregowo macierz impedancyjna wypadkowa jest równa sumie macierzy impedancyjnych wszystkich czwórników występujących w połączeniu.

Kolejność sumowania macierzy impedancyjnych nie odgrywa żadnej roli.

Dwa czwórniki są połączone równolegle, jeśli spełnione są warunki:

• napięcie wejściowe każdego czwórnika jest takie samo, podobnie napięcie wyjściowe
• prąd wejściowy (wyjściowy) połączenia jest równy sumie prądów wejściowych (wyjściowych) każdego czwórnika.

Ponadto w tym przypadku należy zapewnić spełnienie warunków regularności połączenia zdefiniowanych odpowiednią równością prądów (wzory (3.1) i (3.2)).

Na rys. 3.5 przedstawiono układ dwu czwórników połączonych równolegle, spełniający powyższe warunki.

Rys. 3.5. Połączenie równoległe czwórników

Łatwo jest pokazać, że w połączeniu równoległym czwórników macierz admitancyjna $\mathbf{Y}$ połączenia jest równa sumie macierzy admitancyjnych każdego czwórnika. Oznacza to, że

Przy większej liczbie czwórników połączonych równolegle macierz admitancyjna wypadkowa jest równa sumie macierzy admitancyjnych wszystkich czwórników występujących w połączeniu.

Kolejność sumowania macierzy admitancyjnych nie odgrywa żadnej roli.

Dwa czwórniki są połączone szeregowo-równolegle, jeśli spełnione są warunki:

• prąd wejściowy każdego czwórnika jest taki sam a napięcie wejściowe połączenia jest równe sumie napięć wejściowych każdego czwórnika
• prąd wyjściowy połączenia jest równy sumie prądów wyjściowych każdego czwórnika a napięcie wyjściowe obu czwórników jest takie samo.

Ponadto w tym przypadku należy zapewnić spełnienie warunku regularności połączenia zdefiniowanego odpowiednią równością prądów (wzór (3.2)).

Na rys. 3.6 przedstawiono układ dwu czwórników połączonych szeregowo-równolegle (szeregowo po stronie zacisków wejściowych i równolegle po stronie zacisków wyjściowych), spełniający powyższe warunki.

Rys. 3.6. Połączenie szeregowo-równoległe czwórników

Łatwo jest pokazać, że w połączeniu szeregowo-równoległym czwórników macierz hybrydowa $\mathbf{H}$ połączenia jest równa sumie macierzy hybrydowych $\mathbf{H}$ każdego czwórnika. Oznacza to, że

Przy większej liczbie czwórników połączonych szeregowo-równolegle macierz hybrydowa $\mathbf{H}$, wypadkowa dla całego połączenia jest równa sumie macierzy hybrydowych $\mathbf{H}$ wszystkich czwórników występujących w połączeniu.

Kolejność sumowania macierzy hybrydowych nie odgrywa żadnej roli.

Dwa czwórniki są połączone równolegle-szeregowo, jeśli spełnione są warunki:

• napięcie wejściowe każdego czwórnika jest takie samo a prąd wejściowy połączenia jest równy sumie prądów wejściowych każdego czwórnika
• prąd wyjściowy każdego czwórnika jest taki sam a napięcie wyjściowe połączenia jest równe sumie napięć wyjściowych każdego z nich.

Ponadto w tym przypadku należy zapewnić spełnienie warunku regularności połączenia zdefiniowanego odpowiednią równością prądów (wzór (3.1)).

Na rys. 3.7 przedstawiono układ dwu czwórników połączonych równolegle-szeregowo (równolegle po stronie zacisków wejściowych i szeregowo po stronie zacisków wyjściowych), spełniający powyższe warunki.

Rys. 3.7. Połączenie równoległo-szeregowe czwórników

Łatwo jest pokazać, że w połączeniu równolegle-szeregowym czwórników macierz hybrydowa odwrotna $\mathbf{G}$ połączenia jest równa sumie macierzy hybrydowych $\mathbf{G}$ każdego czwórnika. Oznacza to, że

Przy większej liczbie czwórników połączonych równolegle-szeregowo macierz hybrydowa odwrotna $\mathbf{G}$, wypadkowa dla całego połączenia jest równa sumie macierzy hybrydowych $\mathbf{G}$ wszystkich czwórników występujących w połączeniu.

 Kolejność sumowania macierzy nie odgrywa żadnej roli.