Podręcznik

Podstawowymi zależnościami, od których rozpoczyna się jakiekolwiek rozważania na temat propagacji fal są równania Maxwella. Nazywano je od nazwiska uczonego Jamesa Clerka Maxwella, który w 1861 roku sformułował je i zebrał w integralną całość, korzystając z wiedzy innych uczonych, takich jak Faraday, Gauss i Ampère. Równania przedstawiają zależności pomiędzy zmianami pól elektrycznego i magnetycznego w czasie i przestrzeni.

Zanim wprowadzone zostaną równania należy wymienić wielkości i parametry charakteryzujące pole elektromagnetyczne. W nawiasach podane zostały jednostki.

$\overrightarrow{E}$ – wektor natężenia pola elektrycznego $\left[ \frac{V}{m} \right]$

$\overrightarrow{H}$ – wektor natężenia pola magnetycznego $\left[ \frac{A}{m} \right]$

$\overrightarrow{D}$ – wektor indukcji elektrycznej $\left[ \frac{As}{m^2} \right]$

$\overrightarrow{B}$ – wektor indukcji magnetycznej $\left[ \frac{Vs}{m^2} \right]$

$\overrightarrow{j}$ – wektor gęstości prądu $\left[ \frac{A}{m^2} \right]$

$\rho$ – gęstość objętościowa ładunku $\left[ \frac{C}{m^3} \right]$

$\nabla$ – operator dywergencji

$\nabla ×$ – operator rotacji

$\mu_0$ – przenikalność magnetyczna próżni $\left[ \frac{Vs}{Am} \right]$

$\varepsilon _0$ – przenikalność elektryczna próżni $\left[ \frac{A^2s^4}{m^3kg} \right]$

Pierwsze równanie przedstawia prawo Faradaya, i mówi o tym, że zmienne w czasie pole magnetyczne wytwarza pole elektryczne. Rotacja wektora natężenia pola elektrycznego jest równa co do wartości szybkości zmian w czasie wektora indukcji magnetycznej. Czyli, zmiany indukcji magnetycznej powodują powstanie wirowego pola elektrycznego. Równanie to opisuje zjawisko indukcji elektromagnetycznej, gdzie wektor natężenia pola elektrycznego jest w każdym punkcie przestrzeni prostopadły do wektora indukcji magnetycznej.

$\nabla × \vec{E} = \frac{-\delta\vec{B}}{\delta t} \qquad$(1.1)

Równanie drugie to prawo Ampère'a rozszerzone przez Maxwella. Przedstawia jak przepływający prąd oraz zmienne pole elektryczne wytwarzają wirowe pole magnetyczne. Prawa strona równania zawiera dwa składniki: wektor gęstości prądu elektrycznego, który jest sumą wektora gęstości prądu przewodzenia wynikającego z ruchu ładunków w materiale i wektora gęstości prądu unoszenia polegającego na ruchu naładowanych ciał. Drugi składnik oznacza prąd przesunięcia związany ze zmianami indukcji elektrycznej w czasie. Pomijając prąd przesunięcia stwierdza się, że przepływ prądu elektrycznego powoduje powstanie wirowego pola magnetycznego o rotacji równej gęstości tego prądu. Prąd elektryczny jest więc źródłem wektorowym pola magnetycznego. Gdy występuje tylko prąd przesunięcia to drugie równanie Maxwella wyraża zjawisko indukcji magnetoelektrycznej polegające na indukowaniu przez zmienne pole indukcji elektrycznej zmiennego pola magnetycznego, przy czym wektor natężenia pola magnetycznego jest w każdym punkcie przestrzeni prostopadły do wektora indukcji elektrycznej.

$\nabla × \vec{B} = \mu_0 \left( \vec{j}+\varepsilon_0 \frac{\delta\vec{E}}{\delta t} \right) \qquad$(1.2)

Z powyżej przedstawionych dwóch pierwszych równań Maxwella oznaczonych odpowiednio (1.1) i (1.2) wynika, że zmiany w czasie indukcji magnetycznej powodują powstanie wirowego pola elektrycznego, a zmienna w czasie indukcja elektryczna wytwarza wirowe pole magnetyczne. Nie można rozłączyć od siebie pola elektrycznego i magnetycznego. Dlatego mówimy o polu elektromagnetycznym. Pola te oczywiście mogą występować niezależnie, tylko wtedy gdy nie zmieniają się w czasie. Zmiany pola elektrycznego i magnetycznego (prostopadłych wzajemnie) rozchodzą się z prędkością światła, w kierunku prostopadłym do kierunku obydwu tych pól. Ponadto drgania wektora elektrycznego i magnetycznego są w tej samej fazie.

Następne z równań to prawo Gaussa dla elektryczności. Wiąże ono wypadkowy strumień elektryczny z całkowitym ładunkiem elektrycznym objętym powierzchnią Gaussa. Mamy tu do czynienia z niezerową dywergencją co oznacza, że pole nie jest bezźródłowe. Dywergencja wektora indukcji elektrycznej równa jest objętościowej gęstość ładunku elektrycznego. Skalarnym źródłem pola indukcji elektrycznej są ładunki elektryczne.

$\nabla \cdot \vec{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0} \qquad$(1.3)

Kolejne z równań, to prawo Gaussa dla magnetyzmu. Łączy ono wypadkowy strumień magnetyczny z całkowitym ładunkiem magnetycznym objętym powierzchnią Gaussa. Pole magnetyczne jest bezźródłowe, linie pola magnetycznego są zamknięte, brak jest swobodnych ładunków magnetycznych. Pole indukcji magnetycznej jest bezźródłowe.

$\nabla \cdot \vec{B} = 0 \qquad$(1.4)

Ostatnim z równań jest prawo zachowania ładunku, które mówi, że dywergencja gęstości prądu przewodzenia równa jest szybkości zmian w czasie gęstości objętościowej niezrównoważonego ładunku swobodnego. Skalarnym źródłem pola gęstości prądu przewodzenia jest zmiana ładunku w czasie.

$\nabla \cdot \vec{J} = \frac{-\delta\rho}{\delta t} \qquad$(1.5)

Pomiędzy wprowadzonymi powyżej wektorami $\vec{E}$, $\vec{H}$, $\vec{D}$, $\vec{B}$, i $\vec{J}$ zachodzą zależności, które określane są jako równania materiałowe.

$\vec{D} = \varepsilon_0\varepsilon_r\cdot \vec{E}\qquad$(1.6)

$\vec{B} = \mu_0\mu_r\cdot \vec{H}\qquad$(1.7)

$\vec{J} = \sigma\vec{E} \qquad$(1.8)

gdzie $\mu$, $\varepsilon$ i $\sigma$ oznaczają parametry materiałowe ośrodka:

$\mu_r$ – względna przenikalność magnetyczna (liczba bezwymiarowa);

$\varepsilon_r$ – względna przenikalność elektryczna (liczba bezwymiarowa);

$\sigma$ – konduktywność ośrodka $\left[ \frac{1}{\Omega m} \right]$.

Przenikalność elektryczna i konduktywność ośrodka charakteryzuje dielektryki, a przenikalność magnetyczna – magnetyki. Przenikalność elektryczna to miara zdolności dielektryka do osłabiania zewnętrznego pola elektrycznego, jak również miara zdolności do koncentracji energii pola elektrycznego.

Jeśli przenikalność elektryczna i magnetyczna oraz konduktywność ośrodka nie zależą od natężeń pól, taki ośrodek nazywa się ośrodkiem liniowym. W przypadku kiedy chociaż jeden z wymienionych powyżej parametrów ośrodka zależy od natężenia pola to ośrodek nazywa się nieliniowym. Jeżeli konduktywność ośrodka wynosi zero mówimy o ośrodku bezstratnym. O tym czy ośrodek jest jednorodny czy niejednorodny świadczą jego parametry, które odpowiednio nie zależą lub zależą od współrzędnych punktu. Natomiast w ośrodkach dyspersyjnych przenikalność elektryczna, przenikalność magnetyczna i/lub konduktywność ośrodka zależą od częstotliwości.

Jeżeli przenikalność elektryczna i magnetyczna oraz konduktywność ośrodka są niezależne od kierunku pól to ośrodek nazywamy izotropowym. Odpowiednie wektory występujące w poszczególnych równaniach materiałowych są do siebie równoległe. W przeciwnym przypadku kiedy przenikalność elektryczna i magnetyczna oraz konduktywność ośrodka są zależne od kierunku pól to, to mówimy o istnieniu ośrodka anizotropowego. Ponadto, prędkość światła w próżni związana jest z jej parametrami materiałowymi i wyraża się następującym wzorem:

$c = \frac{1} {\sqrt{\varepsilon_0\cdot \mu_0}} \approx 3 \cdot 10^8 \left[ \frac{m}{s} \right]\qquad$(1.9)

gdzie

$\varepsilon_0 = \frac{10^{-9}}{36\pi} \left[ \frac{F}{m} \right]$;

$\mu_0 = 4\pi \cdot 10^{-7} \left[ \frac{H}{m} \right]$.

Ośrodki ze względu na ich własności możemy podzielić na próżnię i ośrodki materialne, gdzie tylko próżnia jest ośrodkiem bezstratnym. W przypadku gdy ośrodek jest liniowy, izotropowy, niedyspersyjny i jednorodny to jego przenikalność elektryczna i magnetyczna wyrażona jest liczbami stałymi i rzeczywistymi.

Dla dowolnego ośrodka materialnego prędkość propagacji $v_p$ jest mniejsza niż prędkość rozchodzenia się światła w próżni i wyraża się poniższą zależnością:

$v_p = \frac{1} {\sqrt{\varepsilon_0 \cdot \mu_0} \cdot \sqrt{\varepsilon_r \cdot \mu_r} } = \frac{c} {\sqrt{\varepsilon_r \cdot \mu_r}} \qquad$(1.10)

jeżeli uwzględnimy, że współczynnik załamania n wyraża się następująco

$n = \sqrt{\varepsilon_r \cdot \mu_r} \qquad$(1.11)

to wtedy po podstawieniu powyższego wzoru (1.11) do wzoru (1.10) otrzymamy, że prędkość propagacji wynosi:

$\nu_p = \frac{c}{n} \qquad$(1.12)

Bardzo ważnym parametrem falowym w dziedzinie przesyłania sygnałów radiowych jest impedancja falowa Z₀, którą wyraża się jako pierwiastek ze stosunku przenikalności magnetycznej i elektrycznej i ma ona wymiar ohma, co przedstawiono poniżej:

$Z_0 = \sqrt { \frac{\mu_r}{\varepsilon_r} \frac{\mu_0}{\varepsilon_0} } \qquad$(1.13)

Podstawiając podane powyżej wartości współczynników przenikalności elektrycznej i magnetycznej dla próżni otrzymujemy:

$Z_0 = \sqrt { \frac{\mu_0}{\varepsilon_0} } = 120 \pi \approx 377 \Omega \qquad$(1.14)

Dla prostoty dalszych rachunków wprowadza się bezwzględne współczynniki przenikalności dielektrycznej i magnetycznej.

$\varepsilon = \varepsilon_0 \varepsilon_r \quad$(1.15)

$\mu = \mu_0 \mu_r \quad$(1.16)

Dla bezstratnej linii przesyłowej impedancja falowa może być wyrażona następująco:

$Z_0 = \sqrt { \frac{L}{C} } \qquad$(1.17)

natomiast prędkość propagacji fali wynosi:

​$v_p = \sqrt { \frac{1}{\sqrt{L \cdot C}} } \qquad$​( 1.17)

gdzie

L – indukcyjność linii przesyłowej [H];

C – pojemność linii przesyłowej [F].

W przypadku kiedy mamy do czynienia z ośrodkiem liniowym, izotropowym, niedyspersyjnym i jednorodnym, przenikalność dielektryczna i magnetyczna są stałymi liczbami rzeczywistymi.

Przejdźmy teraz do równań Maxwella w notacji zespolonej, w przestrzeni w której nie ma ładunków.

$\vec{J} = \rho = 0 \qquad$(1.18)

$\nabla \cdot \vec{E} = 0 \qquad$(1.19)

$\nabla \times \vec{E} = - j\omega\mu\vec{H} \qquad$(1.20)

$\nabla \times \vec{H} = j\omega\varepsilon\vec{E} \qquad$(1.21)

$\nabla \cdot \vec{H} = 0 \qquad$(1.22)

W idealnym przewodniku pole elektryczne jest równe zero, ponadto jest prostopadłe do powierzchni przewodnika i indukuje na powierzchni ładunek elektryczny, natomiast pole magnetyczne jest styczne do granicy przewodnika i indukuje na jego powierzchni prąd przewodzenia o gęstości J. Co pokazano na poniższym rysunku.

Rysunek 2 Rozkład pól na granicy dwóch ośrodków

Jeżeli mamy do czynienia z nieograniczoną przestrzenią wypełnioną ośrodkiem liniowym, izotropowym, niedyspersyjnym, jednorodnym i bezstratnym oraz nie występują prądy i ładunki, wtedy po przekształceniach równań Maxwella otrzymuje się równania falowe w następującej postaci:

$\nabla^2\vec{E}-\mu\varepsilon \frac{\delta^2\vec{E}}{\delta t^2} = 0 \qquad$(1.23)

$\nabla^2\vec{H}-\mu\varepsilon \frac{\delta^2\vec{H}}{\delta t^2} = 0 \qquad$(1.24)

Równania falowe są równaniami różniczkowymi, cząstkowymi drugiego rzędu i opisują ruch falowy. Przekształcając równanie falowe dla dielektryka stratnego do postaci zespolonej uzyskujemy równania Helmholtza:

$\nabla^2\vec{E} + \omega^2\mu\varepsilon\vec{E} = 0 \qquad$(1.25)

$\nabla^2\vec{H} + \omega^2\mu\varepsilon\vec{H} = 0 \qquad$(1.26)

W równaniach można wprowadzić zmienną zespoloną $\gamma$ zwaną współczynnikiem propagacji, mającą fundamentalne znaczenie w opisie zjawiska propagacji fali.

$\gamma^2\ = j\omega\mu(\sigma+j\omega\varepsilon) \qquad$(1.27)

Uwzględniając powyższy zapis oraz równania (1.26) i (1.27) otrzymujemy:

$\nabla^2\vec{E} - \gamma^2\vec{E} = 0 \qquad$(1.28)

$\nabla^2\vec{H} - \gamma^2\vec{H} = 0 \qquad$(1.30)

Przy założeniu, że fala elektromagnetyczna rozchodzi się wzdłuż osi z, wektory pola elektrycznego E_T i magnetycznego H_T leżą w płaszczyźnie xy, są niezależne od x i y, wtedy równania Helmholtza przyjmują postać:

$\frac{\delta^2E_T} {\delta z^2} - \gamma^2E_T = 0 \qquad$(1.29)

$\frac{\delta^2H_T} {\delta z^2} - \gamma^2H_T = 0 \qquad$(1.30)

Rozwiązania równań (1.31) i (1.32) mają dwuczłonową postać:

$E_T(z) = E_{p}^+e^{-\gamma z} + E^-_We{\gamma z} \qquad$(1.31)

$H_T(z) = H_{p}^+e^{-\gamma z} + H^-_We{\gamma z} \qquad$(1.32)

Fala płaska jest falą typu TEM. To znaczy, że pole elektryczne i magnetyczne leży w płaszczyźnie prostopadłej do kierunku propagacji fali, czyli E_z = 0 i H_z = 0. Składowe pola E i H fali płaskiej w bezstratnym ośrodku przedstawiono na poniższym rysunku.

Rysunek 3 Rozkład pola elektromagnetycznego dla fali TEM w dielektryku bezstratnym (w próżni)

Zachowanie się fali elektromagnetycznej opisuje współczynnik propagacji  i zapisuję się go następująco:

$\gamma = \alpha + \beta\qquad$(1.33)

gdzie

$\alpha = Re \left\{ \sqrt{j\omega\mu(\sigma+j\omega\varepsilon)} \right\}$;

$\beta = Im \left\{ \sqrt{j\omega\mu(\sigma+j\omega\varepsilon)} \right\} = Im \left\{ j\omega \sqrt{\mu\varepsilon} \sqrt{1 + \frac{\sigma}{j\omega\varepsilon} } \right\}$;

$\alpha$ – stała tłumienia;

$\beta$ – stała fazową zależna od ośrodka.

Natomiast impedancja falowa Z_f – charakteryzuje ośrodek.

$Z_f = \frac{E_T}{H_T} = \sqrt{ \frac{j\omega\mu}{\sigma + j\omega\varepsilon} } \qquad$(1.34)

Pola E i H dla sygnału harmonicznego wyraża się następująco

$E_x(z) = E_0e^{-\gamma z} \qquad$(1.35)

$H_x(z) = H_0e^{-\gamma z} \qquad$(1.36)

i podstawiając do powyższych równań współczynnik propagacji zgodnie z zależnością (1.35) otrzymujemy:

$E_x(z) = E_0e^{-az} e^{-j\beta z} \qquad$(1.37)

$H_y(z) = H_0e^{-az} e^{-j(\beta z + \phi)} \qquad$(1.38)

Innymi wielkościami, które opisują własności fali są prędkość fazowa fali płaskiej – prędkość płaszczyzny stałej fazy, którą dla próżni oznaczamy literą c oraz prędkość grupowa fali płaskiej – prędkość poruszania się obwiedni. Co wyrażają następujące równania:

$v_f = \frac{\omega}{\beta} \qquad$(1.39)

$v_f = c = \frac{1} {\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}} \qquad$(1.40)

$v_g = \frac{\delta\omega} {\delta\beta} \qquad$(1.41)

Rozwiązania równań Maxwella maja różną postać, w zależności od warunków brzegowych. Zwykle rozwiązań jest nieskończenie wiele, istnieje nieskończenie wiele modów o rozmaitej konfiguracji pola E i H.

Oprócz wymienionej wyżej fali TEM istnieje fala typu TM (zwana też E): dla której E_z = 0, H_z = 0, – pole magnetyczne leży w płaszczyźnie prostopadłej do kierunku propagacji fali; fala typu TE (zwana też H): dla której E_z ≠ 0, H_z ≠ 0 – pole elektryczne leży w płaszczyźnie prostopadłej do kierunku propagacji fali; oraz fala typu EH: dla której E_z ≠ 0, H_z ≠ 0.

W idealnym przypadku fale propagujące nie mogą oddziaływać między sobą, powinny rozchodzić się w wolnej przestrzeni bez żadnych ograniczeń. Przez pojęcie wolnej przestrzeni rozumiemy ośrodek jednorodny. Niestety w rzeczywistości tak nie jest. Istnieje wiele czynników, które mają wpływ na propagację sygnałów. Podczas transmisji mamy do czynienia z odbiciem, załamaniem (refrakcja), ugięciem (dyfrakcja) i nakładaniem się fal (interferencja). Zanim przejdziemy do dalszej części wykładu, warto przypomnieć na czym polegają wymienione powyżej zjawiska.

Rysunek 4 Odbicie fali na granicy dwóch ośrodków.

Rysunek 5 Załamanie fali na granicy dwóch ośrodków

Proces transmisji sygnału optycznego opisują równania Maxwella. Rozwiązania uzyskuje się numerycznie.

Prawo załamania opisuje zachowanie się promieniowania optycznego przy przechodzeniu przez granicę ośrodków o różnych współczynnikach załamania (n₁ i n₂). Poniższy wzór przedstawia zależność współczynników załamania od promienia padającego ????₁ i odbitego ????₂.

n₁sin????₁ = n₂sin????₂$\qquad$(2.1)

gdzie

n₁ – współczynnik załamania 1 ośrodka

n₂ – współczynnik załamania 2 ośrodka

????₁ – kąt padania wiązki

????₂ – kąt pod którym wiązka jest odbita

Ponadto między współczynnikami załamania zachodzi relacja, że n₁ > n₂.

Rysunek 6 Zachowanie promienia świetlnego na granicy dwóch ośrodków

W zależności od kąta padania ????₁ fala świetlna może zostać załamana (tak jak pokazuje pierwszy przypadek), lub część wiązki może zostać załamana, a pozostała część może zostać odbita lub wiązka może zostać całkowicie odbita i propagować się wzdłuż falowodu. Tylko dla promieni padających pod kątem większym niż kąt graniczny ????_c (trzecia sytuacja na Rys. 6) promieniowanie zostaje całkowicie odbite, co zapewnia małostratną propagację wzdłuż osi rdzenia światłowodu. Po przekształceniu wzoru (2.1) otrzymujemy następującą zależność określającą wartość kąta granicznego.

$\theta_c = arcsin\frac{n_2}{n_1} \qquad$(2.2)

I tylko dla takiego przypadku dochodzi do transmisji sygnału we włóknach światłowodowych.

Światłowody ze względu na ilość prowadzonych modów dzielimy na jednomodowe i wielomodowe. Na poniższym rysunku pokazano strukturę i przekrój poprzeczny typowego światłowodu wielodomowego (o profilu skokowym), wielomodowego (gradientowego) i jednomodowego oraz drogę promieni wewnątrz rdzenia.

Rysunek 7 Światłowód a) wielomodowy, b) wielomodowy – gradientowy i c) jednomodowy – przekrój poprzeczny i droga rozchodzenia się światła

Aby wprowadzić wiązkę świetlną do rdzenia należy światłowód oświetlić od strony czołowej. Promienie padające pod zbyt dużym kątem zostaną wprowadzone do płaszcza i tylko część promieniowania zostanie wprowadzona do rdzenia. Wartość tego kąta określa apertura numeryczna.

Rdzeń (charakteryzuje się wyższym współczynnikiem załamania niż płaszcz) i płaszcz wykonane są z kwarcu. Wartości współczynników załamania standardowo wynoszą n = 1,44,...1,48. Różnica pomiędzy ich wartościami jest niewielka i wynosi około 1%, a uzyskuje się ją przez domieszkowanie. Wśród najczęściej stosowanych domieszek powodujących wzrost współczynnika załamania znajdują się: GeO₂, fosfor, glin, chlor, natomiast domieszkowanie borem czy fluorem powoduje zmniejszenie wartości współczynnika załamania. Domieszkowanie kwarcu GeO₂ (2 mol%) powoduje wzrost współczynnika załamania do wartości 1,461, P₂O₅ (2 mol%) 1,460, natomiast dodanie B₂O₃ (8 mol%) powoduje zmniejszenie wartości współczynnika załamania do wartości 1,458.

Właściwości transmisyjne światłowodu określa jego profil współczynnika załamania. Najczęściej spotykanymi profilami są: profil skokowy i profil gradientowy dla światłowodów wielomodowych (zastosowanie światłowodu o takim profilu powoduje znaczną poprawę transmisji sygnałów), rozkład współczynników załamania przedstawiono na Rys. 7.

Tak jak już wspomniano wcześniej, wyróżniamy dwa typy światłowodów o profilu skokowym: światłowody jednomodowe i wielomodowe. Standardowe wymiary rdzenia światłowodu jednomodowego wynoszą 8,6 – 9,5 m, natomiast wielomodowego 50 m lub 62,5 m. Średnica płaszcza zarówna światłowodów wielomodowych, jaki jednomodowych wynosi 125 m.

Rysunek 8 Światłowód

W światłowodzie o profilu skokowym wartość współczynnika załamania rdzenia n₁ maleje skokowo do wartości n₂ w płaszczu. Promieniowanie propagowane jest wzdłuż światłowodu w formie modów. Każdy mod charakteryzuje się innym przestrzennym rozkładem pola EM, innymi wartościami: stałej propagacji, prędkości grupowej i fazowej oraz różną polaryzacją i tłumieniem.

Jeżeli przyjmiemy, że fala elektromagnetyczna o pulsacji  jest monochromatyczna i rozchodzi się w ośrodku bezstratnym (ogólniej: małostratnym, a takim jest światłowód) w kierunku osi z to określony mod w światłowodzie, opisuje się zależnością:

$E(t,z) = A_E~exp[j(\omega t-\beta z)] \qquad$ (2.3)

gdzie

$A_E$ – amplituda

$\beta$ – stała fazowa [rad/metr]

$\omega$ – pulsacja fali [1/s]

z – współrzędna położenia [m]

t – czas [s]

Ponadto dla płaszczyzny stałej fazy spełniony jest warunek:

$\omega t - \beta z = 2 \pi f t - \frac{2\pi}{\lambda_{mod}} z = const. \qquad$(2.4)

gdzie

$\lambda_{mod}$ – długość fali danego modu w określonym ośrodku [m]

f – częstotliwość fali [Hz=1/s]

a prędkość poruszania się płaszczyzny stałej fazy nazywana prędkością fazową zdefiniowana jest następująco:

$v_f = \frac{\omega}{\beta}= f \lambda_{mod} \qquad$(2.5)

Fala propagująca się w ośrodku (na przykład w szkle) ma różne częstotliwości, a co za tym idzie różne prędkości fazowe. Zjawisko to nosi nazwę dyspersji i zostanie omówione w dalszej części wykładu. Warto wspomnieć, że prędkość fazowa może być większa niż prędkość światła (np. dla promieniowania X-ray), natomiast dla materiałów o ujemnym współczynniku załamania (np. metamateriały) jest wartością ujemną.

W wolnej przestrzeni wypełnionej dielektrykiem fala rozchodzi się wolniej niż wynosi prędkość światła w próżni, stopień spowolnienia fali pozwala określić współczynnik załamania ośrodka:

$n = \frac{c}{v_f} \qquad$(2.6)

Z powyższego wynika, że współczynnik załamania światła w próżni wynosi jeden.

Wartość prędkości fazowej zależy od ośrodka, modu i częstotliwości. Nie określa ona szybkości rozprzestrzenia się fali, gdyż prędkość propagacji informacji/energii reprezentuje prędkość grupowa. Obliczamy ją jako prędkość transmisji obwiedni modulacji amplitudy sygnału optycznego. Rozważymy przypadek dwóch fal sinusoidalnych, których amplitudy są takie same a częstotliwości i długości zbliżone.

$f_1(x) = A~sin[(\omega + \delta\omega)t -(\beta + \delta\beta)x] \qquad$(2.7)

$f_2(x) = A~sin[(\omega + \delta\omega)t -(\beta - \delta\beta)x] \qquad$(2.8)

Wyznaczamy teraz ich sumę

$f_1(x) + f_2(x)= A \{ sin[(\omega + \delta\omega)t -(\beta + \delta\beta)x] + sin[(\omega + \delta\omega)t -(\beta - \delta\beta)x] \} \qquad$(2.9)

po przekształceniu otrzymujemy

$f_1(x) + f_2(x) = 2A~cos[(\delta\omega)t - (\delta\beta)]cos(\omega t - \beta x) \qquad$(2.10)

Funkcja sumaryczna składa się z dwóch członów. Funkcji $2cos(\omega t - \beta x)$i funkcji modulującej $A~cos[(\delta\omega) t - (\delta\beta) x]$.

$(\delta\omega) t - (\delta\beta) x = const. \qquad$(2.11)

Różniczkując po czasie otrzymujemy:

$\frac{\delta(\delta\omega)t}{\delta t} - \frac{\delta(\delta\beta)x}{\delta t} = 0 \qquad$(2.12)

$\delta\omega = \delta\beta \frac{\delta x}{\delta t}\qquad$(2.13)

$\frac{\delta\omega}{\delta \beta} = \frac{\delta x}{\delta t} = v_g \qquad$(2.14)

Płaszczyzna stałej fazy obwiedni modulacji porusza się z prędkością grupową v_g :

$v_g = \frac{1}{\dot \beta} = \frac{\delta\omega}{\delta\beta} \qquad$(2.15)

Zależność () określa prędkość fazową i grupową, różną dla różnych modów i prowadnic.

Rysunek 9 Metoda określenia prędkości fazowej i grupowej z charakterystyki ().

W światłowodzie propagują się cztery rodzaje modów TM, TE, HE i EH (hybrydowe). Zależność opisującą natężenie pola elektrycznego przedstawia następujący wzór:

$E(r, \phi, z, t) = f(r) cos (\omega t - \beta z - \theta) cos (q \phi) \qquad$(2.16)

gdzie wartości f(r), $\beta$ i q znajduje się dla poszczególnych modów rozwiązując równanie falowe.

Bardzo użytecznym jest wprowadzenie parametru V, zwanego częstotliwością znormalizowaną, a określonego przez następującą zależność:

$V = \frac{2\pi\alpha}{\lambda_0} \sqrt{n^2_1 - n^2_2} \cong \frac{2\pi\alpha}{\lambda_0} n_1 \sqrt{2\Delta} \qquad$(2.17)

gdzie

a – promień rdzenia światłowodu [m];

$\Delta = \frac{n_1-n_2}{n_1}$. W stosowanych włóknach telekomunikacyjnych wynosi od 0,001 do 0,02.

Na poniższym wykresie pokazano, jak ze wzrostem częstotliwości znormalizowanej wzbudzają się kolejne mody w światłowodzie.

Rysunek 10 Charakterystyka znormalizowanej stałej fazowej w funkcji częstotliwości znormalizowanej dla modów niższego rzędu.

Dla V >> 1 liczba modów jest duża, dla profilu skokowego w przybliżeniu można zapisać to następującą zależnością:

$M \cong \frac{V^2}{2} \qquad$(2.18)

Dla V < 2,405 w światłowodzie wzbudza się tylko jeden mod podstawowy HE₁₁ o częstotliwości granicznej równej 0.

Rysunek 11 Liczba modów w zależności od parametru V.

Reasumując powyższe rozważania widać, że liczba modów światłowodowych zależy od następujących parametrów:

• wartości promienia rdzenia;
• wartości współczynników załamania płaszcza i rdzenia;
• długości propagowanej fali świetlnej.

Warto pamiętać, że w zakupionym włóknie jednomodowym będzie się propagował jeden mod, pod warunkiem wprowadzenia światła o odpowiedniej długości fali.

Każdy z modów ma inną prędkość fazową i grupową, co prowadzi do rozmywania się impulsów. W układach transmisyjnych odpowiedzią na ten problem jest stosowanie światłowodów wielomodowych o profilu gradientowym czy najlepiej światłowodów jednomodowych (SMF – Single-Mode Fiber). Zmniejszenie średnicy rdzenia prowadzi prosto do redukcji liczby modów. Obecnie stosuje się w telekomunikacji włókna jednomodowe o średnicy rdzenia równej 9 $\mu m$. Żeby zmniejszyć liczbę modów w światłowodach wielomodowych (MMF – Multi-Mode Fiber) przy zachowaniu średnicy rdzenia opracowano światłowód gradientowy (Rysunek 7), w którym współczynnik załamania zmienia się stopniowo od wartość n₁ maksymalnej na osi do wartości n₂ na granicy płaszcza. Natomiast współczynnik $\Delta$ jest zwykle mały i wynosi $\Delta$ << 1. Najlepsze rezultaty uzyskuje się w przypadku, gdy profil zmian współczynnika załamania jest w przybliżeniu paraboliczny. W tym przypadku liczba modów jest dwukrotnie mniejsza, niż dla omówionego wcześniej światłowodu wielomodowego o profilu skokowym i wynosi:

$M \cong \frac{V^2}{4} \qquad$(2.19)

Poniżej zamieszczono zadania do samodzielnego rozwiązania

Fala rozchodząc się w światłowodzie traci energię głównie wskutek absorbcji i rozpraszania. Występują również straty wynikające ze struktury światłowodów (np. niekontrolowane zmiany współczynnika załamania, będące wynikiem niedoskonałej technologii wyciągania włókna). Tłumienie powoduje zmniejszenie mocy sygnału, natomiast nie wpływa na kształt impulsów. Tłumienie światłowodów w głównej mierze zależy od długości fali świetlnej, jak i od rodzaju oraz czystości szkła. Tłumienność światłowodów wyraża się w dB/km, a współczynnik tłumienia określa się wzorem:

$\alpha_{dB/km} = \frac{A_{dB}}{L} \qquad$(3.1)

gdzie

$A_{dB}$ – tłumienność światłowodu

L – długość światłowodu

$A_{dB} = 10 log_{10} \frac{P(0)}{P(L)} \qquad$(3.2)

gdzie

P(0) – moc na wejściu światłowodu

P(L) – moc na wyjściu światłowodu

Z wykresu przedstawionego na poniższym rysunku widać, że w paśmie 900–1700 nm tłumienie osiąga wartości minimalne. W tym też obszarze wyróżnia się trzy użyteczne pasma światłowodu:

• okno 1, w bliskiej podczerwieni, wokół 850 nm;
• okno 2, bardzo popularne, wokół 1300 nm; i
• okno 3, wokół 1550 nm, o najmniejszym tłumieniu.

Rysunek 12 Zależność tłumienia od długości fali dla światłowodu kwarcowego

Obecnie długość fali 850 nm wykorzystywana jest jedynie w łączach o bardzo krótkim zasięgu, sieci te budowane są w oparciu o światłowody wielodomowe. Niewątpliwie zaletą tych sieci są tanie nadajniki i odbiorniki. Łącza pracujące w drugim oknie charakteryzują się zasięgiem transmisji od około 75 do 100 km, wykorzystywane są tu zarówno włókna jednomodowe, jak i wielomodowe. A wszystko to dzięki niewielkiej tłumienności (0,4 dB/km) i prawie zerowej dyspersji. Na tej długości fali pracują systemy telekomunikacyjne i zaawansowane sieci komputerowe. Natomiast w trzecim oknie, łącza buduje się w oparciu o włókna jednomodowe i znajdują one zastosowanie w telekomunikacji dalekiego zasięgu. Niska tłumienność poniżej 0,2 dB/km i niewielka wartość współczynnika dyspersji (około 4 ps/km/nm np. Corning Leaf) pozwala na uzyskanie coraz większych odległości pomiędzy stacjami regeneracji.

Istnieje wiele przyczyn pochłaniania promieniowania w światłowodach:

• w zakresie podczerwieni pochłanianie powodują drgające molekuły;
• w zakresie krótkofalowym pochłanianie związane jest z pobudzaniem molekuł i atomów. Dla fal krótkich mamy do czynienia z rozproszeniem Rayleigh’a, które wywołane jest lokalnymi niejednorodnościami (o rozmiarach mniejszych od długości fali), które rozpraszają część mocy, powodując odbicia i rozproszenie promieniowania poza światłowód. Moc rozproszona rośnie proporcjonalnie do częstotliwości $f \approx \frac{1}{\lambda^{4"}}$, znaczenie rozproszenia Rayleigh’a jest dominującym w paśmie ultrafioletu, czyli jego wpływ maleje wraz ze wzrostem długości fali. Innym typem rozpraszania jest rozpraszanie Mie, które powstaje na skutek niedoskonałej struktury światłowodu (np. zmiana współczynnika załamania wzdłuż osi światłowodu, zmiany średnicy rdzenia). Ponadto przy dużych gęstościach energii należy uwzględnić straty wprowadzane przez wymuszone rozproszenie Ramana czy Brillouina (powodujące powstawanie zjawisk nieliniowych).
• obecność zanieczyszczeń (w szczególności jonów metali i OH^–) powoduje zwiększenie stałej tłumienia. Należy tu zwrócić uwagę na pik wodny (ang. water peak) występujący pomiędzy drugim a trzecim oknem telekomunikacyjnym. Linią przerywaną zaznaczono krzywą dla obecnie produkowanych światłowodów. Dzięki dużemu zmniejszeniu wpływu jonów OH, uzyskano lepsze warunki propagacji w trzecim oknie telekomunikacyjnym.

Obecnie w telekomunikacji dalekosiężnej istnieją dwa zalecane zakresy długości fal okno 2 i okno 3. Dla długości fali 1550 nm światłowody kwarcowe mają najmniejszą tłumienność, która wynosi poniżej 0,2 dB/km. Do kompensacji tłumienia używa się wzmacniaczy światłowodowych EDFA (ang. Erbium–Doped Fibre Amplifier) pracujących w trzecim oknie telekomunikacyjnym lub wzmacniaczy półprzewodnikowych.

W światłowodach wielomodowych efektem dyspersji modowej jest to, że mody lub sygnały o różnych częstotliwościach propagują się światłowodem z różnymi częstotliwościami. Gdy sygnał jest kompozycją modów/częstotliwości, to dyspersja powoduje powstanie zniekształceń. W miarę transmisji – poza oczekiwanymi efektami tłumienia omówionymi wcześniej – impulsy poszerzają się i „rozmywają”. Impulsy stają się nierozróżnialne, ponieważ łączą się w miarę poszerzania. Ponadto w miejscu gdzie było „0” pojawia się sygnał, który może być odczytany jako „1”. Sytuację tę przedstawiono na poniższych rysunkach.

Rysunek 13 Poszerzanie impulsu jako efekt dyspersji.

W światłowodzie wielomodowym pobudzane jest wiele modów różnych rzędów, każdy wędruje samodzielnie z różną prędkością i dociera do fotodetektora w innym czasie. W tym typie włókien mechanizm dyspersji modowej jest dominujący, gdyż pozostałe rodzaje dyspersji mają dużo mniejszy wpływ.

Rysunek 14 Skutek dyspersji modalnej

Impuls światła wzbudzony w światłowodzie ma kształt krzywej Gaussa. W miarę propagacji na długości L impuls rozszczepia się zachowując „gaussowski” kształt, a jego szerokość może być obliczona z zależności:

$\sigma \tau \approx \frac{L}{c_1}{\Delta} \qquad$(4.1)

dla światłowodów wielomodowych o profilu skokowym, natomiast dla światłowodów o profilu gradientowym zależność ta wygląda następująco:

$\sigma \tau \approx \frac{L}{c_1}{\Delta}^2 \qquad$(4.2)

Jak widać z równań 4.1 i 4.2 ilość modów w przypadku światłowodu gradientowego będzie dużo mniejsza. Parametr $\Delta$ wynosi od 0,001 do 0,02, zatem szerokość impulsu dla światłowodu gradientowego będzie od 100 do 2000 razy mniejsza. Zmianie ulega nie tylko szerokość impulsu czy omówiona wcześniej liczba modów, ale również zmniejsza się różnica pomiędzy najmniejszą a największą prędkością grupową i wynosi ona odpowiednio dla światłowodu o profilu skokowym od c₁ do c₁($1 - \Delta$), zaś o profilu gradientowym od c₁ do c₁($1 - \frac{\Delta^2}{2}$).

Następnym typem dyspersji jest dyspersja chromatyczna. Zjawisko to polega na zależności prędkości grupowej od częstotliwości (czyli czas propagacji zależy od długości fali). Współczynnik dyspersji chromatycznej D_c związany jest z czasem propagacji.

$D_c = \frac{d\tau(\lambda)}{d\lambda} \qquad$(4.3)

Współczynnik dyspersji, mówi o tym, o ile pikosekund poszerzy się impuls o szerokości widmowej 1 nanometra po transmisji na odległość 1 kilometra.

Dwa identyczne impulsy o dwóch różnych długościach fali różniących się o $\delta\lambda$ po propagacji na odległość L są względem siebie opóźnione o $\delta\tau$.

$\delta\tau = | D_c | L\delta\lambda \qquad$(4.4)

W miarę propagacji impuls światła o szerokości $\sigma_\lambda$ o poszerza się do szerokości $\sigma_\tau$:

$\sigma_\tau = | D_c | \sigma_\lambda L \qquad$(4.5)

Efekt dyspersji będzie objawiał się rozmywaniem i zachodzeniem na siebie impulsów.

Dyspersja chromatyczna jest zatem sumą dyspersji materiałowej i dyspersji falowodowej.

Szkło z którego wykonywane są światłowody jest materiałem dyspersyjnym czyli jego własności optyczne zależą od długości fali. Współczynnik załamania płaszcza, jak i rdzenia zależy od pulsacji . Zatem wartość prędkości grupowej i wartość prędkości fazowej fali płaskiej rozchodzącej się w nieograniczonym ośrodku, w przypadkach gdy wypełniony jest ośrodkiem dyspersyjnym, jest różna. Koniecznym jest w takim przypadku zdefiniowanie obok współczynnika załamania n także grupowego współczynnika załamania N. Oba współczynniki są funkcją częstotliwości. Związek pomiędzy nimi pokazuje wzór:

$N = n + \omega\frac{\delta n}{\delta \omega} \qquad$(4.6)

Na poniższym wykresie przedstawiono zależność współczynników załamania n i N od długości fali dla czystego szkła. Jak widać dyspersja materiałowa to zależność grupowych współczynników załamania materiałów (z których wykonano światłowód) od częstotliwości.

Rysunek 15 Zależność współczynników załamania n i N od długości fali dla SiO₂.

Współczynnik dyspersji materiałowej $D_\lambda$ liczony jest z opóźnienia $d\tau(\omega)$ fali płaskiej dla impulsu o częstotliwości $\omega_0$ i $\omega_0 + d\omega$,

$d\tau(\omega) = L\left[ \frac{1}{v_g(\omega_o)} - \frac{1}{v_g(\omega_o + d\omega)} \right] \qquad$(4.7)

i po przekształceniach otrzymuje się zależność opisującą współczynnik dyspersji materiałowej:

$D_\lambda = -\frac{\lambda}{c} \frac{d^2n}{d\lambda^2} \qquad$(4.8)

Rysunek 16 Charakterystyka współczynnika dyspersji materiałowej w funkcji długości fali dla kwarcu.

Dyspersja falowodowa związana jest z zależnością efektywnego współczynnika załamania od częstotliwości, uwzględniającego podział mocy danego modu między rdzeń i płaszcz. Dyspersja falowodowa D_W liczona jest zwykle dla modu podstawowego, którego prędkość grupowa wynosi v_g(λ) i przedstawia się następująco:

$D_W = \frac{d}{d\lambda} \left( \frac{1}{v_g} \right) = \frac{V^2n}{2\pi c} \frac{d^2\beta}{dV^2} \qquad$(4.9)

gdzie

V – częstotliwość znormalizowana wprowadzona wcześniej i zdefiniowana wzorem (2.14).

Dyspersja falowodowa ma przeciwny znak i częściowo kompensuje dyspersję materiałową, co pokazano na poniższym rysunku. W światłowodach jednomodowych dominuje dyspersja chromatyczna.

W rezultacie w wyniku działania dyspersji chromatycznej impuls światła o szerokości spektralnej _ poszerza się – w miarę propagacji – do szerokości _, co można zapisać następującą zależnością:

$\sigma_\tau = |D_C|\sigma_\lambda L = |D_\lambda + D_W|\sigma_\lambda L \qquad$(4.10)

Rysunek 17 Całkowita dyspersja chromatyczna w światłowodach

Poza omówionymi dwoma typami dyspersji, dyspersją modową (występującą jedynie w światłowodach wielomodowych) i dyspersją chromatyczną, istnieje jeszcze trzeci typ dyspersji – dyspersja polaryzacyjna – PMD (ang. Polarization Mode Dispersion). W światłowodzie jednomodowym rozchodzą się dwa mody o odmiennych polaryzacjach, zmiany geometrii światłowodu powodują, że rozchodzą się z różnymi prędkościami i po przejściu pewnej odległości obserwuje się różnice czasowe pomiędzy modami, tak jak to zostało pokazane na poniższym rysunku. W efekcie kształt impulsu światła po przejściu przez światłowód zostaje zmieniony (impuls zostaje rozmyty) i do czynienia mamy z dyspersją polaryzacyjną. Zjawisko to występuje jedynie w łączach o dużym zasięgu transmisji.

Rysunek 18 Dyspersja polaryzacyjna.

W światłowodzie jednomodowym propagują się dwa mody ortogonalne $HE_{11}^Y$i $HE_{11}^X$. Jeżeli materiał byłby całkowicie izotropowy, wtedy obydwie stałe propagacji byłyby sobie równe $\beta^X_0 = \beta^Y_0$ i czas przesunięcia impulsu wynosiłby 0. Jednak w rzeczywistych włóknach mamy do czynienia z anizotropią materiału, więc stałe propagacji są różne $\beta^X_0 \neq \beta^Y_0$, a czas przesunięcia pomiędzy impulsami jest większy od 0.

$\sigma_\tau = D_p\sqrt L \qquad$(4.11)

gdzie $D_p = 0.1 - 1 \left[ \frac{ ps}{\sqrt km } \right]$

W przypadku dyspersji chromatycznej poszerzenie impulsu było proporcjonalne do długości światłowodu, tu mamy tylko proporcjonalność do pierwiastka długości. Generalnie przyczyną powstawania polaryzacyjnej jest asymetria włókna światłowodowego, wynikająca z błędów w produkcji lub pochodząca z naprężenia mechanicznego (np. czynniki atmosferyczne, źródła wibracji). Zmniejszyć wpływ dyspersji polaryzacyjnej można poprzez skrócenie dystansu i wstawienie regeneratora elektrycznego lub optycznego (światłowody podtrzymujące polaryzację). Dla linii dalekiego zasięgu wzrost PMD (opóźnienie grupowe na jednostkę długości) wraz z długością włókna jest dość wolny. Poza tym PMD ma statystyczny charakter (tzn. raz może się sumować, a raz niwelować). Dlatego też na wyjściu światłowodu PMD zmienia się losowo.

Światłowody z przesuniętą dyspersją (ang. dispersion shifted fibers) mają mniejsze średnice rdzenia niż standardowe jednomodowe, np. 5 μm. Odpowiedni dobór współczynników załamania rdzenia i wielowarstwowego płaszcza pozwala uzyskać spłaszczenie charakterystyki dyspersji (ang. dispersion flattened fiber), aby przechodziła przez zero w obu oknach transmisji.

W poniższej tabeli podane zostały podstawowe parametry stosowanych w telekomunikacji włókien światłowodowych.

Tabela 1 Podstawowe parametry włókien stosowanych w telekomunikacji w łączach lądowych

Odrębną grupą włókien są światłowody wykorzystywane w łączach transoceanicznych, przykładowe modele i ich parametry przedstawiono w poniższej tabeli.

Tabela 2 Podstawowe parametry włókien stosowanych w telekomunikacji w łączach oceanicznych dla =1550 nm

Często w obliczeniach potrzebne są nam wartości współczynnika dyspersji dla innej długości fali niż podana przez producenta, wtedy można skorzystać z wykresów zamieszczonych w kartach katalogowych lub obliczyć z poniżej podanej zależności, wystarczy że znamy dwie dowolne wartości. Przykładowo dla włókna Leaf®Optical Fiber podano wartość współczynników załamania dla długości fali 1550 nm i 1625 nm, co umożliwia obliczenie wartości współczynnika dyspersji dla dowolnej długości fali z zakresu 1550-1625 nm.

$D(\lambda) = \left( \frac{D(1625~nm) - D(1550~nm)}{75} * (\lambda - 1625) \right) + D(1625~nm) \qquad$(5.1)

Poza kontrolowaniem dyspersji można jeszcze ją kompensować. Do najpopularniejszych metod należą:

• światłowód o ujemnym współczynniku dyspersji;
• światłowodowa siatka Bragga; kompensator na bazie etalonu Fabry-Perot.

Rysunek 20 Zasada kompensacji dyspersji w łączu światłowodowym przy użyciu światłowodu kompensującego

Najczęściej stosowaną spośród wyżej wymienionych metod jest zastosowanie światłowodu kompensującego DCF (ang. Dispersion Compensation Fiber), który można kupić w odcinkach o dowolnej długości lub w gotowych modułach – DCM (ang. Dispersion Compensation Modules), ale tu nie ma dowolności. Zaletą stosowania tej metody jest to, że światłowód zawsze kompensuje sygnał dla wielu długości fali świetlnej. Jeżeli początkowo łącze będzie obsługiwało np. cztery kanały, a po jakimś czasie dołączymy kolejne to nie będzie problemu z kompensacją. Światłowody kompensujące umieszcza się w łączach lądowych zwykle w „puszkach” i nie są one rozwijane. Rozwiązanie to umożliwia łatwą rozbudowę i modernizację łącza. Można je kupić na metry lub w postaci gotowego modułu. Moduły są wykonywane dla standardowej długości włókna SMF i głównym ich parametrem jest długość odcinka kompensowanego, dyspersja oraz tłumienność. Ponadto na rynku istnieje wiele światłowodów kompensujących dyspersję, jednym z bardziej popularnych jest włókno DCF38 dedykowane do kompensacji dyspersji pochodzącej z włókna Corning SMF-28+. Podstawowe parametry włókien i modułów kompensujących dyspersję i przedstawiono w poniższych tabelach.

Tabela 3 Podstawowe parametry włókien kompensujących dyspersję

Tabela 4 Podstawowe parametry modułów kompensujących dyspersję (wartości dla pasma 1525-1565 nm)

Kolejną zaletą stosowania światłowodów DCF czy modułów DCM jest prostota ich podłączenia, są to elementy transmisyjne wyposażone w złączki LC/PC, SC/PC lub FC/PC. Jedyną wadą jest duże tłumienie, oczywiście można ograniczyć długość medium kompensującego poprzez zastosowanie włókien o niskim współczynniku dyspersji, wielu producentów ma w swojej ofercie światłowody, których współczynnik dyspersji mieści się w zakresie 2,5 – 6 ps/km/nm. Elementy nadają się zarówno do łącz DWDM, jak i CATV.

Rysunek 21 Charakterystyka współczynnika dyspersji chromatycznej w funkcji długości fali dla światłowodu DCF

Chcąc wyznaczyć długość światłowodu potrzebnego do kompensacji dyspersji w torze światłowodowym należy skorzystać z następującej zależności:

$\Sigma_i L_i \cdot D_i = 0 \qquad$(5.2)

gdzie

L_i – długość światłowodu

D_i – współczynnik dyspersji

W pierwszym przypadku wyznaczmy zależność dla toru składającego się ze światłowodu SMF i światłowodu kompensującego DCF.

$L_{DCF} = - \frac{L_{SMF} \cdot D_{SMF}}{D_{DCF}} \qquad$(5.3)

gdzie:

L_DCF – długość światłowodu kompensującego,

D_DCF – współczynnik dyspersji światłowodu kompensującego,

L_SMF – długość światłowodu SMF – współczynnik dyspersji światłowodu SMF.

Drugim rozwiązaniem są światłowodowe siatki Bragga. Są to kawałki jednomodowego światłowodu o długości od kilku milimetrów do centymetra, które zostały odpowiednio oświetlone promieniowaniem UV. W skutek czego w rdzeniu światłowodu powstało zaburzenie współczynnika załamania. Jeżeli do siatki dociera impuls o szerokim widmie, to siatka odbija tylko częstotliwość pożądaną a pozostałe przepuszcza. Dzięki czemu do układu trafia już wąski zakres częstotliwości fali. W przeciwieństwie do wcześniej omawianych światłowodów dyspersyjnych siatki Bragga są elementami odbiciowymi i potrzebnym jest zamontowanie w torze dodatkowego elementu zapobiegającemu cofaniu się wiązki do toru. W tym celu stosuje się cyrkulatory, urządzenia czystooptyczne posiadające trzy lub cztery porty. Służą one do przełączania sygnału między portami. W naszym przypadku należy zastosować cyrkulator trzyportowy, gdzie transmisja odbywa się z portu pierwszego do drugiego i z portu drugiego do portu trzeciego. (Warto wspomnieć, że tego typu rozwiązania stosuje się w łączach dwukierunkowych). Tłumienie takiego cyrkulatora to nie więcej niż 1 dB.

Rysunek 22 Zasada kompensacji dyspersji w łączu światłowodowym przy użyciu światłowodu kompensującego

Wadą tych systemów jest to, że jedna siatka kompensuje tylko sygnał z jednego lasera. W przypadku łącz wielokanałowych należy użyć wielu siatek, a przy dołączeniu kolejnych laserów należy również do toru dołączyć kolejne siatki. Poza tym jeżeli długość łącza ulegnie zmianie to nie ma możliwości zmienić ustawień siatki tylko trzeba zastosować nową. Zaletą jest na pewno niewielkie tłumienie gdyż razem z cyrkulatorem nie przekracza 1,5 dB.

Jeżeli kompensację wykonujemy przy użyciu siatki Bragga należy wyznaczyć jej parametr (Total Compensating Dispersion) wyrażony w [ps/nm], po przekształceniu wzoru (4.13) otrzymujemy:

$D_{Bragg} = - L_{SMF} \cdot D_{SMF} \qquad$(5.4)