Podręcznik

Widmo promieniowania EM
Fale elektromagnetyczne EM wykorzystywane są intensywnie do rozmaitych zastosowań, opisanych niżej. Na rys.1.1. pokazano szeroki wycinek widma fal EM ze wskazaniem, które zakresy najczęściej wykorzystywana są do wybranych zastosowań. Aby dany zakres mógł być wykorzystany musi zostać „opanowany” w sensie technologicznym. Rozumiemy pod tym opanowanie techniki generacji, wzmacniania i modulacji sygnałów w tym pasmie.
Pasmo fal elektromagnetycznych jest „atakowane” z dwóch stron, od strony fal radiowych i od strony pasm optycznych. Kolejne podpasma zostają „opanowane” technologicznie.
•    Rozwój techniki radiowej to opanowanie kolejno fal długich, średnich, krótkich i UKF.
•    Rozwój techniki radarowej to opanowanie kolejnych zakresów mikrofal, od fal decymetrowych, poprzez fale centymetrowe do milimetrowych i submilimetrowych.

 
Rys.1.1. Zakresy widma promieniowania elektromagnetycznego

W zakresie promieniowania optycznego, w zakresie podczerwieni odkryto nadzwyczajne właściwości światłowodu kwarcowego, bardzo małe tłumienie przy transmisji sygnałów. Pasmo transmisji światłowodem jest stosunkowo wąskie, obejmujące długości fali 1,2 ...1,6 $\mu$m, ale jego użyteczność jest ogromna. Opanowanie technik światłowodowych wymagało rozwoju technik generacji, modulacji, wzmacniania i detekcji promieniowania optycznego.
Między pasmem dalekiej podczerwieni a falami submilimetrowymi (1THz...100THz) istnieje zakres słabo opanowany, „atakowany z obu stron”.
Granice pasma zwanego mikrofalowym nie są dokładnie precyzowane i przyjmowane są umownie. Zwykle przyjmujemy, że mikrofale, to zakres częstotliwości fal elektromagnetycznych, rozciągający się od 300 MHz do około 1000 GHz. Poniżej wymieniono cztery cechy charakterystyczne zakresu mikrofal.
•    Rozmiary mikrofalowych elementów i obwodów są porównywalne do długości fal.
•    Czas propagacji porównywalny lub wielokrotnie dłuższy od okresu drgań.
•    W zakresie częstotliwości mikrofalowych mamy do czynienia z efektem naskórkowości. 
•    Podstawowym pomiarem zakresu mikrofal jest pomiar mocy.

Rys.1.2. Podstawowe podpasma częstotliwości zakresu mikrofal

Na rys.1.2 pokazano podział podstawowego zakresu częstotliwości pasma mikrofalowego na podpasma, które mają swoje tradycyjne, literowe oznaczenia. Pasmo fal decymetrowych to oznaczane jest przez L, pasmo 3 cm oznaczane jest przez X, itd.
     Podstawowe zastosowania mikrofal
Fale elektromagnetyczne są intensywnie wykorzystywane do rozmaitych celów. Na czele listy zastosowań jest oczywiście telekomunikacja, z telekomunikacją satelitarną, telewizją kablową i telefonią komórkową na czele. Poniżej kolejno wymieniamy najważniejsze zastosowania techniki mikrofalowej.
•    Telekomunikacja

• Telekomunikacja satelitarna,
• Telewizja satelitarna i kablowa,
• Radiolinie,
• Telekomunikacja ruchoma i bezprzewodowa.

•    Radiolokacja

• Radarowe wykrywania obiektów,
• Kontrola ruchu lotniczego,
• Naprowadzanie rakiet i antyrakiet,
• Radary antykolizyjne,
• Radionawigacja.

•    Nauka

• Radioastronomia,
• Geonawigacja,
• Wzorce i miernictwo czasu,
• Spektrometria mikrofalowa,
• Miernictwo parametrów materiałów,
• Akceleratory cząstek.

•    Medycyna

• Termografia mikrofalowa,
• Hypertermia mikrofalowa.

•    Zastosowania domowe

• Kuchnie mikrofalowe,
• Alarmy przeciwwłamaniowe,

•    Przemysł

• Grzejnictwo mikrofalowe,
• Pomiary wilgotności materiałów,
• Pomiary odległości,
• Czyszczenie i pokrycia powierzchni.

•    Rolnictwo

• Uzdatnianie gleby,
• Niszczenie szkodników,
• Kontrola stanu wegetacji roślin,
• Wykrywanie pożarów lasów.

Jak widać z zestawienia zakres zastosowań jest bardzo szeroki. Niektóre z zastosowań są ogólnie znane, takie jak telekomunikacja satelitarna, radar, telewizja kablowa, kuchnia mikrofalowa. Inne, jak na przykład akceleratory cząstek, czy niszczenie szkodników są mniej znane, choć ich użyteczność nie budzi wątpliwości.

Pola elektryczne i magnetyczne kiedy zmieniają się, to powiązane są ze sobą wieloma związkami, nazwanymi wspólnie równaniami Maxwella. Równania te oparte są na wielu fizycznych eksperymentach prowadzonych przez uczonych całe dziesięciolecia. Równania Maxwella pełnią rolę fundamentu dla całej techniki mikrofalowej, tworzonej i rozwijanej przez ostatnie 100 lat. 
Równania Maxwella wiążą ze sobą najważniejsze wielkości pola elektromagnetycznego. Zajmiemy się przestrzenią wypełnioną jednorodnym, izotropowym ośrodkiem, charakteryzowanym przez:
•    Przenikalność elektryczna ośrodka  $\varepsilon$, w próżni równa $\varepsilon \equiv \varepsilon _{0} =10^{-9}/36\pi \, [F/m]$ .
•    Przenikalność magnetyczna ośrodka  $\mu$, w próżni równa  $\mu \equiv \mu _{0}=4\pi \cdot 10^{-7}\, [H/m]$.
•    Przewodność właściwa ośrodka   $\sigma$ (konduktywność), jej miarą jest $\sigma =0$ [S/m], w próżni  . 
Pole elektromagnetyczne jest kompozycją pól elektrycznego i magnetycznego. Charakteryzują go następujące wielkości:
•    Natężenie pola elektrycznego  E(x, y, z, t) jest wektorem (ma swoją wartość i kierunek), funkcją miejsca i czasu. Natężenie pola elektrycznego mierzymy w woltach na metr [V/m].
•    Natężenie pola magnetycznego H(x, y, z, t)  jest także wektorem, mierzymy jego wartość w amperach na metr [A/m].
•    Indukcja elektryczna $D = \varepsilon E$  jest wektorem, w ośrodku izotropowym skierowanym w tą samą stronę, co natężenie pola elektrycznego, w próżni  $D = \varepsilon_{0} E$, mierzymy jej wartość w amperach razy sekunda na metr kwadratowy [As/m²], czyli kulombach na m² [C/m²] .
•    Indukcja magnetyczna $B = \mu H$  jest wektorem, w ośrodku izotropowym skierowanym w tą samą stronę, co natężenie pola magnetycznego, w próżni  $B = \mu_{0} H$, mierzymy jej wartość w voltach razy sekunda na metr kwadratowy [Vs/m²].

Jak powiedziano wyżej, równania Maxwella opierają się odkrytych eksperymentalnie prawach fizycznych. 
Pierwsze prawo Maxwella w postaci całkowej jest zapisem prawa Faradaya. Rozważane są indukcja pola magnetycznego  $B = \mu H$ i natężenie pola elektrycznego E  w sąsiedztwie powierzchni S otoczonej konturem C, co pokazano na rys.1.3.

Rys.1.3. Powierzchnia S o konturze C w polu EM o indukcji magnetycznej $B = \mu H$ i natężeniu pola elektrycznego E.

 
Pierwsze prawo Maxwella wiąże ze sobą zmianę strumienia indukcji magnetycznej przenikającego powierzchnię S z polem elektrycznym   całkowanym wzdłuż zamkniętego konturu C otaczającego tą powierzchnię.

Drugie równanie Maxwella w postaci całkowej (1-2) jest zapisem prawa Ampere’a. Wiąże ono ze sobą prąd płynący przez powierzchnię S z polem magnetycznym  , całkowanym wzdłuż zamkniętego konturu C.

Prawo Gaussa zastosowane dla pola elektrycznego mówi, że strumień wektora indukcji pola elektrycznego  D wypływający z objętości V przez zamkniętą powierzchnię S równy jest zgromadzonemu w tej objętości ładunkowi. Ładunek ten otrzymujemy całkując gęstość tego ładunku   mierzoną w kulombach na metr sześcienny w objętości V równanie (1-3).

To samo prawo zastosowane do strumienia wektora indukcji pola magnetycznego prowadzi do równanie (1-4),

gdyż pole magnetyczne jest bezźródłowe.
Do powyższych równań dodawane jest zapisane w formie całkowej równanie ciągłości prądu

Mówi ono, że prąd przewodzenia wypływający przez powierzchnię S zamkniętej objętości V równy jest szybkości zmian ładunku w tej objętości.

Równanie Maxwella w postaci całkowej opisują poparte eksperymentami zachowanie rozmaitych wielkości opisujących pole elektromagnetyczne. Ich interpretacja fizyczna jest czytelna. Z wielu względów wygodnie jest zapisać te równania w postaci różniczkowej. Otrzymujemy wtedy zestaw równań (1-6).

Pięć powyższych równań podawanych jest tradycyjnie jako równania Maxwella. Z matematycznego punktu widzenia występują związki między nimi, gdyż ostatnie dwa mogą być wyprowadzone w oparciu o pierwsze trzy. Z opisowego punktu widzenia pozostawimy w tym miejscu wszystkie z nich.
  

Przyjmiemy teraz założenie, że natężenia pól elektrycznego i magnetycznego oraz prądy zmieniają się sinusoidalnie w czasie. Pozwala to wprowadzić notację zespoloną. Zespolone wektory E, D, H, B i J związane są z wektorami rzeczywistymi zależnościami w formie (1-7). 

W praktyce takie w przeważającej liczbie przypadków powyższe założenia są spełnione.

Pochodne po czasie wielkości zmiennych sinusoidalnie, czasami mówimy harmonicznie, w czasie obliczamy zgodnie z regułą (1-8): 

Pozwala to zapisać równania Maxwella w innej, uproszczonej formie, w której usunięto zależność występujących w nich zmiennych od czasu. W notacji zespolonej podawane są zwykle tylko cztery z nich.

Dla ośrodka jednorodnego, w którym nie ma ładunków i prądów przewodzenia równania powyższe upraszczają się do postaci (1-10):
 

W poprzednim punkcie założyliśmy, że pola elektryczne i magnetyczne występują w nieograniczonym ośrodku. Dokonajmy przeglądu ośrodków ze względu na własności elektryczne, które określają postać zależności między wektorami E, D, H, B i J. W szerokiej klasie ośrodków zależności między tymi wektorami można zapisać w postaci tzw. równań materiałowych:

Przypomnijmy, że wartości ε, μ, σ charakteryzujące ośrodek to przenikalność elektryczna, przenikalność magnetyczna oraz konduktywność, czyli parametry materiałowe ośrodka.
Związki (1-11) wskazują na liniową zależność wektorów indukcji oraz gęstości prądu od natężeń pól. Oznacza to, że wielkości ε, μ, σ nie zależą od natężeń pól i taki ośrodek nazywamy liniowym. Jeżeli przynajmniej jeden z parametrów ośrodka zależy od natężeń pól, to zależności (1-11) nie są już liniowe i ośrodek nazywa się nieliniowym.
Ośrodek jest jednorodny gdy jego parametry nie zależą od współrzędnych punktu. W przeciwnym przypadku mówimy o ośrodku niejednorodnym.
Istnieją ośrodki, których parametry ε, μ, σ zależą od częstotliwości. Ośrodki takie nazywamy dyspersyjnymi. Równania materiałowe w formie (1-11) mają sens dla ośrodków dyspersyjnych tylko w przypadku sinusoidalnej zależności pól od czasu. Dla dowolnej zależności pól od czasu związki (1-11) są słuszne dla transformat fourierowskich wektorów E, D, H, B, J.
Jeżeli wielkości ε, μ, σ są niezależne od kierunku pól, to parametry te są skalarami, a taki ośrodek nazywamy izotropowym. Odpowiednie wektory występujące w poszczególnych równaniach (1-11) są do siebie równoległe. 
Gdy parametry ośrodka zależą od kierunku pól, to mówimy o ośrodku anizotropowym, którego własności nie mogą być opisane przez skalarne wielkości ε, μ, σ. Równania (1-11) mogą być prawdziwe dla ośrodka anizotropowego, ale wtedy parametry materiałowe są reprezentowane przez tensory. Przykładowo, gdy związek między wektorami E i D zależy od kierunku wektora E to przenikalność elektryczna jest tensorem, [ε], reprezentowanym przez 9-elementową macierz, a relacja między wektorami D i E przybiera postać

Z powyższego równania wynika, że jedna składowa wektora pola elektrycznego wywołuje, w ogólności, trzy składowe wektora indukcji elektrycznej.
Struktury krystaliczne, np. półprzewodniki, oraz zjonizowane gazy są przykładami anizotropowych dielektryków.
Analogiczną do (1-12) relację można określić dla związku między wektorami B i H, w którym przenikalność magnetyczna jest tensorem. W technice mikrofalowej stosuje się ferryty, które są anizotropowymi materiałami magnetycznymi.

Materiały dielektryczne powszechnie występują w technice mikrofalowej w konstrukcji tak linii transmisyjnych jak i elementów oraz podzespołów. Rozważmy zachowanie izotropowego dielektryka w zewnętrznym polu elektrycznym o sinusoidalnej zależności od czasu, stosując wektory zespolone.
Pod wpływem pola elektrycznego cząsteczki materii ustawiają się zgodnie z prawem Coulomba tak, że wywołują własne pole elektryczne skierowane przeciwnie do pola zewnętrznego. Zjawisko to określamy mianem elektrycznej polaryzacji (lub krótko polaryzacją) ośrodka i opisujemy przez wektor polaryzacji P_e. Wektory P_e, E i D powiązane są ze sobą zależnością

W ośrodku liniowym, polaryzacja elektryczna jest liniowo związana z zewnętrznym polem elektrycznym jako

przy czym χ_e, która może być zespolona, nazywa się podatnością elektryczną. Tak więc:

gdzie:

jest zespoloną przenikalnością elektryczną ośrodka.
Zespolony zapis dla przenikalności elektrycznej (1-16) może być stosowany tylko w przypadku pól o sinusoidalnej zależności od czasu. Przenikalność elektryczną znormalizowaną względem przenikalności elektrycznej próżni nazywamy zespoloną względną przenikalnością elektryczną:

W przypadku statycznym lub przy wolnych zmianach pola wektor polaryzacji elektrycznej jest w przybliżeniu w fazie z wektorem pola elektrycznego. Dla pól szybkozmiennych opóźnienie wektora Pe względem wektora E nie jest pomijalnie małe, wymienione wektory mają różne fazy. Część urojona ε, która opisuje straty w ośrodku (grzanie) wywołane tłumieniem wibracji dipoli i tym samym opóźnienie wektora polaryzacji względem wektora pola elektrycznego, musi być ujemna (ε” jest dodatnie). 
Źródłem strat w dielektryku może być również niezerowa konduktywność ośrodka i wtedy istnieje w ośrodku wektor gęstości prądu przewodzenia opisany zależnością:

która jest prawem Ohma z punktu widzenia pola elektromagnetycznego.
Całkowita gęstość prądu (przewodzenia i przesunięcia) w dielektryku, która występuje po prawej stronie drugiego równania Maxwella (1-9), wynosi

Z zależności (1-17) wynika, że straty wynikające z tłumienia oscylacji dipoli (ωε”) 
i straty wynikające z istnienia prądu przewodzenia (σ) są nierozróżnialne. Wielkość σ+ωε” można traktować jako zastępczą konduktywność ośrodka. Z kolei wielkość ε”+σ/ω można określić jako zastępczą część urojoną przenikalności elektrycznej.
Stratność dielektryka możemy charakteryzować przez podanie tangensa kąta stratności wyrażonego wzorem

który jest stosunkiem składowej prądu będącego w fazie z polem elektrycznym (ten prąd wywołuje straty mocy fali elektromagnetycznej w ośrodku) do składowej prądu proporcjonalnej do ωε’, odpowiedzialnej za magazynowanie energii pola elektrycznego. 
Zwykle dielektryki charakteryzuje się podając stałą dielektryczną, która jest rzeczywistą częścią względnej przenikalności elektrycznej, oznaczaną w literaturze najczęściej jako ε_w (z pominięciem indeksu „’ ”, co może wprawiać w zakłopotanie) oraz tangensa kąta stratności dla określonej częstotliwości.
Dla izotropowych magnetyków można zastosować podobny opis jak dla dielektryków. Zewnętrzne pole magnetyczne porządkuje magnetyczne dipole w materiale wywołując wektor magnetyzacji ośrodka opisany wektorem P_m związanym w ośrodku liniowym z zewnętrznym polem magnetycznym zależnością

gdzie zespolona wielkość χ_m nazywa się podatnością magnetyczną.
Wektor indukcji magnetycznej w izotropowym magnetyku wyraża relacja 

gdzie

jest zespoloną przenikalnością magnetyczną ośrodka.
Przenikalność magnetyczną znormalizowaną względem przenikalności magnetycznej próżni nazywamy zespolona względną przenikalnością magnetyczną:

Analogicznie jak dla dielektryków, część urojona μ lub χm opisuje straty w magnetyku wywołane tłumieniem wibracji dipoli magnetycznych i wektor polaryzacji magnetycznej jest opóźniony względem wektora pola magnetycznego. W przypadku ośrodków magnetycznych nie ma magnetycznej konduktancji, ponieważ nie ma magnetycznego prądu przewodzenia.
Przy analizie własności ośrodków magnetycznych uwzględnia się straty magnetyczne wprowadzając, analogicznie jak poprzednio, tangens kąta stratności

Tak więc ośrodki magnetyczne możemy opisać podając część rzeczywistą przenikalności magnetycznej oraz tangens kąta stratności.
Równania Maxwella w formie różniczkowej (1-9) wymagają znajomości wartości brzegowych, aby uzyskać jednoznaczne rozwiązanie w danym ośrodku. 

W wielu zagadnieniach występujących w technice mikrofalowej mamy do czynienia z układem dwóch dielektryków bądź ze strukturą dielektryk – przewodnik. Rozważmy zachowanie pola elektromagnetycznego w tych szczególnych przypadkach.
Na granicy miedzy dwoma dielektrykami zwykle nie występuje ładunek powierzchniowy oraz nie płynie prąd przewodzenia. Dokładne wyprowadzenia prowadzą do wniosku, że składowe normalne wektorów D i B oraz składowe styczne wektorów E i H są ciągłe na granicy dielektryków.    
Przyjmując, że składowa normalna jest równoległa do jednej osi w trójwymiarowym układzie współrzędnych to powyższe warunki określają zachowanie sześciu składowych pola elektromagnetycznego (składowa styczna składa się z dwóch składowych). Można wykazać, że spełnienie warunków brzegowych dla składowych stycznych na granicy dwóch ośrodków dielektrycznych pociąga za sobą automatycznie spełnienie warunków ciągłości dla składowych normalnych.
W liniach transmisyjnych powszechnie występuje granica między dielektrykiem i dobrym przewodnikiem, który często można uznać za idealny. Warunki brzegowe dla pól zmiennych w czasie panujące na granicy dielektryka i idealnego przewodnika zapisuje się następująco:

W idealnym przewodniku pole elektryczne musi być równe zeru, gdyż w przeciwnym przypadku wywoływałoby prąd przewodzenia o nieskończonym natężeniu. Istnienie w tym ośrodku zmiennego pola magnetycznego jest również niemożliwe, ponieważ zgodnie z pierwszym prawem Maxwella musiałoby wywołać pole elektryczne, co byłoby sprzeczne z poprzednim stwierdzeniem.

Rys.1.4. Pola i prąd powierzchniowy na granicy metalu i dielektryka  

 
W rezultacie dochodzimy do wniosku, że składowa styczna pola elektrycznego na granicy idealnego przewodnika jest równa zeru, a więc pole elektryczne musi być prostopadłe do powierzchni przewodnika. Pole elektryczne indukuje na powierzchni przewodnika powierzchniowy ładunek elektryczny o gęstości równej wartości indukcji elektrycznej. Składowa normalna indukcji magnetycznej jest zerowa na brzegu idealnego przewodnika, czyli pole magnetyczne musi być styczne do granicy przewodnika i wywołuje na jego powierzchni prąd przewodzenia o gęstości równej wartości natężenia pola magnetycznego.
 

Rozważamy przestrzeń nieograniczoną wypełnioną ośrodkiem liniowym, izotropowym, niedyspersyjnym, jednorodnym i bezstratnym. Zakładamy, że w ośrodku nie ma prądów 
i ładunków co oznacza, że wszelkie źródła pól są nieskończenie daleko od rozważanego obszaru. 
Parametry ośrodka ε i μ są liczbami stałymi i układ równań Maxwella (1-6) sprowadza się do czterech następujących zależności

W celu rozwiązania układu równań (1-30), poddajemy pierwsze równanie układu obustronnie rotacji i wstawiamy do uzyskanej zależności drugie z równań (1-30), tak więc

Lewą stronę równania (1-31) przekształcamy zgodnie z poniższą tożsamością wektorową 

i uwzględniamy to, że dywergencja pola E jest równa zeru (trzecie równanie w układzie 
(1-30)). W wyniku uzyskujemy równanie falowe dla pola elektrycznego: 

Podobnie, eliminując z układu równań Maxwella wektor E, otrzymujemy równanie falowe spełniane przez wektor pola magnetycznego. Postać tego równania jest analogiczna do równania (1-33).

Należy zaznaczyć, że układ równań Maxwella nie jest równoważny układowi równań falowych. Równania falowe wynikają z równań Maxwella, ale wynikanie odwrotne nie zachodzi. Z tego względu każde rozwiązanie układu równań Maxwella musi spełniać równania falowe, a wśród wektorów spełniających równania falowe mogą być takie, które nie są rozwiązaniami układu równań Maxwella.
Analiza rozwiązania powyższych równań falowych prowadzi do wniosku, że prędkość  rozchodzenia się zaburzenia w przestrzeni określona jest iloczynem $\mu \varepsilon$ , gdyż  $v=1/\sqrt{\mu \varepsilon}$. W próżni jest to prędkość światła  $v=1/\sqrt{\mu_0 \varepsilon}_0$.

Utrzymajmy w mocy wszystkie założenia dotyczące ośrodka wypełniającego przestrzeń (liniowość, izotropowość, jednorodność), ale przyjmijmy, że straty występujące w ośrodku opisuje konduktywność σ różna od zera. W tym przypadku układ równań Maxwella przyjmuje postać 

Przekształcając równania Maxwella, metodami analogicznymi do stosowanych w poprzednim punkcie, można uzyskać równania falowe dla ośrodka stratnego
 

Rozwiązanie tych równań w przypadku dowolnej zależności pól od czasu jest skomplikowane
i nie prowadzi do tak prostej interpretacji fizycznej i geometrycznej jak w przypadku ośrodków bezstratnych. Celowym jest przyjęcie, że pola tworzące fale elektromagnetyczną są cosinusoidalnymi funkcjami czasu o ustalonej pulsacji i zastosowanie rachunku zespolonego (w dziedzinie częstotliwości).
Przekształcając równania falowe (1-36) do postaci zespolonej uzyskujemy następujące równania falowe w dziedzinie zespolonej (równania Helmholtza):

W równaniach pojawia się zmienna zespolona  zwana współczynnikiem propagacji, o fundamentalnym znaczeniu dla opisu zjawiska propagacji fali

Pamiętamy, że współczynnik propagacji fali w nieograniczonym ośrodku określają wielkości charakteryzujące ten ośrodek.

Fala wypromieniowana przez antenę nadawczą rozchodzi się we wszystkich kierunkach, choć oczywiście pewne kierunki są uprzywilejowane, o czym mówi charakterystyka anteny. Z punktu widzenia anteny odbiorczej oddalonej odpowiednio daleko, o wiele kilometrów, fala dochodząca do niej jest falą płaską. Wartości chwilowe wektorów pól elektrycznego i magnetycznego tej fali są takie same w każdym punkcie płaszczyzny prostopadłej do kierunku rozchodzenia się fali. Na podstawie równania falowego możemy znaleźć matematyczny opis takiej fali.
Rozważamy przypadek, w którym składowe pola są harmonicznymi funkcjami czasu. Wykorzystujemy równania Helmholtza w postaci (1-37). Możemy je zapisać w kartezjańskim układzie współrzędnych w formie (1-39):

Pierwsze równanie musi być spełnione dla każdej ze składowych E_x, E_y i E_z pola elektrycznego, a drugie dla analogicznych składowych pola magnetycznego. 
Stwierdzamy, nie wdając się w matematyczne uzasadnienia, że dla fali płaskiej natężenie pola elektrycznego E i magnetycznego H są wektorami poprzecznymi E_T i H_T do kierunku propagacji, i mówimy, że fala płaska jest falą poprzeczną czyli typu TEM (ang. Transverse Electro- Magnetic).
Przyjmijmy, że fala rozchodzi się wzdłuż osi z. Wektory E_T i H_T leżą w płaszczyźnie xy i są niezależne od współrzędnych x i y, co oznacza    

Pamiętajmy, że dla omawianego przypadku

Równania (1-39) upraszczają się do

Rozwiązania równań (1-42) mają prostą dwuczłonową postać (1-43):

Obecność dwóch członów w rozwiązaniach, to dwie fale rozchodzące się wzdłuż osi z:
•    fala postępująca propagowana zgodnie z kierunkiem osi z o czym informuje czynnik e-γz;
•    fala powracająca rozchodzi się w kierunku przeciwnym do osi z co opisuje eγz.
Przyjmijmy, że mamy tylko falę postępującą. Gdy znamy jeden z wektorów fali płaskiej, pola elektrycznego albo pola magnetycznego, to drugi możemy wyznaczyć posługując się zależnościami:

Współczynnik występujący w pierwszym z równań (1-44) zdefiniowany jako stosunek wartości wzajemnie prostopadłych (prostopadłych do kierunku rozchodzenia się fali) składowych pola elektrycznego i magnetycznego nazywamy impedancją falową

Dla fali płaskiej impedancja falowa jest dana zależnością

Równocześnie wielkość zespolona zdefiniowana wzorem

ma wymiar impedancji, zależy od parametrów ośrodka oraz pulsacji i nazywa się impedancją właściwą ośrodka. Dla ośrodka bezstratnego impedancja właściwa jest rzeczywista, zależy tylko od parametrów ośrodka i dla próżni równa jest

Jak wynika z równości (1-46) oraz (1-47), w przypadku fali typu TEM w nieograniczonej przestrzeni impedancja falowa jest równa impedancji właściwej ośrodka. Cecha ta nie jest własnością wszystkich fal elektromagnetycznych, a jedynie fal typu TEM.

Rys.1.5. Składowe pola elektrycznego i magnetycznego fali płaskiej w ośrodku bezstratnym. 

   
Ze zależności (1-44) wynika, że wektory natężenia pól elektrycznego i magnetycznego są do siebie prostopadłe oraz, że trójka wektorów ET, HT, iz jest prawoskrętna. Własność tę mają na ogół tylko fale w ośrodkach nieograniczonych i izotropowych.
Gdy położenie osi x zostanie tak dobrane, by pole elektryczne miało tylko składową ET=Ex, to wtedy pole magnetyczne ma jedynie składową HT=Hy (zgodnie z równaniami (1-44)). Przykład pól elektrycznego i magnetycznego takiej fali płaskiej ilustruje rys.1.5.
 

Dla fali rozchodzącej się w ośrodku izotropowym o parametrach ε, μ, σ zgodnie z kierunkiem osi z mającej tylko składową E_x, której wartość jest równa liczbie rzeczywistej E₀ w płaszczyźnie z = 0, pola zapiszemy w dziedzinie zespolone następująco

gdzie impedancję właściwą zapisano w postaci wykładniczej Z_w=|Z_w|e^jφ. Współczynnik propagacji $\gamma$, zwany niekiedy stałą propagacji, został opisany równaniem (1-38). W ogólnym przypadku $\gamma$ jest liczbą zespoloną:

 Część rzeczywistą współczynnika propagacji $\alpha$ nazywamy stałą tłumienia, a część urojoną $\beta$ jest stałą fazową i w ośrodku stratnym

W próżni, gdy przewodność ośrodka σ=0, a ε=ε₀ i μ=μ₀, $\gamma$ jest czysto urojone.

Korzystając z definicji (1-50) zależności (1-49) przybierają postać

Jak wiemy przejście od notacji zespolonej do rzeczywistej jest proste:

Z zapisu pól podanych w (1-54) widać, że stała tłumienia wpływa jedynie na zmniejszanie się amplitudy danego pola, a stała fazowa informuje o tempie zmiany fazy fali wzdłuż osi z. Gdy fala rozchodzi się w ośrodku bezstratnym amplitudy pól nie zmniejszają i pole elektryczne jest w fazie z polem magnetycznym (φ=0).
Prędkość fazową fali płaskiej znajdujemy analizując ruch płaszczyzny stałej fazy. Dla tej płaszczyzny spełniony jest warunek (1-55):

Płaszczyzna ta porusza się z prędkością vf:

Zwróćmy uwagę, że stała fazowa dla fali propagowanej w ośrodku stratnym opisana relacją 
(1-51b) nie jest liniową funkcją ω i prędkość fazowa zmienia się z częstotliwością. Mówimy wtedy o dyspersji fali, która w tym wypadku wynika ze strat ośrodka.
Dla próżni prędkość fazowa fali równa jest prędkości c światła:

Droga, jaką fala poruszająca się prędkością opisaną zależnością (1-56) przebędzie w czasie okresu T, nazywa się długością fali $\lambda$.

Zależność (1-56) podaje wartość prędkości fazowej, ale pamiętajmy, że prędkość jest wielkością wektorową i jej zwrot jest zgodny z wektorem określającym kierunek rozchodzenia się fali. Należy podkreślić, że ruch płaszczyzny stałej fazy jest pojęciem matematycznym i nie oznacza przesuwania się żadnego obiektu materialnego, a tym samym przenoszenia energii. Z tego względu prędkość fazowa może przyjmować dowolne wartości dodatnie i nie podlega ograniczeniom wynikającym ze szczególnej teorii względności.
Aby za pomocą fali EM przesłać informację, trzeba przebieg o pulsacji nośnej ω zmodulować odpowiednim sygnałem. W wyniku modulacji z sygnału monochromatycznego otrzymujemy widmo częstotliwości. W najprostszym przypadku modulacji amplitudowej jedną częstotliwością otrzymujemy dwie częstotliwości prążków bocznych, różniące się od nośnej o Δω. Superpozycję kilku fal o zbliżonych częstotliwościach, Δω->0, i współczynnikach fazowych, Δβ->0, zwana jest fizyce grupą fal.
Obserwując ruch płaszczyzny stałej fazy obwiedni (np. płaszczyzny, w której superpozycja dwóch fal osiąga maksimum) można zapisać warunek (1-59):

(1-59)
Prędkość grupowa v_g to prędkość poruszania się obwiedni sygnału: 

Można wykazać, że w ośrodku izotropowym związek pomiędzy prędkością grupową i fazową przybiera postać:

Ze związku (1-61) wynika, że dla fali, której prędkość fazowa nie zależy od częstotliwości, prędkość grupowa jest równa prędkości fazowej.

Można wykazać, że zależności pól w prowadnicy TEM od zmiennej z są identyczne jak dla fali płaskiej w przestrzeni nieograniczonej. Podobnie możemy uzyskać równanie falowe określające wektory ET lub HT w postaci (1-42). Oznacza to, że wektory pól E i H są do siebie prostopadłe i prostopadłe do kierunku propagacji z.
Współczynnik propagacji fali w linii TEM jest taki sam jak w nieograniczonym ośrodku o parametrach materiału wypełniającego prowadnicę falową, czyli

Dodatkowo, relacje (1-44) między wektorami pól elektrycznego i magnetycznego obowiązują dla prowadnic TEM, czyli 

oraz spełniona jest poniższa relacja

 Zasadnicza różnica między cechami pół fali płaskiej w ośrodku nieograniczonym i pól w linii TEM jest związana z tym, że pola w ośrodku nieograniczonym nie zależą od zmiennych w płaszczyźnie prostopadłej do kierunku rozchodzenia się fali, natomiast w prowadnicy TEM, w której muszą być spełnione określone warunki brzegowe na powierzchni przewodników linii, pola na ogół zależą od tych zmiennych.
Warto zapamiętać, że prowadnicę falową charakteryzują dwa parametry: współczynnik propagacji $\gamma$ oraz impedancja charakterystyczna Z₀. Pierwszy z tych parametrów jest wielkością polową, której obliczenie wiąże się w ogólności z rozwiązaniem równań Maxwella. Drugi jest wielkością obwodową, wyznaczaną z zastosowaniem definicji (1-65):

w której U i I są amplitudami napięcia i prądu fali poruszającej się w jedną stronę.
Definicja Z₀ jest przydatna przy analizie obwodów zawierających prowadnice falowe i elementy reprezentowane przez układy zastępcze o stałych skupionych.

Najpopularniejszą prowadnicą w rodzinie TEM jest linia współosiowa o promieniach a i b (a>b), w której przestrzeń między przewodem wewnętrznym i zewnętrznym wypełniona jest małostratnym dielektrykiem o przenikalności względnej $\varepsilon_r$ – rys.1.6A. 
Impedancja charakterystyczna linii współosiowej obliczana jest z zależności:

Rys.1.6. Struktura linii współosiowej. 
A) Przekrój poprzeczny linii współosiowej wypełnionej dielektrykiem. B) Linia współosiowa o okresowo rozmieszczonych podporach dielektrycznych.    

Zależność (1-66) wskazuje, że impedancja charakterystyczna linii współosiowej zależy od stosunku promieni przewodów i właściwości ośrodka wypełniającego prowadnicę. Wartość Z0 można ustalić dobierając stosunek średnic przewodów zewnętrznego i wewnętrznego, bądź przez dobór dielektryka (stała ε_r). Analiza prowadzi nas do wniosku, że dla tych samych materiałów tłumienie linii zależy od wartości Z₀ i dla linii współosiowej powietrznej osiąga najmniejszą wartość dla Z₀=77 Ω (rys.1.7). Z tego względu współosiowe kable telekomunikacyjne (m.in. sieci telewizji kablowej) mają impedancję charakterystyczną równą 75Ω. Problem minimalizacji tłumienia kabli współosiowych skłonił konstruktorów do szukania struktur pozwalających minimalizować ilość dielektryka w linii. Taką konstrukcję pokazano na rys. 1.6.B. Centryczność przewodu środkowego zapewniają okresowo rozłożone cienkie podpory.
W laboratoriach powszechnie używane są kable o impedancji Z0=50 Ω. 

Rys.1.7. Zależności tłumienia (linia czerwona) i największej mocy przenoszonej (linia niebieska) od impedancji charakterystycznej  linii współosiowej

    
Linia współosiowa, albo koncentryczna jest szeroko stosowana w systemach pomiarowych, a rozpowszechnionym w aparaturze standardem jest linia o impedancji Z0=50 Ω. Linie współosiowe pracują do 60 GHz.

Na rys.1.8A przedstawiono strukturę innej linii TEM, a mianowicie linii dwuprzewodowej. Przewody zanurzone są w dielektryku o przenikalności $\epsilon_r$. Polowe wielkości charakteryzujące falę TEM dla tej prowadnicy są identyczne jak dla linii współosiowej. 
 
Rys.1.8. Przekroje poprzeczne i wymiary prowadnic TEM.  A) Linii dwuprzewodowa, B) Symetryczna linia paskowej.

Impedancję charakterystyczną linii dwuprzewodowej określa zależność:

Linia dwuprzewodowa jest z historycznego punktu widzenia pierwszą linią długą, dla której znaleziono rozwiązanie falowe. Stosowana jest jeszcze w sieciach telewizyjnych i telefonicznych w postaci tzw. skrętki.

 Strukturę symetrycznej linii paskowej pokazano na rys.1.8B. Impedancję charakterystyczną tej linii oblicza się ze wzoru: 

Symetryczna linia paskowa stosowana w konstrukcjach niektórych przyrządów, jak sprzęgacze, filtry, itp.

Zgodnie z pokazaną na rys.1.9 strukturą falowód prostokątny jest prowadnicą falową, w której nie występują dwa niezależne przewody, a więc nie może się rozchodzić fala elektromagnetyczna typu TEM. 
Mogą natomiast, przy spełnieniu pewnych warunków rozchodzić mody TE, oznaczane czasami jako mody E, lub TM, oznaczane jako H. Dla każdego z modów konfiguracja pól E i H jest inna. 
W materiale pominieto wyprowadzenie rozkładów pól elektrycznego i magnetycznego dla falowodu prostokątnego, dla kolejnych rodzin modów TEm,n i TMm,n. Skracając i konkludując  należy powiedzieć, że dla każdego modu można określić częstotliwość graniczną, poniżej której dany mod nie może zostać wzbudzony.

Rys.1.9. Struktura i wymiary 
falowodu prostokątnego 

   
Każdy z modów określony jest wskaźnikami „m” i „n”. Wartość częstotliwości granicznej zależy od wartości „m” i „n”, od rozmiarów a i b falowodu, oraz od wartości przenikalności elektrycznej materiału wypełniającego falowód. W miarę wzrostu częstotliwości wzbudzają się kolejne mody TE_m,n i TM_m,n. Mod o najniższej częstotliwości granicznej nazywany jest podstawowym. Modem podstawowym w falowodzie prostokątnym jest TE₁₀. Dla niego wartość długości fali granicznej (jest to długość fali w wolnej przestrzeni dla częstotliwości granicznej) wynosi:

W Tabeli 1.2 zestawiono wartości częstotliwości granicznych dla kilku pierwszych modów, dla falowodu skonstruowanego do pracy w pasmie 3 cm, bez wypełnienia dielektrykiem.
Tabela 1.2: Pierwsze mody falowodu na pasmo X, o wymiarach: a=2,286 cm, b=1,016 cm.

Rozkład pola elektrycznego i magnetycznego dla modu TE₁₀ pokazano na rys.1.10.

Rys.1.10. Linie sił pola elektrycznego E i magnetycznego H dla modu podstawowego  

 
Pasmo pracy falowodu prostokątnego zawiera się między częstotliwością graniczą modu podstawowego i częstotliwością graniczną kolejnego modu, z pewnymi marginesami. 
Prędkości: fazowa v_f i grupowa v_g oraz długość fali $\lambda _f$ są, dla tej samej f różne i różne dla różnych modów. Oznaczamy: prędkość v i długość $\lambda$ dla fali płaskiej w wolnej przestrzeni wypełnionej ośrodkiem o $\varepsilon _{r}\varepsilon _{0}$ i $\mu _{r}\mu _{0}$.

Dla falowodów prędkość fazowa i długość fali w falowodzie opisują następujące zależności:

Długość fali $\lambda _f$w falowodzie jest większa, niż w wolnej przestrzeni i gdy częstotliwość zbliża się do częstotliwości granicznej długość fali rośnie do nieskończoności.

Między prędkościami fazową i grupową istnieje związek (1-73):

Na rys.1.11 pokazano zależności v_f(f/f_g) i v_g(f/f_g). Gdy częstotliwość zbliża się do wartości granicznej, to prędkość fazowa rośnie do nieskończoności, prędkość grupowa maleje do zera i ustaje przepływ energii. Poniżej częstotliwości granicznej dany mod nie może zostać wzbudzony.

Rys.1.11. Prędkości fazowa i grupowa w falowodzie  

 
Straty mocy w ściankach metalowych powodują, że falowody wykazują stosunkowo duże tłumienie mocy sygnału. Aby je zmniejszyć falowody prostokątne wykonywane są  z miedzi, mosiądzu, aluminium, często są srebrzone i złocone.
 

Falowód cylindryczny jest metalową rurą, najczęściej powietrzną, co pokazuje rys.1.12a.

 
 Rys.1.12. Falowód cylindryczny. A) Wymiary falowodu cylindrycznego. 
B) Oś z częstotliwościami kolejnych modów.

W falowodzie cylindrycznym można także wzbudzić nieskończenie wiele modów TE_m,n i TM_m,n.
Wartość częstotliwości granicznej f_gmn związana jest z wartościami:

• dla modów TM_nm z m-tym pierwiastkiem funkcji Bessela J_n(x)=0,
• dla modów TE_nm z m-tym pierwiastkiem pochodnych tych funkcji J’_n(x)=0.

Obecność funkcji Bessela wynika z rozwiązania równań Maxwella dla falowodu cylindrycznego.
Modem podstawowym falowodu cylindrycznego jest mod TE₁₁. Długość fali odpowiadającej częstotliwości granicznej dla tego modu równa jest:

Kolejny mod, który się wzbudzi, to TM₀₁, a następnie TE₂₁. tak więc pasmo pracy falowodu cylindrycznego jest niewielkie, co ogranicza zakres zastosowań – rys.1.12B. 
Falowody te stosowane są w konstrukcjach niektórych rezonatorów i filtrów, ze względu na ich duże dobrocie (będzie o tym mowa w jednym z dalszych wykładów).
 

Rozwój technologii układów scalonych, planarnych z samej natury, zmusił konstruktorów do opracowania nowej rodziny prowadnic falowych, które można stosować zarówno w hybrydowych jak i monolitycznych układach scalonych. Najpopularniejszym rozwiązaniem jest linia mikropaskowa, której strukturę pokazano na rys.1.12A. Płaska, o odpowiednio dobranej grubości h warstwa dielektryka pokrywana jest obustronnie metalem. Warstwa metalizacji jest z jednej strony pozostawiona w całości, natomiast z drugiej strony pozostawione są tylko wąskie ścieżki metalizacji o odpowiednio dobranej szerokości w.
Linia mikropaskowa nazywana jest linią quasi-TEM, ponieważ fala EM porusza się w ośrodkach o 2 różnych prędkościach. Linia wykazują niewielka dyspersję.
 
 
Rys.1.13. Prowadnice planarne. A) Linia mikropaskowa rzeczywista struktura. B). Pasek linii mikropaskowej w dielektryku o przenikalności efektywnej.

Impedancja charakterystyczna linii mikropaskowej jest funkcją grubości warstwy h, szerokości paska metalizacji w oraz przenikalności elektrycznej $\varepsilon_r$dielektryka oddzielającego pasek od metalizacji „ziemi”. Do odpowiednich zależności wprowadza się efektywną przenikalność, której wartość leży między $\varepsilon_r$podłoża a $\varepsilon_0$ powietrza. Z dobrym przybliżeniem można *eff obliczyć z podanej niżej zależności (1-75):

Dla w/h ≤1  wartość impedancji charakterystycznej Z₀ można obliczyć z zależności (1-76):

Gdy w/h > 1 z lepszym przybliżeniem obliczamy wartość impedancji Z₀ ze wzoru (1-77):

Dla określonych materiałów, które wykorzystano projektując linię mikropaskową długość fali zależy od stosunku w/h, gdyż ze zmianą wartości w/h zmienia się ε_eff.

W praktyce obliczenia wymiarów linii mikropaskowych prowadzimy wykorzystując jeden z licznych komputerowych programów obliczeń.
Zakres częstotliwości pracy linii mikropaskowej jest bardzo szeroki, od prądu stałego DC do 30 GHz dla układów hybrydowych, i do 500 GHz dla układów monolitycznych.

Niedogodnością struktury linii mikropaskowej jest konieczność wykonywania otworów w warstwie dielektryka zwierających pasek z warstwą metalizacji. Jest to szczególnie kłopotliwe w przypadku realizacji monolitycznych układów scalonych. Niedogodności tej nie ma całkowicie planarna struktura linii koplanarnej pokazana na rys.1.14A. W niektórych rozwiązaniach stosowane także dwuprzewodowe linie planarne – rys.1.14B.
Impedancje charakterystyczne Z₀ zależy od $\varepsilon_r$podło ża i wymiarów linii i mogą być dobierane w szerokich granicach: dla linii mikropaskowej 20...100 $\Omega$, dla linii koplanarnej 25...150 $\Omega$, a dla linii dwuprzewodowej koplanarnej 45...220 $\Omega$.
 
 
Rys.1.14. Prowadnice koplanarne. A). Linia koplanarna 
B). Linia paskowa koplanarna.

Dla potrzeb technologii mikrofalowych układów scalonych opracowano techniki wytwarzania planarnych rezystorów, kondensatorów, cewek indukcyjnych, a także diod i tranzystorów. W scalonych układach hybrydowych MIC elementy te montuje się na powierzchni układu, łączą je z paskami prowadnic falowych. W monolitycznych układach scalonych MMIC wszystkie elementy wykonuje się w procesach technologicznych na podłożu krzemu, albo arsenku galu.
 

Jak wspomniano wyżej parametry linii planarnej, takie jak impedancja charakterystyczna, długość fali, straty zależą od rodzaju użytego dielektryka. Zestawienie typowych dielektryków i ich najważniejsze parametry zestawiono w Tabeli 1.3.
 

Tabela 1.3. Zestawienie właściwości podłoży prowadnic planarnych

Wśród nich najbardziej popularnymi są ceramika alundowa Al2O3, płytki wykonane z kwarcu oraz teflon, niekiedy wymieszany z proszkiem alundowym.
Arsenek galu i krzem jako półprzewodniki samoistne o niewielkim poziomie domieszek nie są najlepszymi dielektrykami i wykonane na nich linie wykazują duże straty. Jednakże stosujemy je w układach monolitycznych, gdyż tylko na takim podłożu można wykonywać aktywne tranzystory.
 

Tłumienie mocy sygnału propagowanego prowadnicą falową zależy od trzech najważniejszych czynników:

• przewodności metalu, z którego wykonano przewody linii,
• strat materiału dielektrycznego wypełniającego częściowo lub w całości prowadnicę,
• strat mocy na promieniowanie.

Można więc w ogólnym przypadku zapisać współczynnik tłumienia następująco:

Gdzie $\alpha_m$ reprezentują straty wywołane skończoną przewodnością metalu, $\alpha_d$ to straty wywołane obecnością stratnego dielektryka, a $\alpha_{rad}$ reprezentuje straty wywołane promieniowaniem energii na zewnątrz linii. 
Straty wywołane skończoną przewodnością metalu zależą od przewodności metalu, z którego wykonano falowód, lub elementy przewodzące prowadnicy (np. przewody wewnętrzny i zewnętrzny linii współosiowej). 

Rys.1.15. Wykładnicze zanikanie prądu w przewodniku jako efekt naskórkowości.    

Straty spowodowane niedoskonałością przewodnika są duże i rosną z częstotliwością, ze względu na efekt naskórkowości. Jak nam wiadomo pole elektryczne nie wnika do doskonałego przewodnika, ale do niedoskonałego wnika, na pewną, niewielką głębokość. rezultacie na powierzchni przewodnika płynie prąd, ale tylko w cienkiej warstwie o głębokości wnikania $\delta_s$[m] i szybko zanika w warstwach głębszych – rys.1.15. Głębokość wnikania może być obliczona ze wzoru (1-80):

Na przykład dla miedzi Cu, dla częstotliwości f = 10 GHz, głębokość wnikania jest niewielka i wynosi $\delta_s$=0,66 $\mu$m.
Do wzorów na wartość stałej tłumienia α_m wprowadza się zwykle rezystancję powierzchniową przewodnika R_S:

Rezystancja powierzchniowa R_s[$\Omega$/kw.] rośnie dla każdego przewodnika z częstotliwością f, choć wolniej dla przewodników dobrze przewodzących (duża przewodność). Dla linii współosiowej straty związane ze skończoną przewodnością metalu opisuje zależność (1-82):

Wartość tłumienia zależy także od stosunku a/b promieni przewodów, a więc od wartości impedancji charakterystycznej Z₀. Dla powietrznej linii współosiowej tłumienie jest najmniejsze dla Z0=77Ω, co pokazuje rys.1.7.
Aby oszacować straty wywołane obecnością dielektryka przyjmiemy, że linia TEM wypełniona jest dielektrykiem o przenikalności ε:

Dla linii współosiowej można oszacować straty następująco: 

Jak widać $\alpha_d$ rośnie proporcjonalnie do częstotliwości f we wszystkich liniach TEM i quasi-TEM. Ogólnie można napisać:

a stała A proporcjonalności zależy od rozmiarów i rodzaju linii.
Straty na promieniowanie można w przypadku falowodów pominąć, dla linii koncentrycznej także, chyba, że w kablu koncentrycznym przewód zewnętrzny wykonany jest z plecionki metalowej. Jednakże w liniach planarnych nie może być pominięty, choć jest trudny do oszacowania.
Porównanie strat rozmaitych typów prowadnic falowych, zestawione na rys.1.16 prowadzi do przygnębiających wniosków: straty są duże. Podano je w decybelach na kilometr, aby można było porównać je ze stratami w światłowodach kwarcowych, które w najlepszych oknach transmisji promieniowania są rzędu 0,2…0,4 dB/km.
 
Rys.1.16. Tłumienie w funkcji częstotliwości dla różnych typów falowodów prostokątnych wykonanych z aluminium i srebra, oraz dla miedzianych kabli współosiowych.

W wielu obliczeniach projektowych straty prowadnic falowych straty są pomijane. Miejmy na uwadze, że można je pominąć w monolitycznych układach scalonych przy propagacji na odległość 1 mm, w układach hybrydowych przy propagacji na odległość 3 cm, w kablach współosiowych łączących aparaturę pomiarową pracującą w paśmie 1000 MHz na odległościach 1 metra. Ale w sieciach telewizji kablowej już nie można ich pominąć. W zestawieniu ze stratami światłowodu są to tłumienia bardzo duże. 
Tabela 1.4. Porównanie właściwości trzech popularnych typów prowadnic falowych.

    
W Tabeli 1.4 zestawiono porównanie właściwości trzech najpopularniejszych typów prowadnic falowych. Każda z nich w pewnych zastosowaniach spisuje się bardzo dobrze, ale w innych zawodzi. Wiedza konstruktora pozwoli dokonać właściwy wybór.

Linia dwuprzewodowa
Przeanalizowana zostanie prosta i często spotykana w praktyce struktura prowadnicy falowej, jaką jest linia dwuprzewodowa – rys.10.1a. Przewody tej linii są wykonane z dobrze przewodzącego metalu i „zanurzone” w materiale dielektrycznym. Żaden z tych materiałów nie jest idealnym przewodnikiem, czy też dielektrykiem. Znaczenie użytego przymiotnika „długa” zostanie wyjaśnione dalej.

 
 Rys.10.1. Dwuprzewodowa linia długa. a) Przewody zanurzone materiale dielektrycznym o przenikalności $\varepsilon$. b) Oznaczenia napięć i prądów.

Celem analizy jest opisanie procesu zmian napięcia i prądu wzdłuż takiego obwodu, gdyż łatwo przewidzieć, że wywołaniu przyrostu napięcia na jednym końcu opisywanej linii nie towarzyszy natychmiastowe pojawienie się identycznego przyrostu na drugim końcu.
Wprowadzamy następujące oznaczenia: 

• u(t,z) chwilowa wartość napięcia,
• i(t,z) chwilowa wartość prądu,

przy czym u(t,z) i i(t,z) są funkcjami czasu t i miejsca z.
Przyjmujemy, że propagacja zachodzi w jednym tylko wymiarze z, wzdłuż linii długiej.
Problem: Jak propagują się zmiany napięcia u(t,z) i prądu i(t,z) wzdłuż linii długiej?
     Obwód zastępczy odcinka linii
Rozpatrzymy elementarny czwórnik utworzony przez odcinek linii długiej o długości $\Delta$z pokazany na rys.10.1b. Obwód zastępczy takiego czwórnika pokazano na rys.10.2.

Rys.10.2. Obwód zastępczy elementarnego odcinka linii długiej.  

 
W obwodzie tym wprowadzono następujące oznaczenia: 

• R[$\Omega$/m] - rezystancja na jednostkę długości.
• L[H/m] - indukcyjność na jednostkę długości.
• G[S/m] - przewodność na jednostkę długości.
• C[F/m] - pojemność na jednostkę długości.

     Równania telegrafistów
Zmienne u(t,z) i i(t,z) opisane są wyprowadzonym przez Kelvina równaniami różniczkowymi, zwanymi równaniami telegrafistów. Równania te poznamy w prostej formie, gdyż wyprowadzimy je i rozwiążemy dla prostych i najczęściej spotykanych przypadków, zgodnych z przyjętymi Założeniami 1 i 2.
Założenie 1: u(t) i i(t) są harmonicznymi funkcjami czasu - wielkości te są sinusoidalnymi funkcjami czasu o pulsacji $\omega$.
Wprowadzamy: 
U(z) - zespolona amplituda napięcia, I(z) - zespolona amplituda prądu.

Wprowadzamy: 

Założenie 2: Linia jest jednorodna, Z i Y nie zmieniają się z odległością. 
Założenie 2 oznacza, że linia nie zmienia swoich wymiarów, średnica przewodów a, ich odległość b oraz przenikalność $\varepsilon$ dielektryka otaczającego przewody pozostają stałe i niezależne od z.
Odpowiednie przekształcenia można prześledzić w dołączonym opisie. Końcowy rezultat przekształceń ma postać równań telegrafistów, albo równań linii długiej: 

Jak widać, zespolone amplitudy prądu U(z) i I(z) jednorodnej linii długiej związane są prostymi równaniami różniczkowymi ze stałą $\gamma$ zwaną stałą propagacji. Stała propagacji $\gamma$ reprezentuje parametry linii długiej, rozmiary przewodów, parametry ośrodka dielektrycznego.
Przypomnijmy jeszcze, że identyczny kształt równań uzyskujemy z równań Maxwella dla pól E i H. Równania te, opisane w wcześniej, zwane są równaniami falowymi.

Fale: postępująca i odbita
Równania telegrafistów są równaniami różniczkowymi. Ta postać równań różniczkowych ma znaną i prostą postać rozwiązań:
 

Rozwiązanie jest dwuczłonowe, składniki z indeksem „1” reprezentują falę rozchodzącą się wzdłuż osi z, składniki z indeksem „2” reprezentują falę rozchodzącą się w przeciwną stronę, niż kierunek osi z. 
Pamiętamy prostą i oczywistą interpretację rozwiązań:

•  U₁, I₁ - stałe całkowania – zespolone amplitudy napięcia i prądu fali rozchodzącej się w kierunku z, jest to fala postępująca.
• U₂, I₂ - stałe całkowania - zespolone amplitudy napięcia i prądu fali rozchodzącej się w kierunku przeciwnym do z, nazywamy ją falą odbitą, albo wtórną.

Pamiętamy: Dla każdego typu prowadnicy falowej, w której propagowany jest jeden mod fali, można przyjąć obwód zastępczy w postaci  linii dwuprzewodowej. W każdym takim przypadku rozwiązanie równania linii długiej mają postać (10-6) i (10-7) i ich interpretacja jest identyczna.
     Stała propagacji
Gdy mówimy o propagacji fali, to powinniśmy wyznaczyć tłumienie fali, długość fali i prędkości rozchodzenia. Wprowadzona zależnością (10-3) i występująca w rozwiązaniach (10-6) i (10-7) stała propagacji $\gamma$ jest bardzo ważnym parametrem zjawiska propagacji fali. Stała propagacji jest wielkością zespoloną i można zapisać ją w następującej postaci: 

Zależność (10-6a) może być zapisana następująco:

Interpretacja fizyczna obu składników $​​\alpha +j\beta$ jest oczywista:

• Część rzeczywista $\alpha$ stałej propagacji $\gamma$ nazywana jest stałą tłumienia. Stała tłumienia $\alpha$(Np/m) decyduje o szybkości strat mocy fali biegnącej wzdłuż linii.
• Część urojona $\beta$ stałej propagacji $\gamma$ nazywana jest stałą fazowa. Stała fazowa $\beta$(rad/m) decyduje o szybkości zmian fazy fali biegnącej wzdłuż linii, a tym samym o długości fali $\lambda$.

Powróćmy do zależności (10-3), aby znaleźć, jak $\alpha$ i $\beta$ zależą od parametrów R,G,L i C obwodu zastępczego z rys.10.2. Wracamy do podstawowych zależności opisujących stałą propagacji  $\gamma$ w zależności od impedancji Z i admitancji Y.

Zwykle spełnione są następujące warunki:  $R/\omega L$, gdyż w praktycznych rozwiązaniach konstrukcji linii dwuprzewodowych przewody wykonane są z dobrze przewodzącego metalu i otoczone małostratnym dielektrykiem. Wtedy:

W zależności (10-10) drugi ze składników zwykle dominuje nad pierwszym.
     Prędkości fazowa i grupowa
Gdy mówimy o prędkości propagacji fali musimy wyróżnić prędkość fazową i prędkość grupową.
Prędkość fazowa v_f propagowanej fali jest prędkością z jaką przesuwa się płaszczyzna stałej fazy. Prędkość v_f związana jest z wartością stałej fazowej $\beta$:
 

Prędkość grupowa vg propagowanej fali jest prędkością przepływu energii.

Przypomnienie:
W prowadnicach falowych typu TEM prędkości fazowa i grupowa są sobie równe. W falowodach prostokątnych i cylindrycznych, w których propagowane są mody TE albo TM, prędkości fazowa i grupowa różnią się.
     Impedancja charakterystyczna
Zespolone amplitudy napięcia U(z) i prądu I(z) opisane są zależnościami (10-6) i (10-7). Określimy teraz związki między nimi. Stosunki zespolonych amplitud napięcia i prądu dla obu propagowanych fal są sobie równe z dokładnością do znaku i nazwane impedancją charakterystyczną Z₀.

Wartość impedancji charakterystycznej jest bardzo ważnym parametrem prowadnicy falowej. Impedancja charakterystyczna Z₀ jest funkcją rozmiarów prowadnicy i parametrów ośrodka.

Dla prowadnicy bezstratnej Z₀ jest rzeczywiste. Dla prowadnicy z małymi stratami przyjmuje się także, że z dobrym przybliżeniem Z₀ jest rzeczywiste.

Napięcie i prąd wzdłuż linii
Powracamy do układu generator – prowadnica – obciążenie: 
 

Rys.10.3. Układ: generator, linia długa, obciążenie

Napiszemy najpierw rozwiązania równań linii długiej z nowymi oznaczeniami. Oznaczymy przez:

• U_P, I_P - zespolone amplitudy napięcia i prądu fali pierwotnej, padającej.
• U_W, I_W - zespolone amplitudy napięcia i prądu fali odbitej, wtórnej.

Odległość l liczona jest teraz od końca linii w stronę generatora, podczas gdy z liczona była od generatora w stronę obciążenia. Równania propagacji zapiszą się teraz następująco:

 Dla bezstratnej prowadnicy falowej, gdy $\gamma =j\beta ;$:

Znamy już definicję impedancji charakterystycznej: 

Aby znaleźć wartości amplitud U_P, I_P, U_W i I_W musimy znaleźć kolejne związki między nimi.

     Wpływ obciążenia na falę odbitą
Obciążenie reprezentowane przez impedancję:

Należy zauważyć, że U_L=U(l=0) oraz I_L=I(l=0), czyli: 

w rezultacie: 

Wniosek: Wartość amplitudy UW napięcia fali odbitej zależy nie tylko od Z_L, ale także od wartości impedancji charakterystycznej Z₀. Gdy Z_L=Z₀, w prowadnicy nie pojawi się fala odbita; obciążenie jest dopasowane do impedancji charakterystycznej prowadnicy falowej, obciążenie jest bezodbiciowe.
W równaniach (10-16) i (10-17) na U(l) i I(l) można zastąpić U_P, U_W, I_P i I_W przez Z_L, U_L i I_L.
W ogólnym przypadku linii ze stratami otrzymuje się następujące zależności:

Dla linii bezstratnej funkcje hiperboliczne znikają i równania przyjmują prostszą postać:

Można też zapisać je w innej formie, w pewnych przypadkach wygodniejszej w użyciu:

 Współczynnik odbicia - definicja
Zdefiniowany zostanie teraz bardzo ważny parametr określający związek między falą odbitą i padającą. Współczynnik odbicia $\Gamma$ jest miarą stosunku zespolonych amplitud fali odbitej do padającej. Definiujemy go następująco:

Na końcu linii, dla l=0, współczynnik odbicia przyjmuje wartość $\Gamma$_L:

Współczynnik odbicia   $\Gamma$_L - podobnie jak Z_L lub Y_L - jest parametrem charakteryzującym jednowrotnik/obciążenie umieszczone na końcu linii, inaczej mówiąc, jest on zespoloną miarą niedopasowania obciążenia do impedancji charakterystycznej Z₀. 
Współczynnik odbicia   $\Gamma$(l) zależy od wartości   $\Gamma$_L na końcu linii oraz od odległości l od końca linii. Zależność ta ma następującą postać:

Napisana wyżej zależność (10-26) nazywana jest równaniem transformacji współczynnika odbicia.

Rys.10.4. Transformacja współczynnika odbicia wzdłuż bezstratnej linii.    
Ilustracja procesu transformacji współczynnika $\Gamma$ pokazana jest na rys.10.4. Wskaz $\Gamma$ wiruje zgodnie ze wskazówkami zegara. Dla linii ze stratami długość wskazu $\left |\Gamma \right |$maleje wykładniczo z odległością, dla linii bezstratnej  $\left |\Gamma \right |$=const.
     Współczynnik odbicia - różne przypadki
Obciążenie umieszczone na końcu linii reprezentowane jest zwykle przez impedancję Z_L=R_L+jX_L. Wtedy zależność (10-26) przyjmie postać (10-27):

Logarytmiczną miarą współczynnika odbicia są straty odbicia L_r (ang. return loss), definiowane następująco:

Wykorzystamy wyprowadzoną zależność (10-26) do analizy kilku charakterystycznych przypadków.
Przypadek 1: Mówimy, że umieszczony na końcu prowadnicy jednowrotnik, nazywany też obciążeniem, jest dopasowany do impedancji charakterystycznej tej prowadnicy jeżeli   $\left |\Gamma \right |$=0. Zgodnie z (10-27) stan dopasowania powstanie, gdy Z_L = Z₀.
Przypadek 2: Stan pełnego odbicia mocy powstaje wtedy, gdy   $\left |\Gamma \right |$=1  i amplitudy obu fal: padającej i odbitej są sobie równe. Pełne odbicie mocy ma miejsce, gdy obciążenie jest czystą reaktancją Z_L = jX_L. Wartość reaktancji X_L ma wpływ na argument współczynnika odbicia, jego moduł równy jest 1.

Przypadek 3: Najczęściej impedancja obciążenia obok części urojonej ma część rzeczywistą, przy czym  R_L > 0. Wtedy część mocy ( $\left | \mathrm{I_{L}} \right |\mathrm{R_{L}/2}$) fali padającej zostaje pochłonięta przez obciążenie i amplituda fali odbitej jest zawsze mniejsza od amplitudy fali padającej, a    $\left |\Gamma \right |$ < 1.
Przypadek 4: Gdy amplituda fali odbitej jest większa od amplitudy fali padającej, mamy do czynienia ze wzmocnieniem mocy, z obciążeniem aktywnym. W modelu impedancyjnym obciążenie takie reprezentowane jest przez impedancję z ujemną rezystancją. Gdy    $\left |\Gamma \right |$>>1, wtedy  R_L < 0.

 Napięcie i prąd wzdłuż linii – wykres wskazowy

W tym punkcie wyprowadzimy odpowiednie formuły opisujące rozkład napięcia wzdłuż linii długiej. Powracamy do układu z rys.10.3 z generatorem, prowadnicą i obciążeniem. Wykorzystamy zależność (10-24) opisującą współczynniki odbicia $\Gamma$(l) aby określić wartości amplitud napięcia i prądu na linii. Prowadzi to do zależności (10-29):

Zauważmy, że na końcu linii napięcie U_L jest proporcjonalne do (1+$\Gamma$_L) a prąd I_L jest proporcjonalny do (1-$\Gamma$_L). Wskazy napięcia U_L i prądu I_L pokazane są na rys. 10.5A.

 
 
Rys.10.5. Ilustracja zmian napięcia i prądu wzdłuż linii. 
A) Napięcie i prąd na końcu linii. B) napięcie i prąd w odległości l od końca.

W odległości l od końca wartości napięcia i prądu zmieniają się, ponieważ wskaz + $\Gamma$_L zmienił położenie – rys. 10.5B.
Kąt fazowy $\phi _{L}$ między U_L i prądu I_L zależy od impedancji obciążenia: 

Gdy impedancja obciążenia jest rzeczywista prąd i napięcie są w fazie.
     Napięcie i prąd wzdłuż linii – minima, maksima
Moduł napięcia $\left | U(l) \right |$ można wyznaczyć wychodząc z zależności (10-29). Dla linii bezstratnej otrzymujemy zależność (10-33), w której $\Psi_L$ jest argumentem współczynnika odbicia $\Gamma$:

Przykład przebiegu $\left | U(l) \right |$ pokazano na rys.10.6.

Rys.10.6. Moduł U(l) napięcia wzdłuż linii długiej.

Ponieważ przyjęto założenie bezstratności linii, to wszystkie maksymalne i minimalne wartości napięcia są sobie równe. 
Wnioski: Napięcie $\left | U(l) \right |$ określone wzdłuż linii długiej jest okresową funkcją odległości o okresie równym połowie długości fali $\lambda$/2, co oznacza, że:

• odległość między kolejnymi maksimami, lub minimami równa jest $\lambda$/2,
• odległość między maksimum a minimum równa jest $\lambda$/4.

     Czysta fala stojąca
W przypadku, gdy $\left | \Gamma \right |=1$ amplitudy fali padającej i odbitej są sobie równe i mamy do czynienia z czystą falą stojącą. Moduł napięcia wzdłuż linii zapisze się dla przypadku $\Psi_k=0$ następująco: (10-34)

Moduł prądu wzdłuż linii opisuje zależność (10-35): 

Na rys. 10.7 pokazano przebiegi modułów U(l) i I(l) dla czystej fali stojącej.
 

Rys.10 .7. Napięcie i prąd wzdłuż linii dla czystej fali stojącej.

Jak widać wartości napięć i prądów okresowo osiągają wartości maksymalne i spadają do zera, przy czym maksymalnej wartości napięcia towarzyszy zero wartości prądu i na odwrót. Kolejne zera oddalone są o pół fali.
     Współczynnik fali stojącej
Ważnym parametrem opisującym rozkład napięcia na linii i tym samym stan dopasowania obciążenia do impedancji charakterystycznej Z₀ jest współczynnik fali stojącej. Zgodnie z definicją współczynnik fali stojącej $\varrho$ jest stosunkiem maksymalnej i minimalnej wartości modułu napięcia na linii. 

Współczynnik fali stojącej, często oznaczany jako WFS, jest liczbą rzeczywistą, co oznacza, iż daje nam tylko jedną informację o jednowrotniku/obciążeniu. Pamiętajmy, że współczynnik odbicia $\Gamma$ daje – jako liczba zespolona – dwie informacje o obciążeniu. Między tymi wielkościami istnieje prosty i oczywisty związek:

Graficzna ilustracja powyższej zależności pokazana jest na rys. 10.8.

Omówimy dwa charakterystyczne przypadki obciążenia linii:
Przypadek 1: Na końcu prowadnicy umieszczono rezystancję R_L > Z₀ . Współczynnik fali stojącej dla takiego obciążenia obliczamy prosto jako $\varrho$ =R_L/Z₀.
Przypadek 2: Na końcu prowadnicy umieszczono rezystancję  R_L < Z₀. Współczynnik fali stojącej dla takiego obciążenia obliczamy prosto jako    $\varrho$ =R_L/Z₀..

Postawienie problemu 
Kolejny raz wracamy do rys.10.3 i rozważymy zjawiska zachodzące w prostym układzie generator-linia długa-obciążenie. Układ ten powtórnie pokazano na rys.10.9, jednakże z użyciem nieco innych oznaczeń elementów.
Celem rozważań jest określenie mocy występujących w tym prostym układzie. Wyznaczymy:

• moce fal pierwotnej i odbitej, 
• moc wydzieloną w obciążeniu, 
• maksymalną moc, którą może dostarczyć generator,
• warunek, przy którym to może nastąpić.

Rys.10.9. Układ: generator, prowadnica i obciążenie.

    
Rozważania będą prowadzone przy następujących oznaczeniach i założeniach:

• generator reprezentowany parametrami źródła E_G i Z_G,
• prowadnica falowa jest jednorodna i bezstratna, opisana przez: Z₀ i $\beta l=2\pi l/\lambda$: 
• obciążenie/jednowrotnik  charakteryzowany jest przez Z_L, Y_L bądź $\Gamma_L$

Ponadto przyjmiemy, że w prowadnicy rozchodzą się fale o amplitudach U_w i U_p.
     Generator mikrofalowy
Generator umieszczony w obwodzie z rys.10.9 jest generatorem idealnym. Pobudza prowadnicę falową monoczęstotliwościowym sygnałem i jest „odseparowany od obciążenia”, co oznacza, że zmiany impedancji obciążenia nie zmieniają warunków generacji, m.in. jego częstotliwości.

Rys.10.10. Generator mikrofalowy. A) Szeregowy obwód zastępczy generatora, B) Obwód równoległy, C) Graf przepływu sygnału.    

Na rys.10.10 pokazano trzy różne sposoby opisywania generatora:

• Szeregowy obwód zastępczy składa się z: idealnego źródła napięciowego E_G o impedancji wewnętrznej Z_G.
• Równoległy obwód zastępczy to źródło prądowe o wydajności I_G i admitancji wewnętrznej Y_G, przy czym wartości I_G i Y_G związane są z E_G i Z_G następująco:

•  Zachowanie się generatora mikrofalowego można także opisać zależnością (10-39), wiążącą amplitudy a_G i b_G fal wypływającej i powracającej do generatora:

Zależności (10-40) i (10-41) pokazują, że wszystkie trzy formy prezentacji generatora są sobie równoważne, a elementy tych form są ze sobą związane prostymi zależnościami. Miejmy na uwadze, że niezależnie od sposobu prezentacji właściwości generatora dochodzimy do takich samych wyników końcowych. 
     Moce fal
Jako punkt wyjścia przyjmiemy warunki dopasowanego obciążenia:

W obwodzie płynie fala pierwotna do obciążenia i nie ma fali odbitej. Napięcie na zaciskach obciążenia równe jest: 

Moc P_L wydzielona w obciążeniu: 

Moc wydzielona w obciążeniu jest mocą niesioną przez falę pierwotną, nie ma fali odbitej, czyli moc fali pierwotnej opisana jest następującym wzorem P₊:

Przez analogię moc fali odbitej P_-: 

Zauważamy, że w zależnościach (10-44) i (10-45) wprowadziliśmy nowe oznaczenia a i b zwane zespolonymi i znormalizowanymi amplitudami napięć fal i definiowane następująco:

W wielu przypadkach, które zostaną opisane później, wielkości te zostaną wykorzystane do opisu dwuwrotników mikrofalowych.
     Moc wydzielona w obciążeniu
Do rozważań w tym punkcie przyjmiemy warunki (10-47). 

Obciążenie jest niedopasowane i część mocy P₊ niesionej przez falę pierwotną/padającą  zostaje odbita i jako moc P_- wędruje w stronę generatora. Oznaczając przez P_L moc wydzieloną w jednowrotniku można napisać oczywisty bilans mocy:

Można teraz połączyć ze sobą moce: padającą i wydzieloną w obciążeniu ze współczynnikiem odbicia. Otrzymujemy:

Jak widać argument współczynnika odbicia nie ma wpływu na bilans mocy. Do powyższej zależności można dopisać dwie kolejne:

 Stosunek mocy P_- odbitej do padającej P₊ jest zależny tylko od modułu współczynnika odbicia, co oznacza, że znajomość współczynnika fali stojącej WFS pozwala określić stosunki wszystkich trzech mocy.
     Moce w warunkach obustronnego niedopasowania
W tym punkcie przyjmiemy założenie (10-52), że generator i obciążenie są niedopasowane do impedancji charakterystycznej Z₀ prowadnicy falowej.

 Jest to przypadek ogólny i często spotykany. Amplitudy a i b fal pierwotnej i odbitej oznaczone na rys.10.9 powiązane są ze sobą następującymi zależnościami:

Wykorzystując te zależności oraz zależność (10-39) opisującą amplitudę fali na wyjściu generatora można skonstruować graf przepływu sygnału pokazany na rys.10.11. 

Rys.10.11. Graf przepływu sygnału w obwodzie z rys.10.9.  

 
Na podstawie grafu znajdujemy amplitudę a_L fali padającej na obciążenie:

Jak widać z otrzymanej zależności odległość między generatorem a obciążeniem wpływa w istotny sposób na wartość amplitudy $\mathrm{\left | a_L \right |}$ fali, jaka ustali się na skutek odbić od obciążenia i generatora. Moc P+ niesiona przez falę zmieni się w jeszcze szerszych granicach, gdyż z kwadratem amplitudy $\mathrm{\left | a_L \right |}$, co widać z zależności (10-55), w której $\mathrm{P_{G0}=\left |E \right |^{2}/2}$  jest mocą niesioną przez falę pierwotną w warunkach dopasowania:

W zależności powyższej P₊ jest > lub < od P_G0; stosunek maksymalnej do minimalnej mocy może zmieniać się w szerokich granicach:

 Im silniejsze jest obustronne niedopasowanie, im większą wartość ma moduł   w tym szerszych granicach zmienia się moc niesiona przez falę padającą na obciążenie i tym samym moc P_L wydzielona w obciążeniu. Moc tą obliczamy opierając się na (10-57):

Po prostych przekształceniach otrzymujemy:

 Zależność powyższa jest podstawą do wprowadzenia pojęcia dopasowania energetycznego.
     Dopasowanie energetyczne i moc dysponowana generatora
Rozważymy następujący problem: bezstratna linia długa zasilana jest przez generator niedopasowany, dla którego $\mathrm{\left | \Gamma _G \right |>0}$. Jak dobrać warunki obciążenia generatora, to znaczy jak dobrać $\mathrm{\left | \Gamma _L \right |}$i długość linii, aby w obciążeniu wydzieliła się maksymalna moc?
Rozwiązanie problemu można znaleźć analizując zależność (10-58). Moc w P_L wydzielona w obciążeniu jest maksymalna, gdy spełniony jest następujący warunek:

(10-59)
Warunek ten nazywamy warunkiem dopasowania energetycznego. Oznacza on, że współczynnik odbicia „widziany” przez generator w jego wrotach wyjściowych powinien być równy sprzężonej wartości jego własnego współczynnika odbicia.
Problem ten był także rozważany w obwodach o stałych skupionych. Zapisany formułą impedancyjną ma znaną postać:

gdzie Z_L^’ jest impedancją obciążenia widzianą przez generator.
W warunkach dopasowania energetycznego moc P_GA wydzielona w umieszczonym na końcu prowadnicy jednowrotniku jest maksymalna i nazywana mocą dysponowaną generatora (ang. available power). 

Zależność (10-61) zapisana w formule impedancyjnej/admitancyjnej ma postać:

Znamy teraz dopasowanie dwojakiego rodzaju: 

• dopasowanie impedancji obciążenia Z_L do impedancji charakterystycznej Z₀ prowadnicy falowej, co jest równoznaczne warunkowi bezodbiciowości, 
• dopasowanie impedancji obciążenia Z_L do impedancji wewnętrznej generatora Z_G, co jest warunkiem dopasowania energetycznego.

Powinniśmy umieć odróżniać opisane warunki dopasowania i analizując kolejne problemy właściwie je interpretować. Warunkom dopasowania poświęcone będą oddzielne wykłady, gdyż umiejętność dopasowania odgrywa w technice mikrofalowej dużą rolę. 

Postawienie problemu 
Odpowiemy teraz na pytanie, jak zmieni się impedancja ZL przez dodanie odcinka prowadnicy falowej o odpowiedniej długości l i przez dobór jej impedancji charakterystycznej Z₀ – rys.10.12. Rozwiązanie tego problemu oznacza, że impedancję Z_L i odcinek prowadnicy l,Z₀ zastąpimy teraz impedancją Z(l) o takiej wartości, że rozkłady prądów i napięć na lewo od płaszczyzny l nie ulegną zmianie.

 Rys.10.12. Odcinek prowadnicy falowej zakończony impedancją ZL

Aby rozwiązać postawiony problem należy wyznaczyć wartości napięcia U(l) i prądu i I(l) w płaszczyźnie odległej o l od końca. Jeśli to się uda zrobić, to odcinek prowadnicy o długości l i impedancji charakterystycznej Z₀ oraz impedancję Z_L można zastąpić impedancją Z(l), równą:

 Równanie transformacji impedancji – linia bezstratna
Aby rozwiązać postawiony problem wykorzystamy znane związki (10-29) między współczynnikiem odbicia Γ(l) a napięciem i prądem, otrzymamy wtedy: 

Przyjmiemy dalej, że znamy wartość współczynnika odbicia na końcu linii Γ_L(Z_L), a linia jest bezstratna, to znaczy stała propagacji zapisze się jako $\gamma =j\beta$. Wtedy: 

Teraz należy wykorzystać znaną z teorii liczb zespolonych tożsamość e^jx=cosx+jsinx. Po przekształceniach otrzymujemy równanie transformacji impedancji z tangensami:

Odwrotność wyrażenia (10-66) daje admitancję Y(l) i po niewielkich przekształceniach otrzymuje się podobne wyrażenie na transformację admitancji Y(l) wzdłuż bezstratnej prowadnicy falowej o impedancji charakterystycznej Z₀ i długości l.

Analizując wyrażenie (10-66) prowadzi do kilku wniosków:

• Impedancja Z(l) jest funkcją aż 3 zmiennych: Z_L, Z₀, $\beta$I.
• Impedancja Z(I) jest okresową funkcją odległości, Z(I) = Z(I+$\lambda$/2), a okresem jest pół fali $\lambda$/2.

 
Rys.10.13. Ilustracja transformacji impedancji. A) Transformacja na płaszczyźnie współczynnika odbicia. B) Transformacja i na płaszczyźnie impedancji.

Na rys.10.13 pokazano ilustrację graficzną procesu transformacji impedancji przy odsuwaniu się obciążenia w stronę generatora (patrz rys.10.9). Na rys.10.13A widzimy klasyczną transformację współczynnika odbicia Γ(l). Jak przy tej transformacji zmienia się impedancja z(l) pokazuje ry.10.13B. Okrąg transformacji umieszczono na płaszczyźnie impedancji. Zaznaczono charakterystyczne punkty tego okręgu: r_MAX i r_MIN.
Zależność (10-66) wskazuje na bardzo interesujące właściwości linii długiej, umożliwiające komponowanie żądanych parametrów obwodów. Zapoznamy się z nimi w kolejnych punktach.
 

Transformacja impedancji – szczególne przypadki
Przypadek 1: Linia długa jest zakończona impedancją Z_L =Z₀. W takim przypadku, zgodnie z (10-66), Z(l)=Z₀. 
Wniosek: W każdym punkcie linii impedancja ma tą samą wartość. 
Przypadek 2: Obliczymy impedancję w odległości równej wielokrotności pół fali l=n$\lambda$/2 od obciążenia. Łatwo zauważyć, że  Z( l=n$\lambda$/2) = Z_L, impedancja okresowo przyjmuje taką wartość, jaką ma no końcu linii.
Wniosek: Linia o długości n$\lambda$/2 jest - z punktu widzenia transformacji impedancji - przezroczysta.
Przypadek 3: Obliczymy impedancję w odległości równej ćwierć fali l=$\lambda$/4 od obciążenia. 

Linia o długości l=(2n-1)$\lambda$/4 ma specjalne właściwości i dlatego nazywana jest transformatorem ćwierćfalowym.  Linia.
Wnioski:

• Transformator ćwierćfalowy jest inwerterem impedancji. Zamienia on duże (małe) wartości rezystancji na rezystancje małe (duże).
• Transformator ćwierćfalowy zamienia impedancje obciążenia o charakterze indukcyjnym (pojemnościowym) na impedancje wejściowe pojemnościowe (indukcyjne).
• Jeśli obciążeniem linii jest obwód rezonansu szeregowego, to impedancja wejściowa zachowuje się jak dla obwodu rezonansu równoległego, i vice versa.

Przypadek 4: W ogólnym przypadku obciążenia linii impedancją Z_L=R_L+jX_L, gdy R_L>0, to współczynnik odbicia równy jest wtedy$\left | \Gamma \right |=\left | \Gamma \exp (j\psi _{L}) \right |$, przy czym $\left | \Gamma_L \right |$(patrz rys.10.5). W miarę odsuwania się od obciążenia zmienia się Arg{$\Gamma$}. Gdy odsuniemy się na odległość l₁, dla której spełniony jest warunek (10-69):

to napięcie U(l₁) i prąd I(l₁) są w fazie. Oznacza to, że impedancja Z(l₁) jest czysto rzeczywista i równa: 

gdzie $\varrho$ jest współczynnikiem fali stojącej na linii.
Podobnie, gdy odsuniemy się na odległość l₂, dla której spełniony jest warunek (10-71):

sytuacja powtarza się i także wtedy napięcie U(l1) i prąd I(l1) są w fazie, a więc:

Oba miejsca l₁ i l₂ oddalone są od siebie o ćwierć długości fali $\lambda$/4. Oba te przypadki mogą być wykorzystane przy projektowaniu obwodów dopasowujących. 
     Linia zwarta na końcu
Rozważymy efekty zachodzące w linii długiej zwartej na końcu. Oznacza to, że:  $\mathrm{Z_L}=0\, i\, \Gamma _{\mathrm{L}}=-1$ . Zgodnie z zależnością (10-66) impedancja wejściowa linii zwartej na końcu jest w każdym miejscu czystą reaktancją:

Rozkład prądu i napięcia dla linii zwartej na końcu pokazano na rys.10.14. 
Prąd I(l) i napięcie U(l) są przesunięte w fazie o $\pi$/2, a kolejne zera napięcia lub prądu odległe są od siebie o $\lambda$/2.

Kąt fazowy między prądem I(l) i napięciem U(l) jest cały czas równy 90⁰, jednakże co ćwierć fali zmienia się jego znak. Dlatego X(l) ma dla pewnych zakresów l charakter indukcyjny, dla innych pojemnościowy, co pokazano na rys.10.14B.
 
 

Rys.10.14. Linia długa zwarta na końcu. 
A) Rozkład prądu i napięcia dla linii.
B) Reaktancja wejściowa linii zwartej na końcu.  

 
Zastępcze wartości indukcyjności L_eq i pojemności C_eq znajdujemy ze wzorów:

Dla małych długości l, gdy $\beta$l <0.5 (l<0.08$\lambda$) to tg $\beta$l~ $\beta$l i indukcyjność L_eq tego odcinka zapisze się następująco (v_f jest prędkością fazową fali):

Dla zakresów częstotliwości w sąsiedztwie  $\beta$l =(2n-1)$\pi$/2 (nieparzysta liczba ćwiartek fali) linia zwarta na końcu zachowuje się jak obwód rezonansu równoległego.    
Dla zakresów częstotliwości w sąsiedztwie    $\beta$l =n$\pi$ (wielokrotność połowy fali) linia zwarta na końcu zachowuje się jak obwód rezonansu szeregowego.
     Linia rozwarta na końcu
Impedancja wejściowa linii rozwartej na końcu zapisuje się zależnością: 

Charakter zmian prądu I(I) i napięcia U(I jest taki, jak na rys.10.14A, z tą różnicą, że na końcu linii rozwartej I(I=0)=0. Prąd i napięcie w każdym miejscu linii przesunięte są w fazie o $\pi$/10. 
Charakter zmian impedancji jak dla linii zwartej, tylko przesunięty o $\lambda$/4. W zależności od l linia raz jest pojemnością, raz indukcyjnością rys.10.15. 

Rys.10.15. Reaktancja wejściowa linii rozwartej na końcu.    

Podobnie jak w przypadku linii zwartej, linia rozwarta może realizować pojemności i indukcyjności, zależnie od odległości od rozwarcia.
Dla małych długości l, gdy l<0.08$\lambda$ i słuszne jest przybliżenie tg$\beta l$~$\beta l$, odcinek linii rozwartej można zastąpić równoważną pojemnością C_eq.

Dla zakresów częstotliwości w sąsiedztwie $\beta l$ = (2n-1)$\pi$/2 (nieparzysta liczba ćwiartek fali) linia rozwarta na końcu zachowuje się jak obwód rezonansu szeregowego.
Dla zakresów częstotliwości w sąsiedztwie $\beta l$ = n$\pi$ (wielokrotność połowy fali) linia rozwarta na końcu zachowuje się jak obwód rezonansu równoległego.