Podręcznik

Transmisja cyfrowa wymaga zapisu przesyłanej informacji w postaci strumienia binarnego. Strumień binarny to ciąg wartości logicznych „0” i „1”. Celowo unikam tu słowa „bit”, gdyż nie zawsze liczba przesłanych wartości logicznych jest równa liczbie bitów informacji. Zetknęliśmy się już z tym problemem w p.3.3 Moduł2. Transmitując serię sygnałów binarnych pojawiających się z niejednakowym prawdopodobieństwem (sygnał s₁(t) reprezentował wartość logiczną „1” i pojawiał się z prawdopodobieństwem P₁,  a s0(t) reprezentował wartość logiczną „0” i pojawiał się z prawdopodobieństwem P₀=1-P₁) przekonaliśmy się, że przysyłamy mniej niż 1 bit informacji na sygnał. W istocie, gdy P₁=1, P₀=0 (lub odwrotnie) nie przesyłamy żadnej informacji, gdyż z góry wiemy, że otrzymamy zawsze ten sam sygnał. Gdy oba sygnały pojawiają się z prawdopodobieństwem P₁=P₀=1/2, wówczas dopiero przesyłamy jeden bit informacji na sygnał. 
Jeśli ilość informacji zawarta w strumieniu binarnym jest mniejsza niż liczba wartości logicznych, wówczas istnieje możliwość przeprowadzenia kompresji bezstratnej, tzn. przetworzenia ciągu wartości logicznych na inny ciąg  zawierający mniej elementów. Operacja taka jest bezstratna, tzn. możemy zawsze wrócić do pierwotnego ciągu wartości logicznych. 
Jaki jest cel stosowania kompresji? Chodzi o oszczędne wykorzystanie kanału. Im mniej symboli transmisji danych transmitujemy w jednostce czasu, tym węższe pasmo częstotliwości zajmujemy i możemy podzielić się kanałem z innymi użytkownikami. Jeżeli informacja ma być zapisana w pamięci, to dzięki kompresji zużywamy mniej pamięci dla przechowania tych samych danych. 
Nie wszystkie rodzaje danych mogą być poddane bezstratnej kompresji, jedynie takie, które dadzą się zapisać jako ciąg wartości logicznych. Dane tekstowe są najlepszym przykładem. Dźwięk, nawet spróbkowany – już nie, gdyż każda próbka jest liczbą rzeczywistą, więc nie może być przedstawiona jako ciąg binarny o skończonej długości. Tym niemniej mówi się o „bezstratnych” koderach dźwięku czy obrazu. Należy to rozumieć w ten sposób, że wstępnie dokonano przetworzenia analogowo-cyfrowego (A/C), otrzymując strumień binarny o dużej liczbie elementów. To przetworzenie A/C jest operacją stratną. Następnie przetwarzamy ten strumień binarny na inny strumień, mający mniejszą liczbę elementów. To już jest operacja bezstratna. W ten sposób postępujemy kodując obraz w systemie JPEG. 
Algorytmy bezstratnej kompresji nie są w zasadzie algorytmami przetwarzania sygnałów, nie poświęcimy im więc wiele miejsca. Warto jednak poznać granicę stosowania tych algorytmów. 
Załóżmy zatem, że źródło informacji może przekazać do transmisji M różnych wiadomości (np. liter alfabetu). Te wiadomości pojawiają się z prawdopodobieństwem odpowiednio $p_1,p_2,\ldots,p_M$  (np. litera „e” pojawia się częściej niż „q”). Jeśli pojawi się  i -ta wiadomość, to ilość informacji, jaką otrzymamy, będzie odwrotnie proporcjonalna do  $p_i$ . Co więcej, będzie ona proporcjonalna do  ${log}_2{(}\frac{1}{p_i})$.  Dlaczego wykorzystano tu logarytm? Gdy otrzymamy dwie wiadomości (np. słowo złożone z dwóch liter alfabetu), to prawdopodobieństwo takiego zdarzenia jest równe iloczynowi prawdopodobieństw dla poszczególnych liter. Pozyskana w ten sposób ilość informacji jest sumą ilości informacji obu wiadomości. Przetworzenie iloczynu w sumę zapewnia funkcja logarytmiczna:  $log({\frac{1}{p_1p_2})=}log({\frac{1}{p_1})+}log({\frac{1}{p_2})}$. Podstawa logarytmu równa 2 daje wynik w bitach informacji. 

Podstawowe znaczenie ma średnia ilość informacji, zwana entropią: 

C. Shannon udowodnił, że kodując informacje dostarczane przez źródło o entropii H  trzeba przeznaczyć (średnio) co najmniej H wartości logicznych (“0” i “1”) na wiadomość. Dokładniej, średnia długość słowa kodowego nie może być mniejsza niż entropia: $L_{min{\ }}=H$. Przeznaczając mniej niż H wartości logicznych na wiadomość, nie zdekodujemy poprawnie każdej z M możliwych wiadomości. Możemy jednak konstruować kody o średniej długości słowa L dowolnie bliskiej entropii:

Jak stworzyć taki kod? Optymalny algorytm podał D.Huffman [3]. Zapoznamy się z nim na przykładzie: Mamy 8 zdarzeń, pojawiających się z różnym prawdopodobieństwem (Tabela 1). 

Tabela 1 Kod Huffmana

Stosując zwykły kod binarny, mielibyśmy 8 słów o długości 3: 000, 001, 010,…, 111. Zastosujemy jednak kod o zmiennej długości słowa. Algorytm Huffmana składa się z kolejnych kroków i  polega na łączeniu dwóch zdarzeń o najmniejszym prawdopodobieństwie. 
W pierwszym kroku łączymy zdarzenia 7,8 i dodajemy ich prawdopodobieństwa (moglibyśmy zacząć od dowolnej pary wybranej z czterech ostatnich zdarzeń). W drugim kroku łączymy 5,6. Mamy teraz 6 zdarzeń, z których 4 mają najmniejsze prawdopodobieństwa równe 0.1. Łączymy dwa z nich, a potem dwa pozostałe. Mamy teraz 4 zdarzenia o prawdopodobieństwach 0.3, 0.3, 0.2, 0.2. Łączymy 2 ostatnie, potem 2 pierwsze. Ostatnim krokiem będzie połączenie dwóch zagregowanych zdarzeń i otrzymanie prawdopodobieństwa równego 1. Najczęściej zamiast tabeli tworzy się drzewo i właśnie dotarliśmy do jego korzenia. 
Teraz wychodząc z korzenia docieramy do kolejnych “liści”, czyli pierwotnych zdarzeń. Idąc w górę wpisujemy “1” do słowa kodowego, a idąc w dół wpisujemy “0” (można postąpić odwrotnie). Tak więc pierwszemu zdarzeniu przypisujemy kod 11, a ostatniemu 0000. 
Średnią długość słowa kodowego otrzymamy, mnożąc długości słów przez prawdopodobieństwa ich pojawienia się. W naszym przypadku 
L = 0.3x2 + 0.3x2 + 0.1x3 + 0.1x3 + 4 x (0.05x4) = 2.6 bit  <  3 bit
Otrzymaliśmy zatem bardziej efektywny kod niż zwykły kod binarny o długości słów równej 3. 
Zauważmy, że kod Huffmana może być dekodowany „na bieżąco”, gdyż żadne słowo kodowe nie jest początkiem innego słowa. Taki kod nazywa się kodem prefiksowym.
Obliczając entropię analizowanego źródła informacji wg. wzoru (1), otrzymujemy 2.57 bita informacji. Kod Huffmana ma średnią długość słowa równą 2.6. Zgodnie ze wzorem (2) istnieje możliwość bardziej efektywnego kodowania. Możemy to osiągnąć, kodując pary następujących po sobie zdarzeń. Dla 8 zdarzeń takich par będzie 64. 

Rozpatrzmy jednak prostszy przykład. Mamy 2 zdarzenia: E1 o prawdopodobieństwie p₁ = 0.1 i E2 o prawdopodobieństwie p₂ = 0.9. Entropia wynosi H = 0.469, ale kodując pojedyncze zdarzenia nie mamy wyboru: jednemu przypisujemy kod “1” a drugiemu “0”.  Długość kodu wynosi  L = 1. 
Kodując 4 pary zdarzeń i stosując algorytm Huffmana mamy:

Średnia długość słowa wynosi 0.01x3 + 0.09x3 + 0.09x2 + 0.81x1 = 1.29   na parę zdarzeń, a więc  0.645 wartości logicznych na zdarzenie. 
Kodując trójki sąsiednich zdarzeń, możemy jeszcze bardziej zbliżyć się do entropii. Takie postępowanie nazywa się rozszerzaniem źródła informacji. 
Istnieje wiele efektywnych algorytmów kompresji bezstratnej, zainteresowanych odsyłam do [3].

Występujące w naszym otoczeniu dźwięki mowy, muzyki czy obrazy są źródłami informacji o nieskończonej entropii, nie można więc ich bezstratnie zakodować w postaci strumienia binarnego o skończonej długości. Próbki sygnału akustycznego czy piksele obrazu są to liczby rzeczywiste, mogące przyjmować nieskończenie wiele różnych wartości. Nie można ich zapisać w słowie kodowym o skończonej długości. 
Nieskończona entropia wynika z następującego rozumowania. Niech próbka sygnału lub piksel obrazu przyjmuje M wartości z jednakowym prawdopodobieństwem $p_i=\frac{1}{M}$. Entropia obliczona wg wzoru (1) wynosi: 

Gdy M dąży do nieskończoności, wówczas i entropia staje się nieograniczona. 
Gdy ograniczymy liczbę wartości logicznych reprezentujących sygnał o nieskończonej entropii, powstanie różnica między sygnałem oryginalnym i sygnałem zdekodowanym ze strumienia binarnego:

W przypadku kodowania sygnałów akustycznych ta różnica jest postrzegana jako szum, mówimy o szumie kwantyzacji. Miarą jakości odtworzonego sygnału akustycznego jest  stosunek mocy sygnału do mocy szumu:

Konstruując kodery, dążymy do maksimum SNRq, przy danej średniej długości słowa kodowego b elementów binarnych (wartości logicznych) na próbkę sygnału czy piksel obrazu (ogólnie mówimy „na odczyt źródła informacji).  Starając się zoptymalizować koder dźwięku czy obrazu, powinniśmy pamiętać o tym, że wartość SNRq jest ograniczona właściwościami samego sygnału i istnieje nieprzekraczalna wartość maksymalna SNRq dla każdej wartości b.  To ograniczenie zazwyczaj przedstawia się w postaci funkcji RDF (funkcja przepływność – zniekształcenie, ang. rate - distortion function). Na osi x odkładamy wartości b (długość słowa kodowego na próbkę lub piksel, w przypadku dźwięku staje się przepływnością binarną po pomnożeniu przez częstotliwość próbkowania). Na osi y odkłada się odwrotność SNRq, czyli stosunek mocy zniekształceń powstających w procesie stratnej kompresji do mocy sygnału. Przykładowy przebieg funkcji RDF dla sygnału, którego wartości chwilowe mają rozkład gaussowski, pokazano na rys.1. Jeżeli próbki sygnału nie są skorelowane , wówczas RDF jest opisana wzorem

Jeśli próbki sygnału są skorelowane, to oznacza że istnieje możliwość zmniejszenia zniekształceń (szumu) dzięki stosowaniu predykcji. Oznacza to obniżenie wartości RDF dla tego sygnału.  RDF jest funkcja malejącą, ale wartość zerową (czyli bezstratne kodowanie) osiąga tylko dla sygnałów o skończonej entropii. Wartość b, przy której RDF osiąga wartość zerową, jest właśnie entropią sygnału. 
Wszystkie kodery osiągają wartości  $\frac{\sigma_e^2}{\sigma_x^2}$  powyżej entropii. Na rys.1 pokazano wyniki dla kwantyzatora wektorowego kodującego N-wymiarowe wektory skorelowanych próbek o rozkładzie gaussowskim. 

Rysunek 1 Funkcja RDF dla nieskorelowanego i skorelowanego sygnału o rozkładzie gaussowskim

Aby przesłać sygnał analogowy kanałem cyfrowym, należy zapisać go w strumieniu binarnym, jako ciąg wartości logicznych „0” i „1”. Potocznie nazywa się je bitami, choć niekoniecznie są to bity informacji - była o tym mowa w poprzednim punkcie. My tez będziemy używać tego potocznego określenia. Przetworzenie analogowo-cyfrowe składa się z dwóch procesów: próbkowania i kwantyzacji. O próbkowaniu była mowa w p.4 Modułu 1. Próbkowanie sygnałów o ograniczonym paśmie częstotliwości B [Hz} może być operacją bezstratną, jeśli postępujemy zgodnie z twierdzeniem o próbkowaniu, pobierając nie mniej niż 2B próbek na sekundę. 
Kwantyzacja jest obarczona błędem, gdyż próbki sygnału analogowego są liczbami rzeczywistymi, a mając b bitów na zakodowanie każdej próbki,  jesteśmy w stanie rozróżnić jedynie $L=2^b$ wartości. W tym celu wybieramy L wartości zwanych poziomami kwantyzacji i zaokrąglamy wartość próbki do najbliższego poziomu. Proces kwantowania i odtworzenia próbki z wykorzystaniem kwantyzatora 8-poziomowego pokazano na rys.2. 

Rysunek 2 Kwantyzacja i odtworzenie próbki sygnału w kwantyzatorze 8-poziomowym (b=3 bity/próbkę)

Każdemu poziomowi kwantyzacji jest przypisane słowo kodowe, w omawianym przykładzie 3-bitowe. Ze względu na fakt, że niektóre poziomy są wybierane częściej, a inne rzadziej, można tu wykorzystać kod o zmiennej długości słowa (patrz punkt 1). W ten sposób łączymy kwantyzację z kompresją sygnału.  Trzeba jednak pamiętać, że nie ma sposobu, aby moc sygnału błędu spadła poniżej wartości funkcji RDF (rys.1).

Po próbkowaniu mamy M próbek sygnału: $x_1,x_2,\ldots x_M$.  Ich wartości chwilowe są opisane gęstością prawdopodobieństwa p(x) – rys.3. 

Rysunek 3 Poziomy i przedziały kwantyzacji

Kwantyzator jest opisany L poziomami kwantyzacji, nazwijmy je $y_1,y_2,\ldots y_L$. Kwantowanie próbki $x_n$ polega na jej zaokrągleniu do najbliższego poziomu kwantyzacji. Wartości próbek, które zostaną zaokrąglone do tego samego poziomu $y_k$, tworzą przedział kwantyzacji  Dk. Granice przedziałów leżą w równej odległości od najbliższych poziomów, choć poziom kwantyzacji niekoniecznie musi leżeć w środku przedziału.
W wyniku kwantowania próbka $x_n$ zostanie zastąpiona wartością $x_n^\ast$ , najbliższym jej poziomem kwantyzacji. Błąd zaokrąglenia (błąd kwantyzacji) wynosi $e_n=x_n-x_n^\ast$, jego moc chwilowa  $e_n^2={(x}_n-x_n^\ast)^2$,  a moc średnia 

Wzór (6) należałoby przepisać w takiej postaci, aby wystąpiły w nim wartości poziomów kwantyzacji. Można to uczynić, jeśli sumę po wszystkich próbkach sygnału rozdzielimy na L sum, każda z nich zawierająca próbki należące do tego samego przedziału kwantyzacji:

Mając dane poziomy kwantyzacji i próbki sygnału, można obliczyć średnią moc błędu (szumu) kwantyzacji ze wzoru (7). Można też szukać poziomów kwantyzacji minimalizujących moc błędu kwantyzacji. To zadanie nie jest już tak proste, gdyż poziomy kwantyzacji wpływają na przedziały kwantyzacji, wykorzystywane również we wzorze (7). Można jedynie uruchomić algorytm iteracyjny, obliczając na przemian poziomy i przedziały. Nosi on nazwę algorytmu Lloyda, Lloyda-Maxa, K-średnich. Zapoznamy się z nim omawiając kwantyzację wektorową. 
Minimalizacja średniej mocy błędu kwantowania oznacza maksymalizacje ${SNR}_q=\frac{\sigma_x^2}{\sigma_e^2}$  – stosunku mocy sygnału do mocy błędu kwantowania (wzór 4). Moc sygnału obliczymy ze wzoru:

Popularne przetworniki analogowo-cyfrowe wykorzystują najczęściej kwantyzację równomierną. W kwantyzatorze równomiernym odległości sąsiednich poziomów są równe (rys.4). W przypadku sygnałów audio są one symetrycznie rozmieszczone od wartości (-z) do (+z). Jest to zakres pracy kwantyzatora, próbki większe od z lub mniejsze od (-z) są zaokrąglane do poziomów krańcowych (y₁ lub y_L ), najczęściej z dużym błędem wynikającym z przesterowania. 

Rysunek 4 Poziomy kwantyzacji kwantyzatora równomiernego

Jeżeli nie występuje przesterowanie, wówczas błąd kwantyzacji nie przekracza połowy odległości sąsiednich poziomów: $|e|\le\frac{\mathrm{\Delta}}{2}$ . Przyjmując równomierny rozkład wartości błędu w przedziale -$\frac{\mathrm{\Delta}}{2}$   (rys.5), można obliczyć moc błędu kwantyzacji: 

Rysunek 5 Gęstość prawdopodobieństwa wartości błędu kwantyzacji w kwantyzatorze równomiernym

Podstawiając  $\mathrm{\Delta}=2z/(L-1)\approx2z/L$ obliczymy SNRq kwantyzatora równomiernego w decybelach:

Ze wzoru (10) wynika, że SNR podąża za mocą sygnału. Ponieważ moc szumu kwantyzacji nie zależy od mocy sygnału (zależy jedynie od wartości $\mathrm{\Delta}$), wobec tego ${SNR}_q=\frac{\sigma_x^2}{\sigma_e^2}$  jest proporcjonalne do $\sigma_x^2$. Należy jednak pamiętać, że wzór (10) opisuje działanie kwantyzatora równomiernego bez przesterowania. Gdy pojawi się przesterowanie, błąd kwantyzacji szybko rośnie i SNR spada  (rys.6). 

Rysunek 6 SNR w funkcji mocy sygnału dla kwantyzatora równomiernego

Jakość sygnału (reprezentowana przez SNR) oczywiście rośnie gdy rośnie liczba poziomów kwantyzacji. Podstawiając $L=2^b$, gdzie b to liczba bitów przeznaczona na zakodowanie jednej próbki, do wzoru (10) otrzymuje się:

Zwiększenie przepływności binarnej o 1 bit na próbkę pociąga za sobą wzrost SNR o około 6 dB. Nazwijmy to zasadą „6 dB na bit”. Aby ja zrozumieć, nie trzeba formalnych obliczeń: Dodanie jednego bitu prowadzi do dwukrotnego zwiększenia liczby poziomów kwantyzacji. Odległości miedzy nimi zmniejszą się dwukrotnie, a więc dwukrotnie zmaleją wartości błędu kwantyzacji. Dwukrotne zmniejszenie amplitudy to czterokrotne zmniejszenie mocy szumu kwantyzacji. SNR wzrośnie więc 4-krotnie. Ponieważ $10{log}_{10}{(}4)\approx6$ , to mamy przyrost SNR o 6 dB.  Zaznaczono to na rys.6, porównując SNR dla przetwornika 7-bitowego (128 poziomów kwantyzacji) i 8-bitowego (256 poziomów). 
Największą wadą kwantyzatora równomiernego jest szybki spadek SNR dla sygnałów o małej amplitudzie. W telefonii oznacza to niską jakość sygnałów cichych lub wytłumionych w łączach analogowych doprowadzających sygnał do przetwornika analogowo-cyfrowego. 
W przypadku gdy dysponujemy większą przepływnością binarną, spadek jakości nie będzie zauważalny, gdyż wystąpi dla sygnałów o bardzo niskiej amplitudzie, wręcz niesłyszalnych. Jest to przypadek CD-Audio, gdzie b=16 bitów na próbkę i przy pełnym wysterowaniu kwantyzatora można spodziewać się SNR o wartości ponad 90 dB. 
 

Nierównomierny rozkład poziomów kwantyzacji pozwala na osiągnięcie lepszych parametrów przy tej samej liczbie poziomów kwantyzacji. W szczególności, można tak rozłożyć poziomy, aby osiągnąć maksymalną wartość SNR_q dla danego sygnału. W telefonii ważniejszy jest jednak inny cel: utrzymać akceptowalną wartość SNR_q niezależnie od mocy sygnału mowy. Ten cel można osiągnąć zagęszczając siatkę poziomów dla próbek o małej amplitudzie i rozszerzając ją dla próbek o dużej amplitudzie (rys.7). W ten sposób przy kwantowaniu sygnałów cichych powstaje szum kwantyzacji o małej mocy a przy kwantowaniu sygnałów głośniejszych – szum o większej mocy, zaś stosunek mocy sygnału do szumu kwantyzacji jest niemal stały: ${SNR}_q=\frac{\sigma_x^2}{\sigma_e^2}\approx const$.  Taki rozkład poziomów nazywamy rozkładem logarytmicznym. Zasada logarytmiczna nie może być utrzymana dla bardzo cichych sygnałów, gdyż nie jest możliwe ciągłe zagęszczanie siatki poziomów z uwagi na ich ograniczoną liczbę.

Rysunek 7 Nierównomierny rozkład poziomów kwantyzacji

Kwantyzator nierównomierny może być opisany przez podanie wartości wszystkich poziomów. Innym sposobem opisu jest podanie charakterystyki kompresji – funkcji przekształcającej nierównomierny rozkład poziomów na rozkład równomierny. Dla kwantyzatora o logarytmicznym rozkładzie poziomów kwantyzacji jest to zmodyfikowana funkcja logarytmiczna, która dla wartości argumentu bliskiego zeru staje się funkcją liniową. 
Kwantyzator logarytmiczny zastosowano w najstarszym lecz ciągle popularnym standardzie kodowania sygnału telefonicznego Pulse Code Modulation (PCM) G.711 [4]. Warto zapoznać się z podstawowymi parametrami tego kodera: 

• Pasmo sygnału mowy: 300-3400 Hz
• Częstotliwość próbkowania 8 kHz
• Liczba poziomów kwantyzacji: 256
• Liczba bitów na próbkę: 8
• Przepływność binarna: 8000 próbek/s  razy 8 bitów/próbkę= 64000 bit/s
• Rozkład poziomów kwantyzacji: logarytmiczny typu A lub typu m.

Istnieją dwa warianty standardu: z charakterystyką kompresji typu A (obowiązuje np. w Europie) i typu m (obowiązuje np. w USA).  Jeśli założymy, że zakres pracy kwantyzatora rozciąga się od (-1) do (+1), to odwzorowanie nierównomiernej siatki poziomów na siatkę równomierną przedstawia się następująco:

Wzór (12) opisuje charakterystykę kompresji typu m (wartość m=255), a (13)  typu A (wartość A=87.6). Dla wartości $|x|\ll1$ oba odwzorowania stają się liniowe co oznacza, że rozkład poziomów kwantyzacji staje się równomierny. Na rys.8 pokazano zależność SNR_q od mocy sygnału wejściowego dla kwantyzatora równomiernego, oraz kwantyzatora nierównomiernego z charakterystyką typu A i typu m.  Wyniki otrzymano dla sztucznego sygnału o eksponencjalnym rozkładzie wartości próbek, dobrze „dopasowanym” do pseudologarytmicznego rozkładu poziomów kwantyzacji. Z tego względu kwantyzatory nierównomierne wykazały większą wartość SNR niż kwantyzator równomierny przy pełnym wysterowaniu. Wykonując symulacje dla sygnału sinusoidalnego (ćwiczenie „Kwantyzacja skalarna” opisane w Module 4) zauważymy, że lepsze wyniki zapewnia kwantyzator równomierny.  Najważniejsze jest jednak to, że kwantyzator pseudologarytmiczny zapewnia stosunkowo wysoką wartość SNR zarówno dla sygnału głośnego jak i cichego. Kwantyzator równomierny działa dobrze jedynie przy pełnym wysterowaniu, niemal na granicy przesterowania. 

Rysunek 8 SNR w funkcji mocy kwantowanego sygnału dla kwantyzatora równomiernego (a), pseudologarytmicznego typu A (b) i typu m (c)

Wartości SNR pokazane na rys.8 odnoszą się jedynie do szumu kwantyzacji, nie uwzględnia się tu szumu w kanale transmisyjnym. Transmituje się b bitów na każdą próbkę sygnału (w standardzie G.711  8 bitów).  Szum w kanale powoduje przekłamania bitów (stopa błędów P_e).  W przypadku przekłamania w odbiorniku zostaje odtworzona próbka o błędnej wartości amplitudy, co może zostać odebrane jako trzask i wpłynąć na jakość odebranego sygnału mowy. Ze względu na nierównomierny rozkład poziomów kwantyzacji, analiza wpływu szumu w kanale na sygnał mowy przesyłany wg standardu G.711 nie jest prosta. Dokonamy zatem analizy uproszczonego problemu. Załóżmy, że:

• Rozkład poziomów kwantyzacji jest równomierny
• Zakres pracy kwantyzatora rozciąga się od  (-1) do (+1). 
• Poziomy kwantyzacji są zakodowane z wykorzystaniem zwykłego kodu binarnego (słowa kodowe od 000…0  do 111…1  - Rys.9.  
• Stopa błędów binarnych wynosi P_e. 

Rysunek 9 Kwantyzacja równomierna ze zwykłym kodem binarnym

Załóżmy, że znamy moc sygnału $\sigma_x^2=\int{x^2p\left(x\right)dx}$.  Moc szumu kwantyzacji podano we wzorze (9): $\sigma_e^2=\frac{\delta^2}{12}=\frac{1}{3L^2}$. 
Słowo kodowe opisujące poziom kwantyzacji składa się z b bitów: 
$bit_{b-1}\circ\cdots\circ bit_2\circ bit_1\circ bit_0$
Przekłamanie najmniej znaczącego bitu (bit0) oznacza przejście do sąsiedniego poziomu kwantyzacji (błąd d, przekłamanie kolejnych bitów jest przyczyną następujących błędów:
$\pm2^{(b-1)}\delta\circ\ \circ\cdots\circ\ \circ\pm4\delta\circ\pm2\delta\circ\pm\delta$
Związane z tym moce sygnału błędu otrzymamy, podnosząc wartości błędu do kwadratu:
$2^{2(b-1)}\delta^2\circ\ \circ\cdots\circ\ \circ16\delta^2\circ4\delta^2\circ\delta^2$
Każdy z tych błędów może wystąpić niezależnie z prawdopodobieństwem P_e. Średnią noc błędu wywołanego przekłamaniami bitów obliczymy, dodając moce poszczególnych błędów, pomnożone przez prawdopodobieństwo ich wystąpienia (P_e):

Wykorzystaliśmy tu wzór na sumę wyrazów ciągu geometrycznego. Wynik nie jest zaskakujący: moc błędu wynikającego z przekłamań bitów jest proporcjonalna do prawdopodobieństwa przekłamania. Ostatecznie na jakość sygnału wpływa zarówno szum kwantyzacji jak i błąd wynikający z przekłamań. 

Prawdopodobieństwo przekłamań maleje wraz ze wzrostem SNR na wyjściu kanału. Gdybyśmy bity transmitowali w kodzie bipolarnym, to stopę błędów możemy odczytać ze wzoru (45), Moduł 2. Mając dobry kanał transmisyjny (wysoka wartość SNR na jego wyjściu), błędy związane z przekłamaniami możemy pominąć. Jakość sygnału mowy będzie związana wyłącznie z szumem kwantyzacji, a ten zależy od liczby bitów na próbkę b  (zasada 6 dB/bit). Pokazano to na rys. 10. 
Jeśli kanał jest niskiej jakości (niska wartość SNR na jego wyjściu), wówczas dominującym zakłóceniem jest błąd wynikający z przekłamań transmitowanych bitów. Wówczas jakość mowy (SNR₀) maleje wraz ze zmniejszaniem się SNR. Co więcej, stosując wysokiej jakości kwantyzator (duża liczba bitów na próbkę) narażamy się bardziej na wpływ szumu w kanale. Ma to związek z szybkością transmisji – szybka transmisja jest bardziej wrażliwa na szum w kanale. Np. stosując wspomniany kod bipolarny, szybsza transmisja (większa wartość b) oznacza krótszy czas trwania symbolu transmisyjnego (T), co zgodnie ze wzorem (45), Moduł 2, oznacza większe prawdopodobieństwo przekłamania i większy spadek jakości mowy (SNR₀) – rys.10. 

Rysunek 10 Jakość sygnału mowy w transmisji PCM (SNR₀) w funkcji SNR na wyjściu kanału transmisyjnego

Stosowanie kwantyzatora pseudologarytmicznego w pewnym stopniu rozwiązuje problem zależności SNR_q od mocy sygnału. Trzeba jednak podkreślić, że sygnały o małej mocy są kwantowane z wykorzystaniem tylko części z całkowitej liczby L poziomów. Z tego względu lepszym rozwiązaniem jest zagęszczanie siatki poziomów kwantyzacji dla sygnałów o małej amplitudzie i rozciąganie dla sygnałów o większej amplitudzie, czyli adaptacja zakresu pracy kwantyzatora do amplitudy kwantowanego sygnału – rys 11. 

Rysunek 11 Idea kwantyzacji adaptacyjnej

Są dwie grupy algorytmów adaptacji kwantyzatora: adaptacja „w przód” (forward) i „wstecz” (backward). Metodę adaptacji „w przód” pokazano na rys.12.

Rysunek 12 Kwantyzator z adaptacją "w przód"

Po zgromadzeniu pewnej liczby próbek w buforze, znajduje się próbkę o największej wartości bezwzględnej  Następnie dobiera się zakres pracy kwantyzatora z tak, aby nie był mniejszy od tej próbki. Istnieje ograniczona liczba dopuszczalnych zakresów pracy, gdyż informacja o wybranym zakresie musi zostać wysłana do dekodera. Dopiero w tym momencie można rozpocząć kwantowanie, tzn. przypisywanie każdej próbce odpowiedniego poziomu kwantowania i wysyłanie b bitów do dekodera. Dekodowanie wymaga znajomości zakresu pracy i numerów poziomów kwantyzacji. Adaptację przeprowadza się co kilka-kilkanaście próbek. 
Zaletą adaptacji „w przód” jest brak przesterowań, wadą jest opóźnienie proporcjonalne do pojemności bufora. Nie jest też wygodne przesyłanie informacji dodatkowej, tzn. aktualnego zakresu pracy.
Adaptacja „w przód” jest stosowana w koderach audio wyższej jakości, np. w koderze MP3, ze względu na brak przesterowań.
Do transmisji mowy telefonicznej stosuje się najczęściej adaptację „wstecz”. Nie przesyła się tu informacji dodatkowej, a zakres pracy kwantyzatora jest synchronicznie aktualizowany w koderze i dekoderze – rys.13.
 

Rysunek 13 Kwantyzator z adaptacją "wstecz"

Zakres pracy zmienia się co próbkę -najczęściej jest on mnożony przez współczynnik adaptacji M przypisany wybranemu poziomowi kwantyzacji: 

Gdzie: 

• $z_n$ – zakres pracy dla n-tej próbki kwantowanego sygnału,
• $I_n$ – numer poziomu kwantyzacji wybrany dla n-tej próbki,
• $M(I_n)$ – współczynnik adaptacji (mnożnik) przypisany poziomowi kwantyzacji o numerze $I_n$

Na rys.14 pokazano przykład 4-poziomowego kwantyzatora z adaptacją „wstecz”. Wewnętrznym poziomom kwantyzacji przypisane są mnożniki mniejsze od 1, a zewnętrznym – większe od 1. Dzięki temu algorytm działa prawidłowo: zawęża siatkę poziomów (mnoży przez 0.8) gdy próbki sygnału mają niewielką amplitudę i są zaokrąglane do poziomów kwantyzacji bliskich zeru i rozszerza siatkę poziomów (mnoży przez 1.6) gdy próbki mają większą amplitudę i są zaokrąglane do zewnętrznych poziomów. W ćwiczeniu laboratoryjnym „Kwantyzacja skalarna” można zmieniać współczynniki adaptacji. Wybierając np. wartości 1.01, 0.99, 0.99, 1.01 mamy bardzo powolną adaptację. Wybierając np. 2, 0.5, 0,5, 2 otrzymujemy szybką adaptację. 
Gdy mamy np. 16 poziomów musimy zadeklarować 8 par mnożników (z reguły ich wartości są symetryczne, bo próbki dodatnie i ujemne sygnału mowy maja podobne wartości bezwzględne).

Rysunek 14 Przykładowe współczynniki adaptacji 4-poziomowego kwantyzatora z adaptacją "wstecz"

Zaletą adaptacji „wstecz” jest znikome opóźnienie (tak jak w PCM, wynosi ono 1 próbkę), nie przesyła się też zakresu pracy. Wadą jest brak zabezpieczenia przed przesterowaniem. Po gwałtownym zwiększeniu amplitudy sygnału, następuje seria przesterowanych próbek, zanim kwantyzator powiększy odpowiednio swój zakres pracy. Przy przesyłaniu mowy telefonicznej te krótkie okresy przesterowania nie wpływają decydująco na jakość sygnału, w związku z tym w koderach ADPCM stosuje się niemal wyłącznie kwantyzatory adaptacyjne. 

Predykcja to przewidywanie – w tym przypadku przewidywanie wartości bieżącej próbki sygnału na podstawie obserwacji próbek poprzednich. Przewidywalnej części sygnału nie trzeba transmitować, można ją odtworzyć w odbiorniku, używając do tego celu poprzednich próbek. Transmitować należy jedynie nieprzewidywalną część sygnału. Tę ideę wykorzystano m.in. w koderze ADPCM (Adaptive Differential Pulse Code Modulation) – rys.15. 

Rysunek 15 Koder i dekoder ADPCM: Q - kwantyzator adaptacyjny, , P - predyktor

Kwantowaniu (z wykorzystaniem adaptacji kwantyzatora) podlega sygnał różnicowy $\varepsilon_n=x_n-x_n^p$, gdzie $x_n^p$ – predykcja bieżącej próbki $x_n$. Po stronie odbiorczej ta sama predykcja jest dodawana do skwantowanego sygnału różnicowego. Predykcja w koderze i w dekoderze musi być obliczona w identyczny sposób. W dekoderze do przewidywania próbki bieżącej możemy wykorzystać poprzednie próbki sygnału wyjściowego $x_n^\ast$, więc ten sam sygnał musimy wytworzyć po stronie nadawczej. Stąd częścią nadajnika jest kopia odbiornika, tzw. dekoder lokalny.  
Ponieważ sygnał predykcji jest odejmowany od sygnału mowy, a potem jest dodawany, to sygnał wyjściowy dekodera $x_n^\ast$ różni się od sygnału wejściowego kodera $x_n$ jedynie błędem kwantyzacji powstającym w kwantyzatorze adaptacyjnym:

gdzie  $e_n=\varepsilon_n^\ast-\varepsilon_n$  - błąd kwantyzacji, powstający przy kwantowaniu sygnału różnicowego (zwanego sygnałem błędu predykcji). Jeśli predykcja jest skuteczna, czyli sygnał błędu predykcji $\varepsilon_n=x_n-x_n^p$ ma mniejszą amplitudę niż sygnał wejściowy $x_n$, wówczas kwantyzator adaptacyjny „zagęszcza” siatkę poziomów kwantyzacji i błąd kwantyzacji maleje. Tym samym poprawia się jakość sygnału na wyjściu dekodera.  Ta właściwość ADPCM wynika także ze wzoru (18):

gdzie $\sigma_x^2,\ \sigma_\varepsilon^2,\ \ \sigma_e^2$ -  moce sygnału wejściowego, różnicowego i szumu kwantyzacji, $SNR_q=\frac{\sigma_\varepsilon^2}{\sigma_e^2}$  - stosunek mocy sygnału wejściowego kwantyzatora do mocy szumu kwantyzacji (zależy głównie od liczby bitów na próbkę), $G_p=\frac{\sigma_x^2}{\sigma_\varepsilon^2}$  - stosunek mocy sygnału wejściowego do mocy błędu predykcji, zwany zyskiem predykcji.  
Logarytmując obie strony wzoru (18) i mnożąc przez 10, otrzymujemy wartości w decybelach:

Jeśli błąd predykcji jest mniejszy od sygnału wejściowego, wówczas $G_p>1$ i $G_p[dB]>0$.  Następuje wówczas poprawa jakości sygnału skutkiem zastosowania predyktora. 

Jak skonstruować predyktor o wysokim zysku predykcji? Aby rozpatrzyć to zagadnienie, oddzielimy predyktor od układu ADPCM, przyjmując, że do przewidywania próbki sygnału wejściowego $x_n$ możemy wykorzystać poprzednie próbki tego samego sygnału  $x_{n-1}^\ ,\ x_{n-2}$,$\ldots,x_{n-p}$ – rys.16.

Rysunek 16 Predykcja próbki sygnału

Predyktory wykorzystywane w koderach mowy należą do predyktorów liniowych, tzn. predykcja $x_n^p$ jest kombinacją liniową poprzednich próbek sygnału. 
Najprostszy predyktor wykorzystuje wprost wartość poprzedniej próbki $x_n^p=x_{n-1}$ . Lepszym rozwiązaniem jest użycie poprzedniej próbki pomnożonej przez współczynnik predykcji $x_n^p=a_1x_{n-1}^\ $. Ogólnie predyktor liniowy wyraża się wzorem: 

Współczynniki predykcji $a_1, a_2,\ldots,a_p$  obliczamy na minimum mocy błędu predykcji: 

gdzie E – operator uśredniania, który w praktyce jest zastępowany obliczaniem wartości średniej w bloku próbek. 
Przyjmijmy, że znamy współczynniki autokorelacji sygnału:

Współczynnik $R_0$ jest równy mocy sygnału: $R_0=E\left(x_n^2\right)=\sigma_x^2$. 
Na początku obliczmy zysk predykcji najprostszego predyktora opisanego równaniem  $x_n^p=x_{n-1}^\ $.

$\sigma_\varepsilon^2=E\left((x_n-x_{n-1})^2\right)=E\left(x_n^2\right)-2E\left(x_nx_{n-1}\right)+E\left(x_{n-1}^2\right)=2R_0-2R_1$

Jeżeli  $\frac{R_1}{R_0}>0.5$, wówczas $G_p>1$ i stosowanie tego predyktora jest korzystne. Jeżeli $\frac{R_1}{R_0}$, wówczas jakość sygnału na wyjściu układu ADPCM jest niższa niż  ta, jaką oferuje sam kwantyzator. 
Zajmijmy się teraz predyktorem ze współczynnikiem predykcji:  $x_n^p=a_1x_{n-1}$ . Próbka sygnału błędu predykcji wynosi:  $\varepsilon_n=x_n-x_n^p=x_n-a_1x_{n-1}$, a moc tego sygnału

$\sigma_\varepsilon^2=E\left((x_n-a_1x_{n-1})^2\right)=E\left(x_n^2\right)-2a_1E\left(x_nx_{n-1}\right)+(a_1)^2E\left(x_{n-1}^2\right)=R_0-2a_1R_1+(a_1)^2R_0$

Minimum mocy błędu predykcji obliczymy, różniczkując  $σ_ε^2$  względem  $a_1$ i przyrównując do zera:

Zysk dla optymalnego współczynnika predykcji  $a_1=\frac{R_1}{R_0}$ wynosi 

Jest on większy od 1, gdyż współczynniki autokorelacji spełniają nierówność $\left|R_1\right|\le R_0$ . Wartość równą 1 osiąga dla nieskorelowanego sygnału, dla którego $R_1=0$. Wówczas również $a_1=0$. Predyktor nie jest w stanie przewidzieć próbki nieskorelowanego sygnału, w związku z tym wyłącza się. 
Podobnie postępujemy w ogólnym przypadku, gdy predyktor ma p współczynników i jest opisany wzorem (20). Do wyznaczenia współczynników predykcji będą potrzebne współczynniki autokorelacji $R_0,R_1,\ldots,R_p$. Współczynniki predykcji są rozwiązaniem układu równań liniowych [1]. Np., dla p=3 jest to następujący układ równań: 

Wykonując symulacje w ramach ćwiczenia laboratoryjnego „Kwantyzacja skalarna” można będzie porównać działanie kodera ADPCM z działaniem samego kwantyzatora. Różnica wartości SNR[dB] to zysk predykcji wyrażony w decybelach (wzór 19). Zysk predykcji zależy od predyktora (jest tym większy im więcej poprzedzających próbek wykorzystamy do przewidywania próbki bieżącej). W głównej jednak mierze zależy od samego sygnału. W przypadku sygnału nieskorelowanego predykcja nie jest możliwa. Podstawiając zerowe wartości współczynników autokorelacji (poza wartością $R_0$, która jest mocą sygnału) do równania (26) otrzymamy zerowy wektor prawej strony i zerowe wartości współczynników predykcji. Predykcja $x_n^p=0$  i zysk wynosi 1 (w decybelach 0). Z kolei sygnał o wartości stałej jest bezbłędnie przewidywalny z wykorzystaniem predykcji $x_n^p=x_{n-1}$ . Tu zysk jest nieskończony.  Bezbłędnie przewidywalny jest też sygnał harmoniczny, wystarczy znać 2 poprzednie próbki, aby obliczyć kolejną próbkę jako kombinację liniową tych 2 poprzednich. Będzie się o tym można przekonać, symulując koder ADPCM z predyktorem o co najmniej 2 współczynnikach predykcji. Należy się wówczas spodziewać wysokich wartości SNR. 

Współczynniki predykcji można obliczyć ze współczynników autokorelacji sygnału (wzory 24, 26). Aby oszacować wartości współczynników autokorelacji, trzeba wpierw zgromadzić pewną liczbę próbek sygnału. Oznacza to wprowadzenie opóźnienia, w kodowaniu mowy rzędu 10-30ms. Obliczone współczynniki trzeba ponadto przesłać do odbiornika, żeby tam uruchomić identyczny predyktor. Aby tego uniknąć, w koderach ADPCM oblicza się współczynniki predykcji z poprzednich, do tego obarczonych błędem kwantyzacji próbek sygnału ($x_n^\ast$ na rys.15). Na tej samej zasadzie działa algorytm adaptacji kwantyzatora metodą „wstecz”. 
Algorytm sekwencyjny aktualizuje, co próbkę n, wektor współczynników predykcji przechowywany w pamięci. 
$\mathbf{a}\left(n\right)=[a_1\left(n\right),\ a_2\left(n\right),\ldots,a_p\left(n\right)]T$ , gdzie T oznacza transpozycję. Predykcja jest obliczona jak we wzorze (20): $x_n^p=\sum_{i=1}^{p}{a_i\ x_{n-i}^\ast}=\mathbf{a}^T\left(n\right)\mathbf{X}_n^\ast , gdzie \mathbf{X}_n^\ast=[x_{n-1}^\ast,\ x_{n-2}^\ast,\ \ldots,x_{n-p}^\ast]T$ jest wektorem złożonym z p próbek sygnału poprzedzających próbkę bieżącą. Aktualizacja współczynników predykcji odbywa się przez dodanie niewielkiej poprawki: 

Poprawka winna zmierzać w kierunku zmniejszenia mocy błędu predykcji $[\varepsilon_n^\ast]2$.  Na rys.17 pokazano proces aktualizacji predyktora o dwóch współczynnikach. W chwili n dysponujemy wektorem współczynników \mathbit{a}. Kierunek wzrostu błędu predykcji pokazuje gradient $grad[\varepsilon_n^\ast]^2=∇[εn*]^2$ . Poprawka $\mathrm{\Delta}\mathbf{a}(n)$ winna zmierzać w przeciwną stronę:  $\mathrm{\Delta}\mathbf{a}(n)\propto-grad[\varepsilon_n^\ast]^2$. 
Ponieważ  $\varepsilon_n^\ast=x_n^\ast-x_n^p=x_n^\ast-\sum_{i=1}^{p}{a_i\ x_{n-i}^\ast}=x_n^\ast-\mathbf{a}^T\left(n\right)\mathbf{X}_n^\ast$ , to gradient (wektor pochodnych) wynosi 

Poprawka $\mathrm{\Delta}\mathbf{a}(n)$ powinna mieć przeciwny znak, natomiast długość skoku niech będzie regulowana współczynnikiem szybkości adaptacji b. 

Ostatecznie otrzymuje się dość prosty w stosowaniu wzór 

Ta metoda adaptacji nazywana jest metodą stochastycznego gradientu.  Według wzoru (28) aktualizuje się współczynniki predykcji – synchronicznie w nadajniku i odbiorniku ADPCM.  Adaptacja sekwencyjna nie wymaga przesyłania współczynników predykcji do dekodera. 

Rysunek 17 Metoda gradientowa adaptacji predyktora

Dobór szybkości adaptacji b nie jest sprawą łatwą. Za duża wartość współczynnika b prowadzi do niestabilności procesu adaptacji (zbyt duże kroki $∆\mathbf a(n)$). Wzór (28) pokazuje, ze wielkość poprawki zależy ponadto od mocy sygnału. Rozwiązaniem tego problemu jest metoda stochastycznego gradientu z normalizacją, w której współczynnik b jest odwrotnie proporcjonalny do estymaty mocy sygnału:

gdzie $L_\beta$ reguluje szybkość adaptacji a  $M_\beta$ zapobiega dzieleniu przez zero. 
W ćwiczeniu „Kwantyzacja skalarna” zaimplementowano metodę stochastycznego gradientu bez normalizacji i z normalizacją. 
 

Jako przykład kodera ADPCM weźmy koder G.726, który (podobnie jak inne kodery, w tym znany już nam G.711) jest standardem ITU - Unii Telekomunikacyjnej z siedzibą w Genewie [5]. Podstawową funkcją tego kodera jest zamiana strumienia binarnego PCM o przepływności 64 kbit/s na strumień o 2 razy mniejszej przepływności. Poza przepływnością 32 kbit/s standard G.726 oferuje kilka innych przepływności. Podstawowe parametry kodera są następujące:

• Częstotliwość próbkowania 8 kHz
• Przepływności binarne 40, 32, 24, 16 kbit/s
• Zabezpieczenie przed kumulacją zniekształceń (przy wielokrotnym kodowaniu/dekodowaniu).

Odbiornik ADPCM generuje strumień binarny PCM o przepływności 64 kbit/s w taki sposób, aby w kolejnym koderze G.726 wybierane były te same poziomy kwantyzacji.
Schemat kodera, wg normy ITU [5], pokazano na rys.18, a dekodera – na rys.19.

Rysunek 18 Koder ADPCM G.726 [5]

Rysunek 19 Dekoder ADPCM G.726 [5]

Kwantyzator adaptacyjny ma następujące parametry:

• Liczba poziomów 31, 15, 7 lub 4 (dla przepływności 40, 32, 24 lub 16 kbit/s).
• Adaptacja „wstecz” wg wzoru (16):   z(n+1)=zM(|I_n|)
• Adaptacja szybka dla mowy i wolna dla sygnałów modemowych, które są transmitowane w paśmie akustycznym 
• Zabezpieczenie przed kumulacją błędów. Chodzi o to, aby odebrany z błędem numer poziomu kwantyzacji (I_n) nie spowodował trwałego rozejścia się zakresu pracy kwantyzatora i dekodera.

Predyktor różni się od opisanego wzorem (20), gdyż do przewidywania wykorzystuje nie tylko próbki sygnału mowy ale także próbki sygnału błędu predykcji:

Współczynniki predykcji $a_1,\ a_2,\ b_1,\ b_2,\ldots,b_6$ są adaptowane metodą sekwencyjną. Aby nie dopuścić do trwałego rozejścia się wartości współczynników predykcji w nadajniku i w odbiorniku, wprowadza się tłumienie o wartości $1-\alpha=\frac{255}{256}$. Gdy, skutkiem przekłamania bitów, pojawi się błąd, jest on mnożony przez $\frac{255}{256}$ co próbkę i szybko zanika:

Przy szybkości transmisji z przepływnością 32 kbit/s koder G.726 utrzymuje tę samą jakość sygnału co koder PCM o przepływności 64kbit/s.

Jeśli w schemacie kodera ADPCM (rys.15) pominiemy szum kwantyzacji (podstawiając $\varepsilon_n^\ast=\varepsilon_n$) , wówczas na wejściu predyktora pojawi się sygnał $x_n$ i schemat nadajnika będzie można przekształcić do postaci pokazanej na rys.20.  Predyktor, opisany wzorem (20) jest w istocie filtrem cyfrowym o skończonej odpowiedzi impulsowej {<span class="equation" style="width:100%;">$0,\ a_1,a_2,\ldots,a_p$</span>} – patrz p.7.4, Moduł1.  Jeżeli współczynniki predykcji są przez jakiś czas stałe (tak jest w koderach ze „skokową” adaptacją predyktora, np. co 10-30 ms), to do opisu filtru można wykorzystać transformatę Zet. Transmitancja filtru predyktora wówczas wynosi $P(z)=\sum_{i=1}^{p}a_iz^{-i}$. 

Rysunek 20 Koder i dekoder ADPCM jako filtry cyfrowe

Koder ADPCM, przetwarzający sygnał wejściowy na sygnał błędu predykcji, ma transmitancję 

Filtr A(z) jest nazywany filtrem inwersyjnym. 
Dekoder też można opisać w dziedzinie transformaty Zet:  $X(z)=Ε(z)+X(z)P(z)$. Po przekształceniu $X\left(z\right)[1-P(z)]=Ε(z)$ otrzymujemy transmitancję filtru reprezentującego dekoder ADPCM:

Filtr H(z) jest nazywany filtrem syntezy predykcyjnej. Przetwarza on sygnał błędu predykcji na sygnał mowy. 
Filtr A(z) jest filtrem o skończonej odpowiedzi impulsowej, posiadającym p zer. Filtr H(z) jest filtrem o nieskończonej odpowiedzi impulsowej, posiadającym p biegunów w tych samych miejscach, gdzie filtr A(z) ma zera. 
Podstawiając $z=e^{j2\pi fT}$ ( $\frac{1}{T}=f_s$ jest częstotliwością próbkowania) otrzymamy charakterystyki częstotliwościowe obu filtrów. Na rys.21 pokazano widma amplitudy sygnałów X(f) i E(f) i charakterystyki częstotliwościowe filtrów A(f) i H(f) otrzymane dla fragmentu mowy przetwarzanego w układzie z rys.20. Liczba współczynników predykcji wynosi p=6 i tyle jest zer filtru A(z) i biegunów H(z). Charakterystyki częstotliwościowe podano w decybelach, w zakresie częstotliwości od zera do połowy częstotliwości próbkowania. W związku z tym obserwujemy wpływ jedynie 3 zer na charakterystykę filtru A(z)  – pozostałe 3 zera tworzą niewidoczne na wykresach lustrzane odbicie. Bieguny H(z) leżą w tych samych miejscach co zera A(z), ich położenie w obrębie koła o promieniu jednostkowym gwarantuje stabilność filtru H(z). Minimom charakterystyki częstotliwościowej A(f) odpowiadają maksima charakterystyki H(f). Porównanie widma sygnału X(f) i charakterystyki filtru H(f) prowadzi do wniosku, że filtr syntezy predykcyjnej H(f) jest dobrym modelem widma mowy, tym lepszym, im więcej mamy współczynników predykcji. Zauważmy, że charakterystyka H(f) może mieć co najwyżej p/2 maksimów w zakresie częstotliwości od zera do połowy częstotliwości próbkowania. Im więcej współczynników predykcji tym lepsze dopasowanie H(f) do widma sygnału. Najczęściej wystarcza p=10 współczynników predykcji. 
Jak wytłumaczyć to dopasowanie charakterystyki H(f) do widma mowy? Zauważmy, że sygnał mowy jest przepuszczany przez filtr inwersyjny A(z), na wyjściu którego powstaje sygnał błędu predykcji. Współczynniki predykcji obliczane są w taki sposób, aby zminimalizować energię sygnału błędu predykcji. W związku z tym minima charakterystyki A(f) muszą pojawić się na tych częstotliwościach, na których sygnał mowy ma najwięcej energii (czyli na częstotliwościach formantowych). Minima A(f) to maksima H(f), stąd podobieństwo charakterystyki H(f) do widma mowy. Po wytłumieniu rezonansów formantowych otrzymuje się sygnał błędu predykcji o płaskiej obwiedni widma E(f). Prążkowy charakter tego widma wynika z quasiperiodycznego charakteru mowy dźwięcznej. Odległość prążków widmowych jest równa częstotliwości drgania strun głosowych. 
Interpretacja częstotliwościowa liniowej predykcji przydaje się w koderach typu CELP i w tzw. wokoderach. Wykorzystuje się tam filtr H(z) jako model widma mowy, a pobudzenie tego filtru wytwarza się w generatorze (wokodery) lub poddaje silnej kompresji (CELP). Filtr H(z) odtwarza rezonanse formantowe, to on odpowiada za to, czy słyszymy głoskę „a” czy np. „e”. 

Rysunek 21 Widmo amplitudy fragmentu sygnału mowy X(f), i sygnału błędu predykcji E(f),  charakterystyki częstotliwościowe filtrów A(f) i H(f)) oraz zera filtru A(z)

Kwantyzator skalarny przetwarza każdą próbkę sygnału dźwiękowego (lub każdy piksel obrazu) osobno, z tego względu nie może wykorzystać związków łączących sąsiednie próbki lub piksele. Cechę tę posiada kwantyzator wektorowy (VQ – vector quantizer), przetwarzający N-wymiarowe wektory złożone z sąsiednich próbek (lub blisko siebie leżących pikseli). Na rys. 22 pokazano sposób tworzenia 2-wymiarowych wektorów z próbek sygnału audio. 

Rysunek 22 Tworzenie wektorów N=2-wymiarowych z próbek sygnału audio

Mając zbiór wektorów pobranych np. z frazy sygnału mowy  możemy je przedstawić jako mgławicę w przestrzeni N-wymiarowej - rys.23.

Rysunek 23 Mgławica wektorów 2-wymiarowych, wektory słownika i komórki Voronoy'a

Kwantyzacja wektorowa polega na zaokrągleniu wektora z mgławicy do najbliższego wektora ze słownika $\mathbf{F}={f_1,\ f_2,\ \ldots,f_L}$, pełniącego rolę zbioru poziomów kwantyzacji. Na rys.23 wektory słownika są czarnymi punktami. Zbiór wszystkich wektorów z mgławicy, dla których wektor $f_k$ jest najbliższym wektorem słownika, tworzy k-tą komórkę Voronoy’a $P(f_k)$ (od nazwiska ukraińskiego matematyka, profesora Uniwersytetu Warszawskiego). Komórki Voronoy’a są wielowymiarowymi przedziałami kwantyzacji. 
Jeśli przeznaczamy b bitów na zakodowanie jednej próbki sygnału, wówczas mamy $bN$ bitów na wektor, co oznacza, że liczba wektorów w słowniku (zwanym też książką kodową) wynosi 

Na rys.24 pokazano koder i dekoder kwantyzacji wektorowej. Dla N-wymiarowego wektora próbek x poszukujemy najbliższego wektora w słowniku F, po czym, wykorzystując $bN$ bitów, przesyłamy jego numer (j) do dekodera. Tym numerem adresujemy wektor $f_j$ w identycznym słowniku w dekoderze i wyprowadzamy N próbek skwantowanego sygnału. 

Rysunek 24 Kodowanie (a) i odtwarzanie (b) sygnału w kwantyzacji wektorowej

Jeżeli podstawimy wymiar wektora N=1, wówczas wrócimy do kwantyzatora skalarnego. Słownik stanie się zbiorem poziomów kwantyzacji, a komórki Voronoy’a – przedziałami kwantyzacji. 
Jak zaprojektować słownik kwantyzatora wektorowego? Rys.23 sugeruje, że granice komórek powinny przebiegać w równej odległości od najbliższych wektorów słownika, a wektor słownika powinien dobrze reprezentować wektory należące do jego komórki. Oznacza to, że wektor słownika winien być równy wartości średniej (centroidowi) wektorów z komórki. Te dwa warunki trudno jest spełnić od razu, ale można skonstruować algorytm iteracyjny, na przemian obliczając komórki i wektory słownika. Mając zbiór wektorów słownika, przeprowadzamy kwantyzację przydzielając każdy wektor z mgławicy do jednej z komórek Voronoy’a. Następnie obliczamy wartość średnią wektorów w każdej komórce otrzymując wektor nowego słownika. Taki algorytm nazywa się algorytmem Lloyda lub algorytmem K średnich. W istocie mamy tu problem klasteryzacji zbioru wektorów tworzących mgławicę. Sieć działań pokazano na rys.25. 

Rysunek 25 Algorytm Lloyda obliczania słownika kwantyzatora wektorowego

Działania algorytmu kończą się z chwilą osiągnięcia punktu stałego: w dwóch kolejnych iteracjach pojawia się ten sam słownik. 
Słownik początkowy może być otrzymany metodą losowania L wektorów z mgławicy. Algorytm Lloyda nie gwarantuje otrzymania najlepszego z możliwych słowników, ale w każdej iteracji następuje zmniejszenie energii błędu kwantyzacji wektorów z mgławicy. 
Wariantem algorytmu Lloyda jest algorytm  LBG (od nazwisk jego twórców: Linde, Buzo, Gray). Polega on na uruchamianiu algorytmu Lloyda kolejno dla 1, 2, 4, 8, … wektorów.  W pierwszym uruchomieniu otrzymujemy wartość średnią wszystkich wektorów z mgławicy (bazy danych uczących). Otrzymany wektor rozszczepiamy na dwa blisko siebie leżące i uruchamiamy algorytm Lloyda dla dwóch wektorów. Po osiągnięciu zbieżności, rozszczepiamy każdy wektor i uruchamiamy algorytm dla 4 wektorów, itd. aż do otrzymania słownika liczącego L wektorów. 
W Module 4 opisany jest symulator kwantyzacji wektorowej. Zainteresowanych zachęcam uruchomienia procedury Lloyda i LBG – można obserwować ewolucję wektorów słownika i komórki Voronoy’a. Interesujące jest porównanie kwantyzatora wektorowego i skalarnego (ten ostatni otrzymujemy podstawiając wymiar wektora N=1).  Porównanie należy przeprowadzić przy tej samej przepływności, tzn. tej samej liczbie b bitów na próbkę. Przy stałej wartości b bit/próbkę możemy zmieniać wymiar wektorów (N) jednocześnie zmieniając ich liczbę L wg wzoru (33). Przykładowe wyniki pokazano na rys.26. Jakość skwantowanego sygnału rośnie skutkiem zwiększania wymiaru wektora. Ten wzrost jest jednak ograniczony, gdyż nie można zmniejszyć szumu kwantyzacji poniżej wartości  opisanej funkcją RDF (rys.1). Przy zwiększaniu wymiaru wektora N szum kwantyzacji kwantyzatora wektorowego dąży do wartości RDF (pokazano to na rys.1). Oznacza to, że kwantyzator wektorowy jest asymptotycznie optymalnym koderem sygnału.

Rysunek 26 SNR w procesie kwantyzacji skalarnej i wektorowej sygnału mowy

Przewaga kwantyzatora wektorowego nad kwantyzatorem skalarnym wynika z:

• wykorzystania korelacji między kolejnymi N próbkami
• wykorzystania właściwości wielowymiarowej gęstości prawdopodobieństwa próbek

Przy braku korelacji mgławica przybiera kształt okrągły, jednak i w tym przypadku można uzyskać niewielką poprawę SNR w porównaniu z kwantyzacją skalarną. 
Poważnym problemem w implementacji kwantyzacji wektorowej jest złożoność obliczeniowa. Wynika to z eksponencjalnego wzrostu liczby wektorów słownika przy wzroście wymiaru wektorów (wzór 33). Każdy kwantowany wektor należy porównać ze wszystkimi wektorami słownika, co pochłania LN operacji arytmetycznych. W procesie kwantowania sygnału audio mamy $\frac{f_s}{N}$wektorów na sekundę  ( f_s– częstotliwość próbkowania). W ciągu sekundy należy zatem wykonać  $\frac{f_s}{N}LN=f_sL=f_s2^{bN}$ operacji. Już dla wektorów o wymiarze rzędu kilkunastu jest to liczba wykluczająca implementację w czasie rzeczywistym – rys.27.
 

Rysunek 27 Liczba operacji arytmetycznych na sekundę w kwantyzacji wektorowej sygnału audio (częstotliwość próbkowania 8 kHz)

Aby obniżyć złożoność obliczeniową, stosuje się m.in. kwantyzator wektorowy typu kształt – wzmocnienie (SGVQ - shape - gain vector quantizer). Tu wektor próbek x jest reprezentowany jako iloczyn wektora kształtu i skalarnego wzmocnienia:

W ten sposób ten sam słownik kształtów $\mathbf{F}=\{f_j\}$. zawierający L_s wektorów, może być wykorzystany w procesie kwantyzacji sygnałów o różnej mocy. Schemat kodera i dekodera SGVQ pokazano na rys.28. Oprócz słownika kształtów wykorzystuje się słownik wzmocnień  $\mathbf{G}=\{g_m\}$, czyli zbiór L_g poziomów kwantyzacji dla wzmocnienia.

Rysunek 28 Kodowanie (a) i odtwarzanie (b) sygnału w kwantyzatorze wektorowym kształt-wzmocnienie

Wektor x* można utworzyć na L_s L_g sposobów,  ale nie testujemy wszystkich kombinacji $g_mf_j$  .Najczęściej wpierw wybiera się kształt (L_s porównań wektora x z wektorami kształtu ze słownika F), a potem, dla wybranego kształtu, szuka się wzmocnienia (L_g prób). Pokazano to na rys.29. Kształt wybieramy na minimum kąta, jaki tworzy on z kwantowanym wektorem x. Równoważnym podejściem jest szukanie maksimum kosinusa kąta:

Następnie dla wybranego kształtu $f_j$ szukamy optymalnego wzmocnienia gopt tak, aby wektor gopt $f_j$ był rzutem ortogonalnym x na $f_j$:  $x-g_{opt}f_j\bot f_j$. Ortogonalność oznacza zerowanie się iloczynu skalarnego wektorów: $x^Tf_j-g_{opt}f_j^Tf_j=0$. Ostatecznie otrzymujemy

W końcu kwantujemy $g_{opt}$, wybierając ze słownika wzmocnień G wartość gm, najbliższą $g_{opt}$.

Rysunek 29 Wybór kształtu i wzmocnienia w SGVQ

W Module 4 opisano symulator kwantyzatora wektorowego, w tym kwantyzatora kształt- wzmocnienie. Zainteresowany czytelnik może przekonać się, że przy tej samej przepływności SGVQ nie zapewnia tak dobrej jakości sygnału jak klasyczny kwantyzator wektorowy. Zaletą SGVQ jest znacznie mniejsza liczba operacji arytmetycznych, umożliwiająca implementację kodera w czasie rzeczywistym.
 

Kodery predykcyjne wykorzystują filtr syntezy predykcyjnej (rys.30), opisany w p.3.5. Filtr ten ma transmitancję (wzory 31,32)

gdzie $a_1,a_2,\ldots,a_p$ – współczynniki predykcji.

Rysunek 30 Filtr syntezy predykcyjnej H(z)

Wymienione poniżej kodery predykcyjne różnią się sposobem generowania sygnału  pobudzającego $\varepsilon_n^\ast$:

• ADPCM  -  sygnał pobudzający kwantowany skalarnie 
• CELP  -  sygnał pobudzający kwantowany wektorowo
• Wokodery  -  sygnał pobudzający generowany sztucznie.

Poza tym stosuje się różne algorytmy obliczania współczynników predykcji, opisujące filtr H(z): 

• ADPCM  -  współczynniki odtwarzane metodami sekwencyjnymi  (nie transmituje się)
• CELP  -  transmisja współczynników predykcji co 10-20 ms (za wyjątkiem kodera LDCELP)
• Wokodery  -  zawsze transmituje się współczynniki filtru. 

Można wymienić następujące zastosowania koderów predykcyjnych:

• ADPCM:    
  • transmisja sygnału telefonicznego z szybkością 40, 32, 24, 16 kbit/s (standard telekom. ITU-T  G.726 [5])
  • transmisja mowy o poszerzonym paśmie do 7 kHz (standard ITU-T  G.722 [9])
• CELP:    
  • transmisja mowy w sieciach telekom. z przepływnościami 4-16 kbit/s:
    • LDCELP: 16 kbit/s, standard G.728 [6] 
    • VoIP, audiokonferencje:  G.729 (8 kbit/s) [7], 
    • G.723.1 (5.3/6.3 kbit/s) [8]
    • telefonia komórkowa (GSM-FR, GSM-HR, GSM-EFR [12], GSM-AMR [13]), również w USA (standardy IS54, IS96) i Japonii
• Wokodery:    
  • łączność specjalna, np. cyfrowe radiostacje krótkofalowe  (przepływność 800-2400 bit/s)

Kodery ADPCM opisano w p.3, obecnie zajmiemy się koderami predykcyjno- wektorowymi CELP (Code Excited Linear Prediction), które maja największe zastosowanie. 
Uproszczony schemat kodera CELP pokazano na rys.31. Sygnał przetwarzany jest wektorowo, wektory składają się z N (od 5 do 60) sąsiednich próbek mowy. Koder jest właściwie kwantyzatorem wektorowym kształt-wzmocnienie z dołączonym filtrem predykcyjnym H(z). W słowniku kształtów jest L wektorów N-wymiarowych. W większości implementacji słownik nie jest przechowywany w pamięci, ale kolejne wektory są na bieżąco generowane wg ustalonego algorytmu (mówimy wtedy o słowniku algebraicznym). Po wzmocnieniu i odfiltrowaniu w filtrze predykcyjnym H(z), otrzymany wektor x* jest porównywany z wektorem sygnału mowy x. Wybiera się ten wektor ze słownika i to wzmocnienie, które zapewniają najmniejszą energie błędu $||x^\ast-x{||}^2$.  Takie podejście nazywamy analizą przez syntezę, gdyż nadajnik jest w zasadzie wielokrotnie uruchamianym odbiornikiem (syntezatorem sygnału mowy). 

Rysunek 31 Uproszczony schemat kodera CELP

Według schematu z rys.31 działa standardowy koder CELP o małym opóźnieniu (Low Delay CELP - LD-CELP G.728 [6]). Ma on następujące cechy:

• Częstotliwość próbkowania: 8 kHz
• Operacje na wektorach N=5 -wymiarowych (stąd opóźnienie 0.625ms)
• Liczba wektorów w słowniku: L=128   (indeks wybranego wektora (j) przesyła się w 7 bitach) 
• Liczba bitów na zakodowanie współczynnika wzmocnienia g: 3 (wzmocnienie kwantuje się z wykorzystaniem osobnego predyktora wzmocnienia, co zapewnia mały błąd kwantyzacji mimo tylko 23=8 poziomów kwantyzacji)
• Przepływność binarna: 16 kbit/s: (7+3) bitów na wektor  razy 8000/5 wektorów na sekundę)
• Obliczanie współczynników predykcji z przeszłego sygnału x*, dostępnego po stronie nadawczej i odbiorczej. Współczynniki odtwarza się w odbiorniku bez ich transmisji.

Warto wspomnieć o tzw. filtrze percepcyjnym i postfiltrze, nie pokazanych na rys.31. Dążenie do zmniejszenia energii błędu kwantyzacji prowadzi do „wypłaszczenia” widma błędu (rys.32). Nie jest to korzystne, gdyż szum kwantyzacji o szerokim paśmie częstotliwości jest dość dobrze słyszalny. Zadaniem filtru percepcyjnego jest takie ukształtowanie widma szumu kwantyzacji, żeby go zamaskować widmem sygnału. Taki zamaskowany szum może mieć większą moc, ale będzie mniej dokuczliwy dla słuchacza niż szum niezamaskowany. 
Filtr percepcyjny może działać jak fitr preemfazy, tłumiący w pewnym stopniu rezonanse formantowe w sygnale mowy przed podaniem tego sygnału na wejście kodera, oraz filtr deemfazy, przywracający rezonanse formantowe na wyjściu dekodera i jednocześnie kształtujący widmo szumu kwantyzacji. 
 

Rysunek 32 Działanie filtru percepcyjnego (po lewej) i  postfiltru (po prawej)

Filtr percepcyjny kształtuje widmo szumu kwantyzacji, nie zmienia widma sygnału. Z kolei postfiltr zmienia widmo sygnału na wyjściu odbiornika, prowadząc do ”wyostrzenia” rezonansów formantowych i pogłębienia efektu maskowania szumu kwantyzacji. 
Koder LD-CELP nie jest typowym koderem CELP. Typowy koder CELP przetwarza wektory o większym wymiarze (40-60) i uzyskuje współczynniki predykcji z oryginalnego sygnału mowy, co wymaga ich transmisji do odbiornika. Ponadto zawiera bardzo istotny element, tzw. predyktor tonu krtaniowego, zwany też predyktorem długookresowym (LTP- long term predictor). Pozwala on na lepsze odtworzenie quasiperiodycznej mowy dźwięcznej (rys.2, Moduł1). Schemat takiego kodera pokazano na rys.33. Predyktor długookresowy kopiuje sygnał pobudzający filtr H(z) w poprzednim okresie tonu krtaniowego. Opóźnienie w pętli sprzężenia zwrotnego (m próbek) powinno być równe okresowi drgań strun głosowych mówcy. Wzmocnienie ($g_p$) pozwala na odtworzenie fazy narastania i wybrzmiewania dźwięku. 
 

Rysunek 33 Koder CELP z predyktorem długookresowym

Pomiaru opóźnienia dokonuje się przez wycinanie z przeszłego sygnału pobudzającego $\varepsilon^\ast$ wektorów o wymiarze N, aż do znalezienia wektora, który po odfiltrowaniu filtrem H(z) zapewni najmniejszą odległość sygnału x* od wektora próbek mowy x. Jest to równoważne przeszukiwaniu słownika zawierającego wektory wycięte z sygnału $\varepsilon^\ast$ - zwanego słownikiem adaptacyjnym (rys.34). 

Rysunek 34 Przeszukiwanie słownika adaptacyjnego

Po znalezieniu opóźnienia m i wzmocnienia $g_p$, przechodzimy do szukania najlepszego wektora w słowniku stałym $c_j$ i odpowiedniego wzmocnienia g. Jak już wspomniano, wektorów $\{c_j\}$ najczęściej nie przechowuje się w pamięci, tylko konstruuje na bieżąco, a trakcje ich przeszukiwania. Taki wirtualny słownik nazywa się słownikiem algebraicznym. Jako przykład kodera z takim słownikiem weźmy koder ACELP (algebraic code excited linear prediction) G.729 [7]. Podstawowe parametry tego kodera są następujące:

• filtr syntezy H(z) oparty na 10 współczynnikach predykcji
• obliczanie (i transmisja) parametrów filtru co 10 ms (80 próbek)
• wymiar wektora sygnału pobudzającego: N=40 próbek
• opóźnienie algorytmiczne 15 ms (120 próbek, potrzebnych do obliczenia współczynników predykcji) 
• pobudzenie ternarne (ze słownika stałego) zawierające 4 impulsy o amplitudach +1 lub -1 i położeniach m0, m1, m2, m3 – rys.35

Rysunek 35 Przykład pobudzenia algebraicznego

40-wymiarowy wektor sygnału pobudzającego \varepsilon^\ast  jest wektorem „rzadkim” (sparse) gdyż zawiera jedynie 4 składowe niezerowe. Jego konstruowanie polega na kolejnym rozmieszczaniu 4 impulsów. Każdy impuls ma 8 możliwych położeń (jedynie ostatni z nich ma 16 dopuszczalnych położeń). Dopuszczalne położenia są następujące:

Wektor pobudzenia algebraicznego jest kodowany w 17 bitach (położenia w 3+3+3+4 bitach amplitudy w 4 bitach). Cały wektor jest mnożony przez skwantowany współczynnik wzmocnienia g.  W sumie transmisja parametrów niezbędnych do działania dekodera (pobudzenie algebraiczne, opóźnienie predyktora długookresowego, współczynniki wzmocnienia $g\ i\ g_p$, współczynniki predykcji ) wymaga 8000 bit/s, 
Podobny algorytm zastosowano w koderach G.723.1 [8], GSM -EFR (enhanced full rate [12]), GSM-AMR (adaptive multi-rate [13]) i wielu innych.  Parametry kodera GSM-EFR są następujące:

• przepływność 12.2 kbit/s
• ramka podstawowa 20 ms (160 próbek)
• obliczanie predyktora co 10 ms
• wektory pobudzenia 40-wymiarowe (5 ms)
• pobudzenie ternarne:
• 10 impulsów, kod 35 -bitowy
• dopuszczalne położenia impulsów:

W Module 4 opisano ćwiczenie laboratoryjne „Kompresja sygnału mowy”. Zawiera ono symulator kodera GSM-AMR (Adaptive Multi-Rate) – nie w pełni kompatybilny ze standardem [13]. Koder ten ma kilka przepływności binarnych, podstawowym wariantem jest  GSM-EFR (12.2 kbit/s). Zmniejszając liczbę impulsów w 40-wymiarowym wektorze pobudzenia, uzyskuje się mniejsze przepływności (Tabela2). Można obserwować działanie kodera z różnymi przepływnościami binarnymi, przebiegi sygnału pobudzającego, wejściowego, wyjściowego i ich widma, wpływ predykcji długookresowej na jakość sygnału (SNR).  

Kodery CELP dominują w kompresji mowy w zakresie przepływności 4-16 kbit/s. Przy mniejszych przepływnościach są stosowane kodery parametryczne, zwane wokoderami. W koderach parametrycznych nie dąży się do uzyskania podobnego przebiegu czasowego mowy na wyjściu odbiornika i wejściu nadajnika. Chodzi o odtworzenie tych cech, które są niezbędne do prawidłowego zrozumienia mowy przez odbiorcę. Są to rezonanse formantowe (koncentracje energii na pewnych częstotliwościach, charakterystycznych dla poszczególnych głosek), dźwięczny lub bezdźwięczny charakter, częstotliwość drgania strun głosowych.  Uproszczony schemat syntezatora wokodera pokazano na rys. 36.

Rysunek 36 Syntezator wokodera predykcyjnego

Filtr syntezy predykcyjnej H(z) odtwarza częstotliwości formantowe , charakteryzujące poszczególne głoski. Sygnał pobudzający dla mowy bezdźwięcznej (d=0) pochodzi z generatora szumu, a dla mowy dźwięcznej (d=1) – z generatora periodycznych impulsów. Okres repetycji impulsów (To) musi być równy okresowi tonu krtaniowego.
Przy przepływności 2400 bit/s mowa była zrozumiała, choć brakowało jej naturalności. Jakość można poprawić, wprowadzając więcej klas pobudzeń – rys. 37. Np. głoski plozyjne („p”, „b”) nie powinny być odtwarzane drogą przepuszczania szumu przez filtr H(z), raczej potrzebne są tu aperiodyczne impulsy. Podobnie słabo dźwięczne głoski jak („ż”, ź”) wymagają też szumu dla ich odpowiedniego brzmienia. 
Pod względem jakości mowy kodery parametryczne nie dorównują jednak koderom predykcyjno-wektorowym CELP, z tego względu nie przyjęły się w telefonii powszechnego użytku. Dzięki niskiej przepływności znajdują zastosowanie w warunkach dużych zakłóceń, gdy tylko powolna transmisja zapewnia akceptowalna stopę błędów. 

Rysunek 37 Sygnały pobudzające filtr predykcyjny w wokoderze

Porównując kodery mowy, należy zwrócić uwagę na jakość mowy, przepływność binarną, opóźnienie. Jakość można mierzyć wartością SNR, lepiej jest jednak przeprowadzić testy odsłuchowe. Najczęściej wynik testowania podaje się jako MOS – Mean Opinion Score. Jest to średnia ocena grupy słuchaczy, podawana w skali 1-5. Istnieją też standardy ITU, umożliwiające obliczenie przypuszczalnego wyniku testu odsłuchowego w oparciu o porównanie widm sygnału oryginalnego i testowanego [16].  Na rys.38 podano wyniki dla kilku koderów mowy o paśmie 4 kHz. Kodery zaaprobowane przez ITU (oznaczenie standardu G.XXX) z reguły osiągają MOS > 4.  Standardy LPC10 i MELP to wokodery predykcyjne. Koderami mowy i muzyki o szerszym paśmie zajmiemy się w następnym punkcie. 

Rysunek 38 Wartości MOS dla wybranych koderów mowy  [1]

Kodowanie sygnałów audio w dziedzinie częstotliwości obejmuje dwa typy koderów kodery subpasmowe i kodery transformaty. W obu przypadkach otrzymuje się reprezentację sygnału audio w podpasmach częstotliwości. W koderach subpasmowych są to próbki wąskopasmowych sygnałów, a w koderach transformaty – współczynniki transformaty (najczęściej DCT), odnoszące się do szeregu częstotliwości. Operacja przejścia na skalę częstotliwości jest odwracalna – sumując sygnały wąskopasmowe  lub obliczając transformatę odwrotną uzyskujemy niezmienioną kopię sygnału oryginalnego. Kodowanie w dziedzinie częstotliwości jest jednak operacją stratną, gdyż sygnały pasmowe lub współczynniki transformaty podlegają kwantyzacji. 
Celem kodowania w dziedzinie częstotliwości jest: 

• zmniejszenie mocy szumu kwantyzacji
• odpowiednie ukształtowanie widma szumu kwantyzacji

Powyższe cele osiąga się, kwantując w różny sposób sygnały o różnych częstotliwościach, jak to pokazano na rys.39. Wymaga to wykorzystania wielu kwantyzatorów o różnych parametrach: zakresie pracy i liczbie poziomów kwantyzacji. Parametry kwantyzatorów wyznacza się w oparciu o obwiednię widma (sygnał pasmowy o większej mocy wymaga większego zakresu pracy kwantyzatora i większej liczby poziomów kwantowania). Niekiedy uwzględnia się zjawisko maskowania szumu kwantyzacji sygnałem audio (analiza psychoakustyczna). Po stronie odbiorczej sumuje się sygnały subpasmowe otrzymane z ich skwantowanych próbek (wymaga to zastosowania zestawu filtrów pasmowych i sumatora) albo oblicza się transformatę odwrotną ze skwantowanych współczynników

Rysunek 39 Koder operujący w dziedzinie częstotliwości

Dlaczego kwantyzacja w dziedzinie częstotliwości jest bardziej opłacalna niż kwantyzacja w dziedzinie czasu, jak w koderze PCM? Wyjaśniono to na rys.40. Załóżmy że mamy sygnał o paśmie 8 kHz, próbkowanie przebiega więc z szybkością 16000 próbek na sekundę. Kwantujemy próbki w dziedzinie czasu przeznaczając b bitów na próbkę (kwantyzator ma L=2^b poziomów kwantyzacji).  Zgodnie z zasadą „6 dB na bit” moc szumu kwantyzacji powinna się znaleźć 6b decybeli pod mocą sygnału (przyjmujemy, że główna część mocy znajduje się w okolicach maksimum widma). Szum kwantyzacji ma raczej płaskie widmo, więc w zakresie wyższych częstotliwości może dominować nad sygnałem audio i stać się dokuczliwym.  
Można temu zaradzić, dzieląc sygnał na 2 sygnały pasmowe i kwantując każdy z nich osobnym kwantyzatorem. Sygnał w górnym paśmie ma o wiele mniejsza amplitudę, a więc można „zagęścić” siatkę poziomów kwantyzacji i zmniejszyć moc błędu kwantowania, do wartości o 6b decybeli niższej niż moc sygnału w górnym paśmie. Zauważmy, że mimo stosowania dwóch kwantyzatorów liczba próbek na sekundę nie zwiększy się, gdyż częstotliwość próbkowania sygnałów pasmowych wynosi 8 kHz (2 razy szerokość pasma). 
Jednocześnie można zmniejszyć liczbę bitów na próbkę w górnym paśmie i zwiększyć w dolnym paśmie, zachowując tę samą szybkość transmisji $8000{\ b}_1+8000{\ b}_2=16000\ b$ bit/s. Wówczas moc szumu kwantyzacji w obu podpasmach może się wyrównać, ale na niższym poziomie, niż to zapewniał pojedynczy kwantyzator działający w całym paśmie częstotliwości.

Rysunek 40 Kwantowanie sygnału audio: jeden kwantyzator w całym paśmie, dwa kwantyzatory o różnych zakresach pracy, dwa kwantyzatory o różnych zakresach pracy i liczbie poziomów kwantyzacji

Przykładem kodera 2-pasmowego jest standard G.722 [9]. Kodery z serii G.722 [9], [10], [11] służą do kompresji sygnału mowy i innych sygnałów akustycznych w paśmie 0-7 kHz. Obecnie w telefonii odchodzi się od sygnału mowy o paśmie zawężonym do niespełna 4 kHz, ze względu na niezadowalającą jakość takiego sygnału. W tych koderach stosuje się częstotliwość próbkowania 16 kHz, co umożliwia przetwarzanie sygnałów  w paśmie 8 kHz, jednak pasmo 7-8 kHz jest wytłumione. 
W koderze G.722 stosuje się, w każdym paśmie, algorytm kompresji ADPCM (rys.41). W kanale dolnym jest to ADPCM z kwantyzatorem adaptacyjnym 6-bitowym, a w kanele górnym ADPCM z kwantyzatorem adaptacyjnym 2-bitowym. Uwzględniając 8000 próbek na sekundę w paśmie dolnym i górnym, mamy przepływność binarną 6x8000+2x8000=64000 bit/s. Jest ona równa przepływności kodera PCM – G.711 [4], jednak standard G.722 oferuje dwa razy szersze pasmo mowy. 
 

Rysunek 41 Schemat kodera G.722 – wg [9]

W koderze G.722 rozdział bitów pomiędzy kwantyzatory jest stały, w większości koderów jest on jednak zmienny, zależny od widma przetwarzanego fragmentu sygnału. Stosuje się dwie grupy algorytmów rozdziału (allokacji) bitów:

• Zasada „energetyczna”: minimum mocy szumu kwantyzacji 
• Zasada „psychoakustyczna”: największa  jakość sygnału akustycznego 

Bity przydzielane są kolejno – przydzielenie 1 bitu obniża szum kwantyzacji o 6 dB. Kolejny bit jest przydzielany temu podpasmu, gdzie błąd kwantyzacji jest największy. Przed przydzieleniem bitów jako błąd traktujemy moc sygnału w danym paśmie, gdyż nie kodując sygnału (zastępując go ciszą) tracimy całą jego moc – rys.42.
 

Rysunek 42 Przydzielanie kolejnych bitów kwantyzatorowi działającemu w podpaśmie częstotliwości

Przydzielając bity tam, gdzie szum kwantyzacji ma największą moc, doprowadzamy do spłaszczenia widma szumu kwantyzacji. Nie jest to korzystne dla brzmienia sygnału, gdyż szum kwantyzacji nie jest maskowany sygnałem audio – rys.43. 

Rysunek 43 Widmo szumu kwantyzacji przy energetycznej i psychoakustycznej metodzie rozdziału bitów - rysunek poglądowy

Aby zastosować metodę psychoakustyczną allokacji bitów, należy obliczyć próg maskowania (krzywą maskowania). Jest to próg słyszalności szumu kwantyzacji (i innych sygnałów) w obecności sygnału audio. Krzywa maskowania jest funkcją częstotliwości i zmienia się wraz ze zmianami widma sygnału audio. Gdy sygnał maskujący jest pojedynczym tonem, krzywa maskowania przebiega tak, jak to pokazano na rys. 44. Moc sygnału maskującego (od 20 dB do 80 dB) podano powyżej krzywej maskowania. Kwantowany sygnał audio składa się z wielu prążków widmowych, więc na krzywą maskowania składa się wiele funkcji pokazanych na rys.44.
Mając próg maskowania w każdym podpaśmie, można sprawdzić, czy leży on powyżej czy poniżej widma sygnału w tym podpaśmie. Jeśli leży powyżej, znaczy to, że sygnał w tym podpaśmie nie jest słyszalny i nie trzeba go kwantować. Jeśli leży powyżej, wówczas możemy obliczyć stosunek mocy sygnału do progu maskowania (SMR – Signal to Mask Ratio). Obliczenia przeprowadzamy w decybelach, odejmując próg maskowania od mocy sygnału w danym podpaśmie. Gdy np. SMR=12 dB, wówczas przydzielenie 2 bitów powinno uczynić szum kwantyzacji niesłyszalnym (zgodnie z zasadą 6 dB na bit). Najczęściej rozdzielamy bity pojedynczo, kanałowi o największej wartości SMR, po przydzieleniu bitu zmniejszając wartość SMR o 6 dB.  Jeśli mamy wystarczającą liczbę bitów do rozdzielenia, to szum kwantyzacji jesteśmy w stanie całkowicie zamaskować. 

Rysunek 44 Próg maskowania dla harmonicznego sygnału maskującego, według Egan, Hake :On the masking pattern of a simple auditory stimulus (JASA 22, 1950)

Rysunek 45 Widmo sygnału, krzywa maskowania i stosunek mocy sygnału do progu maskowania (SMR) – rysunek poglądowy

Przykładem kodera wykorzystującego „energetyczną” metodę allokacji bitów jest koder transformaty G.722.1 [10].  Podstawowe parametry tego kodera są następujące:

• Częstotliwość próbkowania 16 kHz 
• Pasmo sygnału akustycznego 7 kHz 
• Transformata MLT (MDCT), N=320 współczynników transformaty
• 14 podpasm po 20 próbek transformaty (szerokość podpasma = 0.5 kHz) - podpasm 7-7.5 kHz i 7.5-8 kHz nie koduje się
• Przepływności 24 i 32 kbit/s
• „energetyczny” algorytm rozdziału bitów
• Wykorzystanie kwantyzacji wektorowej do kwantowania współczynników transformaty w podpasmach

Przy przepływności 32 kbit/s jakość sygnału jest porównywalna z koderem G.722 o przepływności 64 kbit/s. 

Wyjaśnienia wymaga zastosowana transformata. Należy ona do tzw. MLT (modulated lapped transforms), zwana jest też MDCT (zmodyfikowana dyskretna transformata kosinusoidalna). Podobnie jak DCT, jest ona opisana macierzą, ale nie kwadratową tylko prostokątną: ${\overset{-}{W}}_{N×2N}$. Oznacza to, że N współczynników transformaty powstaje z 2N próbek sygnału audio. Wydawałoby się, że taka operacja nie może być odwracalna, gdyż znika połowa danych. Tak jednak nie jest, gdyż okno czasowe przesuwa się o pół swojej długości – kolejny wektor zawiera 50% próbek należących do poprzedniego wektora. Na każde N nowych  próbek sygnału wejściowego mamy więc N próbek transformaty, gdyż okna nakładają się. Z kolei po stronie odbiorczej z N skwantowanych współczynników transformaty otrzymujemy 2N próbek sygnału. Otrzymane wektory dodajemy z 50% pokryciem, co zapewnia powrót do sygnału wejściowego z dokładnością do błędu kwantyzacji. Operacje transformacji prostej i odwrotnej pokazano na rys.46.

Rysunek 46 Transformowanie sygnału audio i powrót do dziedziny czasu z wykorzystaniem MDCT

Przykładem koderów sygnału audio wykorzystujących „psychoakustyczną” metodę allokacji bitów są kodery MPEG-Audio [14], [15]. W najprostszej wersji jest to koder subpasmowy (rys.39) o następujących parametrach: 

• częstotliwość próbkowania fs=44100 Hz
• 32 kanały od f=0 do f=f_s/2
• 32 kwantyzatory z adaptacją „w przód”
• dynamiczny rozdział bitów pomiędzy kwantyzatory
• dobra jakość stereofonicznego sygnału audio przy przepływności binarnej 160 kbit/s

Bardziej złożony wariant MPEG-Audio, powszechnie stosowany i znany jako MP3 [15], zawiera zarówno filtry pasmowe jak i transformaty MDCT. Każdy z 32 sygnałów pasmowych jest rozdzielany na 18 podpasm z wykorzystaniem transformaty. Otrzymujemy w ten sposób 32 x 18 = 576 podpasm, co daje większe możliwości allokacji bitów. Dobrą jakość sygnału stereofonicznego otrzymujemy przy przepływności binarnej 128 kbit/s. 
Zainteresowanym polecam symulator kodera transformaty opisany w Module 4 (Kodowanie transformaty sygnału audio). Wykorzystywana jest transformata DCT. Otrzymujemy 512 próbek transformaty, które można podzielić na podpasma. W każdym podpaśmie działa inny kwantyzator skalarny. Możemy narzucić mu określoną liczbę bitów na próbkę lub uruchomić algorytm automatycznego rozdziału bitów pomiędzy kwantyzatory. Możliwe jest również zasymulowanie „psychoakustycznej” allokacji bitów. Można wówczas obserwować krzywe maskowania dla kolejnych fragmentów sygnału audio. 
 

Kwantowanie pikseli obrazu rządzi się podobnymi prawami, co kwantowanie próbek sygnału audio. Można stosować kwantyzatory równomierne o różnej liczbie poziomów kwantyzacji, można optymalizować poziomy w celu zmniejszenia energii błędu kwantyzacji.  Obowiązuje zasada „6 decybeli na bit”: dodanie jednego bitu kwantyzatorowi powoduje czterokrotne zmniejszenie energii błędu kwantyzacji (czyli zmniejszenie o 6 dB). 
Do oceny jakości skwantowanego obrazu nie stosuje się jednak globalnej ani segmentowej wartości SNR, jak w sygnałach akustycznych. Wartości pikseli bliskie zera opisują ciemne fragmenty obrazu, a bliskie wartości maksymalnej – jasne. Błąd kwantyzacji pikseli jest tak samo dokuczliwy w ciemnych i jasnych elementach obrazu, więc wartości pikseli obrazu nie powinny wpływać na ocenę jego jakości. Dobrym wskaźnikiem jakości byłaby energia błędu, zależy ona jednak od skali wartości pikseli (najczęściej są one wyskalowane od 0 do 1, albo od 0 do 255). Aby uniezależnić się od skali, wprowadzono normalizację mocy błędu kwantyzacji z wykorzystaniem mocy  piksela o największej możliwej jasności (np. 1 lub 2552). Najczęściej podaje się Peak Signal to Noise Ratio (PSNR):

gdzie $E(x_i-x_i^\ast)^2\cong\frac{1}{M}\sum_{i=1}^{M}{(x_i-x_i^\ast)^2}$ – średnia moc błędu kwantyzacji. PSNR najczęściej podaje się w decybelach. 
W kwantowaniu obrazu nie znajduje zastosowania kwantyzator pseudologarytmiczny ani adaptacyjny. Ich celem było wyrównanie SNR dla sygnałów cichych i głośnych. W kwantyzacji obrazu odpowiednikiem cichego sygnału audio byłby ciemny obraz o znikomym kontraście – a więc bezużyteczny. Sensowne jest za to optymalizowanie poziomów kwantyzacji w celu zmniejszenia błędu kwantyzacji. Do obliczania poziomów kwantyzacji stosuje się algorytm Lloyda, o którym była mowa w p.4. Wyniki kwantowania skalarnego obrazu w odcieniach szarości pokazano w tabeli 3. Liczba poziomów kwantyzacji wynosi $L=2^b$, gdzie b – liczba bitów na piksel. Zauważmy, że zasada „6 dB na bit” jest spełniona jedynie w pewnym zakresie zmian b. Wyprowadziliśmy tę zasadę zakładając równomierny rozkład prawdopodobieństwa kwantowanych wartości, co nie jest spełnione dla pikseli obrazu. Ponadto metoda Lloyda nie gwarantuje otrzymania optymalnych poziomów kwantyzacji.

Sąsiadujące ze sobą piksele są silnie skorelowane, często należą do rozległego obiektu o tym samym kolorze. Jeżeli blisko siebie leżące piksele połączymy w wektory, to można się spodziewać poprawy jakości przy stosowaniu kwantyzacji wektorowej. W tabeli 4 porównano wyniki kwantyzacji obrazu z rozdzielczością b=1 bit/piksel przy stosowaniu kwantyzacji skalarnej (L=2 odcienie szarości) i wektorowej. Utworzono 4-wymiarowe wektory z pikseli leżących w kwadracie 2x2 piksele, a następnie 9-wymiarowe wektory leżące w kwadracie 3x3 piksele. Liczba wektorów w słowniku wynosi L=2^bN (wzór 33). Kwantyzacja wektorowa dała tu wyjątkowo dobre wyniki, zwłaszcza dla 9-wymiarowych wektorów. Porównując obrazy, pamiętajmy, że w każdym wypadku przeznaczamy 1 bit na zakodowanie 1 piksela. 

W kodowaniu sygnałów audio najczęściej stosowana jest Dyskretna Transformata Kosinusoidalna DCT (lub jej zmodyfikowana wersja MDCT). Podobnie w kodowaniu obrazów dominuje dwuwymiarowa transformata DCT. Opisana jest ona tą samą macierzą W, co transformata jednowymiarowa (p.5.2, Moduł1), jednak stosowana jest ona dwukrotnie: do kolumn i wierszy pikseli obrazu X.

gdzie X – obraz zawierający NxN pikseli, Y – transformata DCT tego obrazu. Widmo Y też jest obrazem zawierającym NxN pikseli, które obliczamy wg wzoru (40). Po rozpisaniu na elementy macierzy otrzymujemy następujący wzór na współczynnik widma DCT, leżący w wierszu u i kolumnie v: 

gdzie indeksy u, v to liczby całkowite o wartościach od 0 do N-1, natomiast współczynniki  a są równe

Dwuwymiarowa transformacja DCT jest odwracalna, mając widmo Y możemy wrócić do obrazu oryginalnego stosując wzór

Powyższe równanie opisuje odwrotną transformatę kosinusoidalną (IDCT). ). Po rozpisaniu na elementy macierzy otrzymujemy następujący wzór na piksel obrazu, leżący w wierszu i i kolumnie j: 

Ze wzoru (43) wynika, że obraz X jest sumą N*N obrazów elementarnych. Każdy obraz elementarny jest zbiorem pikseli o współrzędnych (i,j), ma ten sam wymiar co obraz X i jest określony parą liczb u,v: 

Np. wszystkie piksele obrazu $\widetilde{\mathbf{Y}}\left(0,0\right)$ mają wartość  $\alpha(0)^2=\frac{1}{N}$ . Obraz ten jest powierzchnią o jednolitym kolorze. Na rys.48 pokazano obrazy elementarne (zwane obrazami bazowymi) dla transformaty DCT o wymiarach 4x4 .
Wzór (43) można przepisać jako sumę ważoną obrazów bazowych:

Taj więc współczynnik DCT  $Y\left(u,v\right)$ określa zawartość obrazu bazowego $\ \widetilde{\mathbf{Y}}\left(u,v\right)$ w obrazie X. W szczególności współczynnik $\ Y\left(0,0\right)$ określa jasność całego obrazu. Rys.48 zawiera obrazy bazowe o niskich częstotliwościach przestrzennych (duże obiekty) i wysokich częstotliwościach przestrzennych (drobne szczegóły). Te pierwsze gromadzą się w lewym górnym rogu a te drugie – w prawym dolnym rogu . 

Rysunek 48 Obrazy bazowe transformaty DCT 4x4

Dwustronna transformata DCT reprezentuje obraz w dziedzinie częstotliwości przestrzennych. Jeśli obraz nie zawiera drobnych szczegółów, to wystarczy kilka obrazów bazowych do jego zapisania lub przesłania. Oznacza to, że wystarczy wykorzystać tylko kilka współczynników DCT do jego reprezentacji. Mamy więc metodę kompresji: obliczenie DCT i transmisja tylko kilku najistotniejszych współczynników. Na tej zasadzie działa algorytm kompresji JPEG (Joint Photographic Expert Group) [14], [17], [18].

Rysunek 49 Podstawowy koder i dekoder JPEG

Na rys.49 pokazano podstawowy wariant kodera JPEG. DCT oblicza się dla podobrazów 8x8 pikseli: $\mathbf{Y}=\mathbf{WX}\mathbf{W}^\mathbf{t}$ (wzór 40). Dla każdego podobrazu mamy 64 współczynniki DCT. Kwantyzacja tych współczynników jest procesem dwuetapowym. Na początku dzieli się każdy współczynnik DCT przez odpowiedni element tablicy kwantyzacji Q(i,j).

Przykład tablicy kwantyzacji podano na rys.50. Znormalizowane współczynniki DCT zaokrągla się do najbliższej liczby całkowitej:

Im większe liczby umieścimy w tablicy kwantyzacji, tym więcej elementów zerowych otrzymamy w wyniku zaokrąglenia i tym głębsza będzie kompresja obrazu. Stosując tablicę kwantowania z rys.50, otrzymamy mniej elementów zerowych w lewym górnym rogu (reprezentacja dużych obiektów) a mniej w prawym dolnym (reprezentacja drobnych szczegółów). 

Rysunek 50 Przykład tablicy kwantyzacji [18]

Zaokrąglenie do wartości całkowitych jest procesem stratnym, tu powstaje błąd kwantyzacji. Pozostałe kroki algorytmu JPEG są bezstratne. Współczynnik ${\hat{Y}}^\ast\left(0,0\right)$, zwany współczynnikiem DC (określa on ogólną jasność podobrazu) jest kodowany różnicowo (oblicza się różnicę współczynników DC dwóch sąsiednich bloków 8x8 pikseli). Pozostałe współczynniki (AC) szereguje się od najniższych do najwyższych częstotliwości przestrzennych, poruszając się „zygzakiem” od lewego górnego rogu do prawego dolnego. Kodowaniu podlegają tylko niezerowe wartości współczynników ${\hat{Y}}^\ast\left(i,j\right)$. Dla każdego niezerowego współczynnika kodowana jest:

• Liczba poprzedzających zer,
• Liczba bitów dla kodowania wartości współczynnika,
• Wartość współczynnika.

W końcu otrzymane 3 parametry na niezerowy współczynnik DCT koduje się kodem Huffmana o zmiennej długości słowa. 
W odbiorniku (rys.49) dekoduje się kod Huffmana, otrzymując współczynniki {\hat{Y}}^\ast\left(i,j\right). Następnie odwraca się operację normalizacji (46):

W końcu otrzymuje się skwantowany podobraz, stosując transformatę odwrotną IDCT: $\mathbf{X}^\ast=\mathbf{W}^\mathbf{t}\mathbf{Y}^\ast\mathbf{W}$ (wzór 42).
Przykładowe wyniki otrzymano z wykorzystaniem softweru opublikowanego w [18] i zamieszczono w tablicy 5. Wskaźnik jakości Q wpływa na zawartość tablicy kwantyzacji kwantyzacji Q(i,j). Im większa wartość Q, tym mniejsze są elementy tablicy kwantyzacji i tym dokładniejsze kwantowanie (wyższe wartości PSNR dla 3 kolorów). Oczywiście płacimy za to większym rozmiarem pliku po kompresji.